Verrouillage — Cned maths séq. 8

Ordre de travail conseillé : séance 1 → 2 → 3, chaque activité et chaque exercice faits avant leur solution, les preuves de E(aX) = aE(X), de Koenig-Huygens et de V(aX) = a²V(X) refaites de mémoire, puis les séances 4 à 6 sur la plateforme, puis le sujet de la grippe de la séance 7 en conditions d’examen (aide et corrigé cachés), puis la page blanche.

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N1 · 🧭 Feuille de route

page « Séquence 8 » + page Devoirs

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La séquence et son évaluation

~6 min

📊 COURS CNED
12 h, 3 parties, 7 séances : 1 (linéarité), 2 (variance, binomiale), 3 (échantillon), 7 (entraînement au bac) en PDF ; 4 à 6 en ligne (jeux de hasard, fléchettes, essence de rose). Pas de devoir noté : une évaluation formative (sujet, corrigé, barème).

🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée les quatre « minutes du prof » de la séquence (Probabilités 5, 6 et 7 sur 8 : 2 min 14, 1 min 18, 1 min 20 ; Algorithme 2 sur 3 : 1 min 44) ne sont pas transcrites : à regarder sur la plateforme.

⚠️ PIÈGE
La séquence 8 reprend la séquence 4 (schéma de Bernoulli) et prépare la 13 (loi des grands nombres) : à ne pas sauter.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Compétences : décomposer en somme, linéarité, variance de variables indépendantes.

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N2 · 🎲 Rappels : espérance, Bernoulli

séance 1 § 1 et § 2.B, séance 2 § 2.A

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Espérance et jeu équitable

~8 min

📊 COURS CNED
E(X) = Σ pᵢxᵢ ; gain moyen sur un grand nombre de parties ; jeu équitable ⇔ E(G) = 0 ; E(b) = b, E(E(X)) = E(X).

⚠️ PIÈGE
Le tableau du dé truqué du cours somme à 0,9 : ne pas le réutiliser.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Interpréter une espérance : gain moyen, jeu favorable ou non.

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Loi de Bernoulli

~8 min

📊 COURS CNED
E(X) = p ; V(X) = q p² + p q² = pq(p + q) = p(1 − p).

⚠️ PIÈGE
Ne pas confondre p(1 − p) (variance) et p (espérance).

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Brique de base de la binomiale.

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N3 · ➕ Séance 1 — Somme X + Y, variable aX

séance 1, § 2.A, exercice 1

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Définitions et urne

~8 min

📊 COURS CNED
X + Y : ω ↦ X(ω) + Y(ω) ; aX : ω ↦ aX(ω). Urne (1 ; 4), (0 ; 5), (1 ; 5), (0 ; 3), (2 ; 4) : X + Y ∈ {3 ; 5 ; 6}, lois 1/5, 2/5, 2/5 ; E(X) = 4/5, E(Y) = 21/5.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercice 1 (lois de X et de Y), exemple 2 (Y = 1,5X).

⚠️ PIÈGE
Les valeurs de X + Y se lisent issue par issue, pas en additionnant toutes les valeurs possibles.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Base des questions « exprimer la variable ».

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N4 · 📐 Séance 1 — Linéarité de l’espérance

séance 1, § 2.C à F, exercices 3 à 6

0/3

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Le théorème

~8 min

📊 COURS CNED
E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X), d’où E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c — sans hypothèse d’indépendance.

⚠️ PIÈGE
Ne pas exiger l’indépendance pour l’espérance (elle n’est nécessaire que pour la variance).

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Calcul d’espérance sans la loi.

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Les démonstrations

~12 min

📊 COURS CNED
E(aX) : factoriser par a. E(X + Y) : Σᵢ Σⱼ (xᵢ + yⱼ)P(X = xᵢ, Y = yⱼ), puis (Y = yⱼ) partition de l’univers ⇒ Σⱼ P(X = xᵢ, Y = yⱼ) = P(X = xᵢ).

⚠️ PIÈGE
Le cours écrit « au plus n + p valeurs » : c’est n × p.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Preuve de E(aX) exigible ; le cas général est un approfondissement.

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Exercices 4, 5, 6

~12 min

📊 COURS CNED
Ex. 4 : 1 ; −9 ; −3 ; 30. Ex. 5 : B(3 ; 1/2), E = 3/2 ; avec la règle des 6 cases, E(S) = 5/3 ≈ 1,7. Ex. 6 : E(X) = 8/n ; équitable ⇔ n = 8.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercices 4, 5 (anniversaire des triplés) et 6 (deux boules sans remise).

⚠️ PIÈGE
Corrigé de l’ex. 3 : fractions 1/4, 1/4, 1/2 fausses (1/5, 2/5, 2/5), total 5 juste.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Modéliser un jeu et décider s’il est équitable.

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N5 · 📊 Séance 2 — Variance, Koenig-Huygens

séance 2, § 1 et § 2.A

0/2

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Variance et écart-type

~8 min

📊 COURS CNED
V(X) = E((X − E(X))²) ; dispersion, risque d’un jeu ; σ = √V, même unité que X ; V(b) = 0.

⚠️ PIÈGE
À espérance égale, le jeu le plus risqué est celui de plus grande variance.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Comparer deux jeux de même espérance.

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Koenig-Huygens

~10 min

📊 COURS CNED
V(X) = E(X²) − E(X)² (preuve par linéarité avec b = E(X)). Jeu des boules : E = −3, V = 61 ; deux parties : E(Z²) = 158, V(Z) = 122.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : activité 1 « gain moyen en jouant deux fois ».

⚠️ PIÈGE
E(X)² ≠ E(X²) : élever les valeurs au carré, garder les probabilités.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Calcul de variance à la calculatrice ou à la main.

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N6 · ⚖️ Séance 2 — Additivité de la variance

séance 2, § 2.B, 2.C, exercices 2 et 3

0/3

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Additivité

~10 min

📊 COURS CNED
X, Y indépendantes ⇒ V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; en pratique : répétition d’épreuves identiques et indépendantes. V(X + b) = V(X).

⚠️ PIÈGE
Loi de Z dans le cours : P(Z = −10) = 0,30 (0,29 écrit), et Z prend −10.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Variance d’un jeu répété.

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V(aX) et σ(aX)

~10 min

📊 COURS CNED
V(aX) = a²V(X), σ(aX) = |a|σ(X) (√a² = |a|). QCM barème 1,5 : V = 2,25 × 0,9375 ≈ 2,11. V(2X) = 244 = 4 × 61.

⚠️ PIÈGE
V(2X) ≠ V(X) + V(X) : X n’est pas indépendante d’elle-même.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Piège classique des QCM et des questions de cours.

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Exercices 2 et 3

~10 min

📊 COURS CNED
Ex. 2 (V(X) = 4, V(Y) = 7) : 23 ; 36 ; 28 ; 163. Ex. 3 : E(G₁) = E(G₂) = −4 ; V = 74 et 244 ; G₃ = 2G₁ : 296, le plus risqué.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercices d’apprentissage 2 et 3 de la séance 2.

⚠️ PIÈGE
Les coefficients négatifs deviennent positifs une fois au carré : V(5X − 3Y) = 25V(X) + 9V(Y).

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Comparer des risques.

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N7 · 🔬 Séance 2 — Covariance, variable centrée réduite

séance 2, § 2.C.2 et 2.D

0/2

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Covariance et indépendance

~12 min

📊 COURS CNED
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X, Y), cov = E(XY) − E(X)E(Y). Indépendantes ⇒ cov = 0. Contraposée : additivité fausse ⇒ pas indépendantes. 4 lancers : cov = 0 ; 3 lancers : cov = 1/4.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : approfondissement, parties A et B.

⚠️ PIÈGE
Corrigé des 3 lancers faux (loi de XY sommant à 9/8, cov = 5/4) : la bonne valeur est 1/4 ; conclusion inchangée.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Hors programme strict : sert à comprendre pourquoi l’indépendance est exigée.

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Variable centrée réduite

~6 min

📊 COURS CNED
(X − m)/s : espérance 0 (linéarité), écart-type 1 (V(X − m) = V(X), facteur 1/s).

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercice 1 de la séance 2.

⚠️ PIÈGE
Diviser par l’écart-type s, pas par la variance.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Pont vers la séquence 13.

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N8 · 🧮 Séance 3 — Somme de n variables, loi binomiale

séance 3, § 2.A et 2.B, exercices 1 et 2

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Somme de n variables

~10 min

📊 COURS CNED
S = X₁ + … + Xₙ (épreuves identiques et indépendantes) : E(S) = Σ E(Xᵢ), V(S) = Σ V(Xᵢ) ; preuve par récurrence. Ex. 1 : E(G) = −2, V(G) = 50, σ ≈ 7,1.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercice 1 (50 lancers, mise de 2 €).

⚠️ PIÈGE
Hérédité : le cours écrit « additivité de l’espérance » pour la variance.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Récurrence à savoir rédiger.

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Loi binomiale : E, V, σ

~10 min

📊 COURS CNED
X = X₁ + … + Xₙ (Bernoulli) : E = np, V = np(1 − p), σ = √(np(1 − p)). QCM : 1,25 ; 15/16 ; ≈ 0,97.

⚠️ PIÈGE
P(X = 5) = 1/1024 ≈ 0,0010 (le cours écrit 0,0098).

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Question quasi systématique au bac.

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Justifier une loi binomiale

~8 min

📊 COURS CNED
Phrase type : « n répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve à deux issues ; X compte les succès ; X ~ B(n ; p) ». Ex. 2 : B(10 ; 2/5), E = 4, V = 12/5. Sans remise : pas binomiale.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercice 2 (urne, 10 tirages avec remise).

⚠️ PIÈGE
Oublier « indépendantes » ou les paramètres.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Rédaction exigée au bac.

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N9 · 📏 Séance 3 — Échantillon, moyenne empirique

séance 3, activité, § 2.C, exercice 3

0/3

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Activité des colis

~10 min

📊 COURS CNED
S ~ B(100 ; 0,05), E(S) = 5, P(0 ≤ S ≤ 10) ≈ 0,9885. Python : randint(1, 20) == 1 ⇒ probabilité 1/20 ; c compteur ; moyenne des échantillons 5,2 puis 5,0078.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : activité, parties 1 et 2 (fonctions livraison et experience).

⚠️ PIÈGE
Le texte du cours écrit 0,937 alors que sa propre capture du tableur affiche 0,9885.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Lire et interpréter un programme Python de simulation.

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Échantillon et somme Sₙ

~8 min

📊 COURS CNED
Échantillon : X₁, …, Xₙ indépendantes de même loi ; E(Sₙ) = nE(X), V(Sₙ) = nV(X), σ(Sₙ) = √n σ(X).

⚠️ PIÈGE
La séance 3 écrit σ(Sₙ) = n σ(X) : faux (la fiche de synthèse est juste).

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Formules de la synthèse à connaître par cœur.

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Moyenne empirique Mₙ

~10 min

📊 COURS CNED
Mₙ = Sₙ/n : E(Mₙ) = E(X), V(Mₙ) = V(X)/n, σ(Mₙ) = σ(X)/√n. Ex. 3 : V(X) = 1263/1024, σ ≈ 1,11, σ(M₅₀) ≈ 0,157.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : exercice 3 (premier pile en au plus 5 lancers).

⚠️ PIÈGE
Le cours écrit 1263/104 ; son σ ≈ 1,11 correspond à 1024.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
La dispersion de la moyenne diminue en 1/√n.

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N10 · 🎯 Séance 7, méthode et écarts

séance 7, synthèse, relecture PEGASUS

0/3

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La grippe, partie A

~10 min

📊 COURS CNED
P(G) = 0,2 ; P(V ∩ G) = 0,4 × 0,08 = 0,032 ; probabilités totales : P(V̄ ∩ G) = 0,168 ; P_V̄(G) = 0,28.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : séance 7, sujet commenté (énoncé, aide, corrigé).

⚠️ PIÈGE
Le corrigé écrit « P(G) = 0,4 » : 0,4 est P(V).

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Exercice type bac : arbre et probabilités totales.

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La grippe, partie B

~10 min

📊 COURS CNED
X ~ B(50 ; 0,28) : P(X ≥ 10) ≈ 0,926 ; E = 14 ; σ ≈ 3,17 ; σ(Mₙ) = 3,17/√n ≤ 1 ⇔ n ≥ 11.

🎙️ ORAL
Exercice du Cned : séance 7, partie B.

⚠️ PIÈGE
0,28 suppose qu’on interroge des personnes non vaccinées ; tirées dans toute la ville, la probabilité serait 0,168.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Échantillon et moyenne empirique en situation.

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Méthode et écarts

~8 min

📊 COURS CNED
Décomposer, linéarité, additivité si indépendantes, conclure par une phrase. Écarts : dé (0,9), n × p valeurs, 0,0010, 0,30, cov = 1/4, 0,9885, √n σ(X), 1263/1024, P(G) = 0,2.

⚠️ PIÈGE
Recopier une valeur fausse du cours dans une copie.

📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Rigueur des valeurs.

✅ Critères de verrouillage de la séquence 8

1 · J’écris une variable comme somme X₁ + … + Xₙ ou comme aX + b, et je calcule son espérance par linéarité.

2 · Je démontre E(aX) = aE(X), la formule de Koenig-Huygens et V(aX) = a²V(X).

3 · Je n’utilise l’additivité de la variance que pour des variables indépendantes, et j’évite le piège V(2X).

4 · Je justifie une loi binomiale par la phrase type et j’en donne E, V, σ.

5 · Je donne E, V, σ de Sₙ et de Mₙ pour un échantillon, et je refais seul le sujet de la grippe.

6 · Page blanche ≥ 85 % deux jours différents.