PEGASUS · BAC · Cned — Mathématiques (spécialité) · SÉQUENCE 1 / 15

Séquence 1 — Combinatoire et dénombrement

⭐ Une question décide de tout : avec remise ? l'ordre compte ? → k-uplets nᵏ · k-listes n!/(n − k)! · combinaisons (nk) — puis ajouter les cas, multiplier les étapes.

📊 Cours Cned : séance 1 (19 p.), séance 2 (9 p.), séance 3 (15 p.), séance 7 « Entraînement au bac » (5 p.), synthèse (8 p.), évaluation formative + corrigé (9 p.) — 65 pages lues en entier. Séances 4, 5, 6 : activités interactives en ligne, non téléchargeables. 🎙️ Oral : 3 « minutes du prof » (≈ 6 min) non transcrites — couche déclarée. 🧮 Python : toutes les valeurs recalculées (valeurs_seq1.py, 0 échec) — 4 écarts trouvés dans les corrigés du Cned (brelan, P(G), (177), 14!) + 3 coquilles. 📝 Devoir : aucun devoir noté sur cette séquence ; elle prépare le devoir n°1 (séquence 2) et la séquence 4 (Bernoulli). 23 micro-notions, ≈ 251 min.
Verrouillage séq. 1
0/23
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Cette séquence ne porte aucun devoir noté, mais elle est le vocabulaire de deux devoirs à venir : la séquence 4 (schéma de Bernoulli) compte des chemins avec (nk), et l'évaluation formative de fin de séquence est ton seul test chronométré avant le devoir n°1. Ordre de travail conseillé par le Cned : séance 1 → 2 → 3, puis l'entraînement au bac, puis l'évaluation formative en 2 h.

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N1 · 🧮 Ensembles finis, réunion, partition

séance 1, p. 5-9
0/3
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Cardinal, partie, complémentaire

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 1, § 2.A (p. 5-6) : E fini de cardinal n si l'on peut numéroter ses éléments de 1 à n ; card(∅) = 0. Une partie A ⊂ E est finie et card(A) ≤ card(E). Complémentaire : card(Ā) = card(E) − card(A). Exemple : {a ; b ; c} a 8 parties.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée aucun commentaire oral sur ce point dans la minute du prof (vidéo « Dénombrement 1/2 » centrée sur la représentation adaptée).
⚠️ PIÈGE
ℕ, ℝ, [0 ; 1] et l'ensemble des nombres premiers ne sont pas finis (QCM 1, B.1). Ne pas oublier ∅ et E eux-mêmes dans la liste des parties.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
QCM d'application 1 : 32 cartes, 12 figures, 20 non-figures ; 12 nombres premiers ≤ 40. Le passage au complémentaire revient dans l'évaluation formative (ex. 2.1.c, avec un piège : il vaut mieux compter directement).
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Réunion, intersection, ensembles disjoints

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 1, § 2.B (p. 7-8) : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) ; si A ∩ B = ∅ (disjoints), on ajoute simplement. Exemple : pairs ≤ 20 et multiples de 3 ≤ 20 → A ∩ B = {6 ; 12 ; 18}, card(A ∪ B) = 13.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral sur ce point.
⚠️ PIÈGE
« Ou » en mathématiques = au moins un des deux (inclusif) : on retire l'intersection comptée deux fois.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
QCM 2 (association sportive) : course sans cyclisme = 19 − 5 = 14 ; hommes faisant les deux = 5 − 3 = 2. Le Cned demande de faire un diagramme de Venn.
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Partition d'un ensemble

~8 min
📊 COURS CNED
Séance 1 (p. 8-9) : parties non vides, disjointes deux à deux, de réunion E ; alors card(E) = somme des cardinaux. Exemple : 3k, 3k + 1, 3k + 2 (restes de la division par 3).
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
C et P (cyclisme, course) ne forment pas une partition : ils se chevauchent (5 personnes). H et F, si.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Les partitions servent à dénombrer par catégories (disjonction de cas → on ajoute) et préparent la formule des probabilités totales (séance 7, partie B).
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N2 · ✖️ Produit cartésien, k-uplets, 2ⁿ parties

séance 1, p. 10-14
0/5
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Produit cartésien et principe multiplicatif

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 1, § 2.C (p. 10-11) : E × F = ensemble des couples ; card(E × F) = card(E) × card(F) ; généralisation à p ensembles ; card(Eᵖ) = card(E)ᵖ. Dés : 6 × 4 = 24, 6² = 36, 6³ = 216.
🎙️ ORAL
La « minute du prof » de la séquence (vidéos Dénombrement 1/2 et 2/2, 1 min 49 chacune, et Algorithme 1/3, 2 min 11) n'est pas encore transcrite : à regarder sur la plateforme, rubrique Séquence 1.
⚠️ PIÈGE
Dans un couple, l'ordre compte : (2 ; 6) ≠ (6 ; 2). Le produit cartésien n'est ni la réunion ni la différence (QCM 3, A.1).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
QCM 3 : card(Ω) = 12 × 4 = 48 ; grille V/F de 10 questions : 2¹⁰ = 1 024.
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k-uplets : l'octet et les couleurs (activité 2)

~10 min
📊 COURS CNED
Activité 2 (p. 3-4, corrigé p. 16-17) : octet = 8-uplet de 0 et de 1 → 2⁸ = 256 (0 à 255) ; RVB : 256³ = 16 777 216 teintes ; cyan (43 ; 250 ; 250) = 2BFAFA en hexadécimal.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée la séance 4 « Le codage des couleurs en RVB » est une activité interactive en ligne, non téléchargeable.
⚠️ PIÈGE
Un k-uplet accepte les répétitions (11011110) : ce n'est pas une k-liste sans répétition.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Contexte « informatique » cité dans les compétences visées : à savoir reconnaître.
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Un ensemble à n éléments a 2ⁿ parties — démonstration

~12 min
📊 COURS CNED
Séance 1 (p. 12) : à chaque partie, on associe le n-uplet de 0 et de 1 qui code l'appartenance ; d'où 2ⁿ parties. Même nombre que les issues de n épreuves de Bernoulli : card({S ; E}ⁿ) = 2ⁿ.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Dire pourquoi la correspondance est un à un (chaque n-uplet code une seule partie, chaque partie un seul n-uplet).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Démonstration au programme ; elle sert aussi à prouver Σ (nk) = 2ⁿ (séance 3).
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Activité 1 : sommes de dés et duc de Toscane

~12 min
📊 COURS CNED
Activité 1 (p. 1-3, corrigé p. 15-16) : 2 dés → 36 couples, P(8) = 5/36, P(9) = 4/36. 3 dés → 216 triplets, somme 9 : 25, somme 10 : 27 → 10 plus probable.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Compter les issues équiprobables (triplets ordonnés), pas les « façons d'écrire » la somme (6 et 6). ⚠️ Coquille du corrigé Cned : « plus élevée que celle d'obtenir le résultat 8 » → lire 9.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Calcul de probabilité par dénombrement en situation d'équiprobabilité : favorables / possibles.
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Exercice d'apprentissage : le système tiré aux dés

~15 min
📊 COURS CNED
Séance 1 (p. 14, corrigé p. 18-19) : 6³ = 216 systèmes ; parallèles ⇔ b = 2a ; P(E₃) = 99/108, P(E₁) = 1/108, P(E₄) = 5/108, P(E₂) = 8/108.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
b = 2a n'est possible que pour a ∈ {1 ; 2 ; 3} (b ≤ 6). E₁, E₂, E₃ forment une partition → P(E₂) par différence.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
C'est l'exercice 1 de l'évaluation formative (8 points).
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N3 · 🏇 k-listes sans répétition, permutations, factorielle

séance 2
0/3
⬜

k-listes sans répétition (arrangements)

~12 min
📊 COURS CNED
Séance 2, § 1.A (p. 1-3) : nombre = n × (n − 1) × … × (n − k + 1). Tiercé (9 chevaux) : 504 ; 5 premiers : 15 120 ; mots de 4 lettres de PAULINE : 840.
🎙️ ORAL
La « minute du prof » de la séquence (vidéos Dénombrement 1/2 et 2/2, 1 min 49 chacune, et Algorithme 1/3, 2 min 11) n'est pas encore transcrite : à regarder sur la plateforme, rubrique Séquence 1.
⚠️ PIÈGE
k facteurs, le dernier est n − k + 1 (pas n − k). Ordre compte, pas de répétition : c'est le cas des tirages successifs sans remise.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
QCM 4 : 3 boules parmi 6, successivement sans remise → 120.
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Factorielle et permutations

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 2, § 1.B (p. 3-5) : n! = n × … × 1, 0! = 1 ; permutations d'un ensemble à n éléments : n!. Anagrammes de AIR : 6 ; de PAULINE : 5 040. Formule : n!/(n − k)!.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Lettres répétées : on divise par les permutations des lettres identiques (code 1-9-9-5 : 4!/2! = 12, et non 24).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Exercice 1 de la séance 2 : 10 000 codes, 5 040 à chiffres distincts, 12 avec 1, 9, 9, 5.
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Exercice des jetons (sans corrigé Cned)

~6 min
📊 COURS CNED
Séance 2 (p. 5) : 5 verts + 4 rouges, 3 tirages successifs sans remise : 504 tirages, 60 tout verts, 24 tout rouges (calcul PEGASUS vérifié en Python, le Cned ne donne pas de corrigé).
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
« Tout vert » = 3-listes sans répétition des 5 verts : 5 × 4 × 3.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Même mécanique que l'évaluation formative ex. 2.3 (bureau ordonné : 17 × 16 × 15 × 14 = 57 120).
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N4 · 🎲 Combinaisons

séance 3, p. 1-6
0/4
⬜

Combinaison = partie à k éléments

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 2.A (p. 2) : une combinaison de k éléments de E est une partie de E à k éléments ; notée avec des accolades ; leur nombre est (nk). Tirage simultané → combinaison.
🎙️ ORAL
La « minute du prof » de la séquence (vidéos Dénombrement 1/2 et 2/2, 1 min 49 chacune, et Algorithme 1/3, 2 min 11) n'est pas encore transcrite : à regarder sur la plateforme, rubrique Séquence 1.
⚠️ PIÈGE
{a ; b ; c} est une combinaison mais donne 3! = 6 arrangements. Ne pas confondre k-liste sans répétition et combinaison.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
QCM 4 C et QCM séance 3 n°1 : notation {2 ; 3 ; 6}, N = (73) = 35.
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Activité du podium (100 m)

~8 min
📊 COURS CNED
Séance 3, activité (p. 1, corrigé p. 14) : 8! = 40 320 classements ; 336 podiums dans l'ordre ; N = P × 3! → P = 56 podiums dans le désordre.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Diviser par k! (les ordres possibles d'un même podium), pas par (n − k)!.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
C'est l'idée de la démonstration de la formule de (nk).
⬜

La formule n!/(k!(n − k)!) et sa démonstration

~12 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 2 (p. 4) : (nk) = n!/(k!(n − k)!) ; (n0) = (nn) = 1, (n1) = n, (n2) = n(n − 1)/2. Démonstration : nombre de k-listes = k! × (nk).
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Simplifier avant de calculer : (145) = 11 × 13 × 14 = 2 002. ⚠️ Le cours imprime 14! = 81 178 291 200 : la bonne valeur est 87 178 291 200.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Calculatrice : TI → Combinaison (nCr) ; NumWorks → binomial(n, k). (128) = 495.
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Chemins dans un arbre à n épreuves

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 2.B (p. 2-3) : un chemin à k succès ⇔ choix des k numéros d'épreuves réussies → (nk) chemins. 3 épreuves : 1, 3, 3, 1.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Un chemin est un n-uplet de S et E (ordonné) ; c'est le choix des positions des S qui est une combinaison.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
🔗 Séquence 4 (schéma de Bernoulli, loi binomiale) — et l'évaluation formative ex. 3 (trajets minimaux D/H : (74) = 35).
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N5 · 🔺 Symétrie, Pascal, somme = 2ⁿ

séance 3, p. 7-11
0/4
⬜

Symétrie (nk) = (nn−k)

~8 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 3.A (p. 7) : preuve par le complémentaire (une partie à k éléments ↔ son complémentaire à n − k éléments).
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Dans le cours, « Pour n compris entre 0 et n » est une coquille : lire pour k compris entre 0 et n.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Évaluation formative ex. 2.1.b : choisir 7 dirigeants parmi 17 = choisir les 10 qui ne le sont pas : (177) = (1710) = 19 448.
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Relation de Pascal — deux démonstrations

~15 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 3.B (p. 7-8) : (nk) = (n−1k−1) + (n−1k) pour 1 ≤ k ≤ n − 1. Dénombrement : parties sans b / avec b (partition). Calcul : même dénominateur k!(n − k)!, numérateur (n − 1)! × n = n!.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Conditions : 1 ≤ k ≤ n − 1. Dans la preuve par le calcul, multiplier la 1ʳᵉ fraction par k et la 2ᵉ par n − k.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Démonstration exigible (feuille de route). QCM séance 3 n°2 : (73) = (62) + (63).
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Triangle de Pascal

~8 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 4 (p. 8-9) : 1ʳᵉ colonne et diagonale de 1 ; chaque case = case du dessus + case en haut à gauche. Ligne 5 : 1 5 10 10 5 1.
🎙️ ORAL
La minute du prof « Algorithme 1/3 » (2 min 11) : générer une liste (par extension, ajouts successifs, en compréhension) — la séance 6 fait construire le triangle en Python. Non transcrite.
⚠️ PIÈGE
Lire la ligne n en commençant à la colonne 0.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Algorithmique : liste Python d'une ligne du triangle à partir de la précédente.
⬜

Somme des (nk) = 2ⁿ — démonstration

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 3, § 5 (p. 9-11) : on classe les parties selon leur nombre d'éléments (partition en n + 1 catégories) → Σ (nk) = card(parties) = 2ⁿ. Autre lecture : nombre total de chemins de l'arbre.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Il y a n + 1 termes (de k = 0 à k = n).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Démonstration exigible. QCM : Σ (7k) = 128.
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N6 · 🧭 Méthode du Cned et entraînement au bac

séance 7 + évaluation formative
0/4
⬜

La question-clé : avec remise ? ordre ?

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 7, aide méthodologique (p. 2-3) : avec remise → k-uplets (nᵏ) ; sinon ordre ? → k-listes (n!/(n − k)!) ; sinon → combinaisons. Disjonction de cas → ajouter ; choix par étapes → multiplier.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
Ne pas mélanger dénombrer (un nombre) et calculer une probabilité (un quotient, en équiprobabilité).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
C'est la première ligne de rédaction attendue : nommer l'objet compté (« il s'agit de combinaisons de 5 éléments parmi 52 »).
⬜

Le poker (sujet commenté, partie A)

~15 min
📊 COURS CNED
Séance 7 : (525) = 2 598 960 mains ; couleur : 4 × (135) = 5 148 → 33/16660 ≈ 0,002 ; brelan de dames (43) × (482) = 4 512 ; brelans 58 656 → P ≈ 0,023 ; full aux as par les rois : 1/108290.
🎙️ ORAL
La séance 5 « Dénombrements au poker » est interactive (non téléchargeable).
⚠️ PIÈGE
⚠️ Écart avec le corrigé du Cned : il écrit 11 280 brelans de dames, 146 640 brelans et 47/833 ≈ 0,056. Avec sa propre méthode, c'est 4 512, 58 656 et ≈ 0,023 (Python).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Type exact d'un exercice de bac : dénombrement → probabilité → arbre pondéré.
⬜

Partie B : probabilités totales

~10 min
📊 COURS CNED
Séance 7, partie B : P_C(G) = 3/4, P_C̄(G) = 1/5 ; C, C̄ partition ⇒ P(G) = P(C) × 3/4 + P(C̄) × 1/5 ≈ 0,201.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
⚠️ Le corrigé du Cned conclut « ≈ 0,164 » alors que l'énoncé demande de montrer 0,201 : c'est 0,201 (Python).
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
Arbre pondéré : la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1.
⬜

L'évaluation formative 1 (2 h, non notée)

~20 min
📊 COURS CNED
Ex. 1 : le système (8 pts) · Ex. 2 : direction de 7 parmi 17 (5 pts) · Ex. 3 : trajets minimaux (7 pts). Valeurs : (177) = 19 448 ; seulement des retraités 1/2431 ; aucun retraité 9/4862 ; 3-2-2 : 3 360 ; bureau ordonné 57 120 ; trajets (74) = 35, P = 35/128 ; par C(4 ; 0) 1/35 ; par I(2 ; 2) 18/35.
🎙️ ORAL
COUCHE VIDE — déclarée pas d'oral.
⚠️ PIÈGE
⚠️ Le corrigé imprime (177) = 19 948 (bonne valeur 19 448) et s'arrête à la question 2.a de l'ex. 3 ; il écrit aussi « 2 actifs parmi les 4 » pour 5 actifs.
📝 TOMBE AU DEVOIR / AU BAC
À faire seul, en 2 h, après la page blanche : c'est le meilleur test avant le devoir de la séquence 2.

✅ Critères de verrouillage de la séquence 1

1 · Devant n'importe quel énoncé, je réponds en 10 secondes : avec remise ? ordre ? et je nomme l'objet (k-uplet, k-liste sans répétition, combinaison).

2 · Je redonne sans erreur les 5 formules : card(A ∪ B), card(E × F), nᵏ, n!/(n − k)!, n!/(k!(n − k)!).

3 · Je refais seul les 3 démonstrations : 2ⁿ parties, Pascal (dénombrement et calcul), Σ (nk) = 2ⁿ.

4 · Je reconstruis le triangle de Pascal jusqu'à la ligne 7 en moins de 2 minutes.

5 · Je refais le poker (partie A et B) et je retrouve 0,023 et 0,201.

6 · Page blanche ≥ 85 % deux jours différents, puis l'évaluation formative en 2 h, corrigée avec le corrigé du Cned (et les 3 corrections signalées ici).