Exercice 1 — Mesure de l'épaisseur d'un film alimentaire (11 points)
Les films alimentaires (PEBD, PVC) protègent les aliments. L'épaisseur est un paramètre essentiel. Objectif : étudier différentes méthodes de mesure de l'épaisseur d'un film.
1. Mesure par capacimétrie
Un condensateur plan (2 armatures de surface S, isolant d'épaisseur e) a pour capacité C = ε₀·ε_r·S / e. Données : ε₀ = 8,85×10⁻¹² F·m⁻¹ ; ε_r,film = 2,3 ; ε_r,air = 1,0 ; e_film,réf = 7,6 µm. On intercale une couche de film (21 cm × 28 cm) entre 2 feuilles d'aluminium.
Figure 1 — condensateur plan : 2 feuilles d'aluminium, film d'épaisseur e entre elles (21×28 cm)
Figure 2 — montage : E = 4,9 V, R = 1,00 kΩ, condensateur C
On charge le condensateur (R = 1,00 kΩ, E = 4,9 V) et on suit u_C(t) (figure 3).
Figure 3 — charge : u_C(t) tend vers E ; à t = τ, u_C = 0,63·E = 3,1 V → τ ≈ 70 µs
Q1. Établir l'équation différentielle vérifiée par u_C : du_C/dt + u_C/τ = E/τ (donner l'expression de τ). Q2. Déterminer l'expression de A dans u_C(t) = A·(1 − e^(−t/τ)). Q3. Exprimer u_C(τ) en fonction de E. Q4. Déterminer τ à partir de la figure 3. Q5. En déduire la capacité C.
Hypothèse : une couche d'air d'épaisseur e_air est piégée (figure 4). La capacité devient C' = ε₀·S / (e_air/ε_r,air + e_film/ε_r,film).
Figure 4 — couche d'air piégée : épaisseur film e_film + épaisseur air e_air entre les feuilles
Q8. Vérifier (2 cas limites) que l'expression de C' est compatible avec celle du condensateur. Q9. Déterminer e_air (avec e_film = 7,6 µm). Commenter.
2. Mesure par pesée
Rouleau : largeur ℓ = 29 cm, longueur L = 30 m, ρ_film = 1,25×10³ kg·m⁻³, masse m = 70,56 g.
Q10. Calculer l'épaisseur e_film du rouleau.
3. Mesure par interférométrie
On éclaire le film ; deux rayons (réfléchi en surface / transmis puis réfléchi au fond) interfèrent. δ = différence de chemin optique. Ordre p = δ/λ ; on admet p = β·e_film/λ + 1/2 (relation 1). En lumière blanche, l'analyse donne p en fonction de 1/λ (figure 7).
Figure 7 — ordre p en fonction de 1/λ : droite affine (pente 22443 nm, ordonnée 0,51)
Q11. Relation entre δ et λ pour des interférences constructives. Q12. Phénomène quand β·e_film/λ est entier (sans calcul). Q13. Origine des maxima d'intensité entourés (figure 6b). Q14. Les résultats sont-ils cohérents avec la relation 1 ? Q15. Déduire e_film (β = 3,02). Commenter.
📖Le contexte (énoncé)
📋 ÉNONCÉ (mot pour mot)
On mesure l'épaisseur d'un film alimentaire par trois méthodes : la capacimétrieCapacimétrie : mesure d'une capacité. Ici, le film sert d'isolant d'un condensateur plan ; sa capacité dépend de l'épaisseur. (circuit RC), la pesée, et l'interférométrie.
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