Bac Physique-Chimie · Asie 2025 · Jour 2 · Réf. 25-PYCJ2JA1

Exercice 3 — Paiement sans contact

Circuit RC de la puce d'une carte bancaire : équation différentielle, constante de temps, temps de réponse.
5 points · 6 questions · Exercice 3 / 3

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Exercice 3 — Paiement sans contact (5 points)

La puce d'une carte bancaire, placée à ~4 cm du terminal, reçoit un signal qui l'active. Le temps de réponse doit être de 1 à 2 s. On modélise le circuit par un dipôle RC et on vérifie ce temps de réponse.

Circuit (figure 1) : R = 100 kΩ (résistance de la puce) en série avec un condensateur C = 40 µF, alimentés par E = 5,0 V (antenne). À t = 0, K fermé → charge du condensateur, constante de temps τ. On pose le temps de réponse t_r = τ.

u_C (V)t (s) 5 (E)3,150 τ≈4 E=5 V (plateau)
u_C(t) : charge du condensateur vers E = 5 V. τ = abscisse où u_C = 0,63·E = 3,15 V, soit τ ≈ 4 s (cohérent avec RC = 4,0 s).
du_C/dt + u_C/τ = E/τ avec τ = R·C
Q1. Exprimer i(t) en fonction de u_C et C. Q2. Établir l'équation différentielle (τ = RC). Q3. Vérifier que l'unité de τ est la seconde. Q4. Vérifier que u_C = E(1−exp(−t/τ)) est solution. Q5. Déterminer τ à partir du graphique. Q6. Le circuit modélise-t-il correctement la puce ?
📖Le contexte (énoncé)
📋 ÉNONCÉ (mot pour mot)
On modélise le circuit d'une carte bancairePaiement sans contact : la puce doit répondre en 1 à 2 secondes. On modélise le circuit par un dipôle RC (R=100 kΩ, C=40 µF, E=5 V) et on étudie la charge du condensateur. par un dipôle RC : on établit l'équation différentielle de la charge du condensateur, on détermine la constante de temps τ, puis on vérifie si le temps de réponse obtenu correspond aux 1 à 2 secondes attendues.
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