Exercice 3 — Traitement des eaux d'un bassin d'orage (6 points)
Les eaux d'orage stockées voient leur taux de dioxygène diminuer avec la chaleur. On surveille ce taux avec une bouée instrumentée et on oxygène l'eau avec un aérateur à jet. Objectif : étudier la flottabilité de la bouée, puis évaluer le temps d'oxygénation.
1. Surveillance de la qualité de l'eau
L'immersion de la bouée ne doit pas dépasser 20 % de son volume. Données : V_bouée = 6,7×10⁻³ m³ ; m = 1,0 kg ; ρ_eau = 1,00×10³ kg·m⁻³ ; g = 9,81 N·kg⁻¹ ; poussée d'Archimède π_A = ρ_f·V·g.
Q1. Nommer et représenter les deux forces sur la bouée à l'équilibre. Q2. Déterminer V_imm, le volume immergé à l'équilibre. Q3. En déduire la proportion immergée. Commenter.
2. Traitement de l'eau
Le taux de dioxygène doit être entre 6 et 8 mg·L⁻¹ ; il est tombé à 4 mg·L⁻¹. L'aérateur aspire l'eau dans une conduite à rétrécissement (d_A → d_B) ; c'est là que l'air est aspiré et se mélange. Données : d_A = 55 mm ; d_B = 33 mm ; v_A = 5,6 m·s⁻¹ ; V_eau = 172 m³ ; ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³ ; Bernoulli : p + ½ρv² + ρgz = constante (fluide incompressible, régime permanent).
Figure 2 — aérateur : rétrécissement A→B, aspiration d'air au point B (Venturi)
Q4. Recopier la formule du débit volumique D_V (justifier par analyse dimensionnelle) : v/S ; S·v ; v²·S. Q5. Montrer que D_V = 1,3×10⁻² m³·s⁻¹. Q6. Montrer, par conservation du débit, que v_B = 16 m·s⁻¹. Q7. Nommer le phénomène au point B responsable de l'aspiration. Q8. Montrer que Δp = p_B − p_A = ½ρ(v_A² − v_B²). Q9. Calculer Δp. Commenter.
L'eau (4 mg·L⁻¹) doit être traitée en moins de 2 h. L'aérateur permet d'assimiler 6 mg de O₂ par litre d'eau brassé (oxygénation constante, système fermé).
Q10. Montrer qu'il faut ajouter 344 g de dioxygène pour atteindre 6 mg·L⁻¹. Q11. Calculer le volume d'eau à brasser. Q12. Déterminer si l'oxygénation peut être faite en moins de 2 h.
📖Le contexte (énoncé)
📋 ÉNONCÉ (mot pour mot)
Les eaux d'un bassin d'orage manquent de dioxygène. On surveille le taux avec une bouée instrumentée (flottabilité) et on l'oxygène avec un aérateur à jetAérateur à jet : dispositif qui aspire l'eau dans un rétrécissement (effet Venturi) pour y injecter de l'air.. On étudie la flottabilité puis le temps d'oxygénation.
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