Exercice 2 — Physique et raccordements routiers (5 points)
Pour raccorder une ligne droite à un cercle en sécurité, les ingénieurs utilisent une clothoïde : elle assure une augmentation linéaire dans le temps de l'accélération jusqu'à une valeur constante et maximale dans l'arc de cercle. On étudie un véhicule sur l'échangeur de Cronenbourg, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Figure 1 — clothoïde : raccorde une droite à un cercle
1. Mouvement sur l'arc de clothoïde (entre O et S)
La portion OP est une ligne droite horizontale. Le véhicule est un point M, d'accélération initiale nulle, de vitesse constante v = 15,0 m·s⁻¹. Un programme Python calcule les vitesses puis les accélérations à partir des positions (t, x, y).
for i in range(0,len(t)-1): vx.append((x[i+1]-x[i])/dt) vy.append((y[i+1]-y[i])/dt) ... ax. ____ ay. ____ a.append(sqrt(ax[i]**2+ay[i]**2))
t (s)
1,50
3,00
4,50
6,00
7,50
9,00
a (m·s⁻²)
0,1587
0,3218
0,4824
0,6411
0,8070
0,9506
Q1. Déterminer l'accélération sur OP (figure 2) et caractériser le mouvement. Q2. Écrire les lignes de programme calculant a_x et a_y. Q3. Vérifier que l'accélération augmente linéairement dans le temps (justifier la méthode).
2. Mouvement sur l'arc de cercle (entre S et Q)
Le véhicule décrit un arc de cercle de rayon r = 75,0 m, à vitesse constante v = 15,0 m·s⁻¹.
Repère de Frenet : u⃗_T (tangent), u⃗_N (vers le centre C) ; a⃗ = (v²/r)·u⃗_N
Q4. Tracer les vecteurs u⃗_N et u⃗_T du repère de Frenet au point M. Q5. Justifier que a⃗ = (v²/r)·u⃗_N. Q6. Représenter à l'échelle (1,0 cm ↔ 1,0 m·s⁻²) le vecteur a⃗ au point M.
Un véhicule en virage subit : son poids P⃗, la réaction R⃗ de la chaussée et une force de frottement f⃗. Cinq schémas proposent ces trois forces. Masse 1200 kg ; f ≤ 10 400 N (sec) et 7 200 N (humide), sinon dérapage.
Panneaux possibles — le bon est 70 km/h (v_c ≈ 76 km/h)
Q7. Indiquer le schéma correct (en s'appuyant sur l'accélération). Q8. Choisir le panneau de limitation à placer avant O. Expliquer.
📖Le contexte (énoncé)
📋 ÉNONCÉ (mot pour mot)
Une clothoïdeClothoïde : courbe dont la courbure augmente linéairement ; elle raccorde en douceur une droite et un cercle. raccorde une droite à un cercle en assurant une augmentation linéaire de l'accélération jusqu'à une valeur constante dans l'arc de cercle. On étudie un véhicule (point M, v = 15,0 m·s⁻¹) sur la clothoïde puis sur l'arc de cercle (r = 75,0 m).
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