Physique-Chimie · Terminale générale
Chapitre 7
Mouvements dans un champ de gravitation
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Chapitre 7 — Mouvements dans un champ de gravitationSpé Physique-Chimie · Terminale
Introduction

Chapitre 7 — Mouvements dans un champ de gravitation

Chap 7 — Mouvements dans un champ de gravitation
Idéela gravitation gouverne la chute d'une pomme comme l'orbite des planètes
outils : loi de Newton + repère de Frenet + lois de Kepler
Feuille de route
① loi de gravitation + champ 𝒢 ② Frenet (uT, uN) ③ satellite circulaire (v, T) ④ 3 lois de Kepler ⑤ géostationnaire
Conventions
G = 6,67×10−11 SI (romain, constante) · 𝒢 = champ (italique) · convertir en m et s
I — Gravitation

I.1 — La loi de gravitation de Newton

I.1 — La loi de gravitation de Newton
2 corps (mA, mB) séparés de r s'attirent :
F = G × mA·mBr2 (G = 6,67×10−11, m en kg, r en m, F en N)
direction : droite (AB) des centres · sens : attractif
décroît en 1r2 (r double F ÷ 4)
Action–réaction (3ᵉ loi)
les 2 forces sont opposées, de même valeur

I.2 — Le champ de gravitation 𝒢

I.2 — Le champ de gravitation 𝒢
un astre (masse M) crée à la distance r un champ 𝒢 dirigé vers lui :
𝒢 = G × Mr2 (en N·kg−1) · un corps subit F = m·𝒢
Lien avec la pesanteur
à la surface (rayon R) : 𝒢0 = G·MR2 · Terre : 𝒢0 ≈ 9,8 N·kg−1
𝒢 s'identifie au champ de pesanteur g (poids P = m·g)
I — Exemple

Exemple — force et champ de gravitation

Ex — force et champ de gravitation
MT = 5,97×1024 · ML = 7,35×1022 · d = 3,84×108 m · RT = 6,37×103 km
a) force Terre-Lune
F=G·MT·MLd2
=6,67×10−11 × 5,97×1024 × 7,35×1022(3,84×108)2
=1,98×1020 N
b) champ à la surface(RT = 6,37×106 m)
𝒢0=G·MTRT2
=9,81 N·kg−1
≈g
I — Application 1

Application 1 — Loi de gravitation & champ

App 1 — Loi de gravitation & champ
1) Soleil-TerreMS = 1,99×1030, d = 1,50×1011
FS/T=G·MS·MTd2
=3,52×1022 N (3ᵉ loi : FT/S
=même valeur, opposée)
2) champ𝒢0(Terre) = 9,81 ≈ g · 𝒢(Mars) = G·6,42×1023(3,39×106)2 = 3,7 N·kg−1 (≈ 2,6× moins lourd)
3) Lune𝒢(Lune) = G·7,35×1022(1,74×106)2 = 1,6 N·kg−1
P ∝ 𝒢 : P(Lune) = 800 × 1,69,8 = 1,3×102 N (≈ 6× moins lourd)
II — Frenet

II.1 — Le repère de Frenet (repère mobile)

II.1 — Le repère de Frenet (mobile)
point M sur un cercle (centre O, rayon r), repère (M, uT, uN) défini à chaque instant :
origine : le point mobile M lui-même
uT : tangent, dans le sens du mouvement
uN : normal, vers le centre O (centripète)
Mémo
uN pointe TOUJOURS vers le centre

II.2 — v et a dans le repère de Frenet

II.2 — v et a dans le repère de Frenet
v = v·uT · a = dvdt·uT + v2r·uN
aT = dvdt : variation de la VALEUR de v
aN = v2r (≥ 0, centripète) : changement de DIRECTION
circulaire UNIFORME (v = cte) : aT = 0 a = v2r·uN
⚠
« uniforme » ne veut PAS dire « accélération nulle » !
II — Exemple

Exemple — caractériser le vecteur accélération

Ex — caractériser le vecteur accélération
cercle r = 2,0 m, v = 4,0 m·s−1 constante
v constante aT = dvdt = 0
aN=v2r
=4,022,0
=162,0
=8,0 m·s−2
a radial, centripète (vers le centre) · circulaire uniforme (a ≠ 0, seule la direction varie)
II — Application 2

Application 2 — Vitesse & accélération (Frenet)

App 2 — Vitesse & accélération (Frenet)
1) satelliter = 7,0×103 km, v = 7,5 km·s−1 constante
v = v·uT · a = dvdt·uT + v2r·uN · v cte aT = 0 circulaire uniforme
aN=v2r
=(7,5×103)27,0×106
=8,0 m·s−2 (centripète, vers le centre)
2) mesureaT = 0, aN = 3,0 constante circulaire uniforme
a = 3,0·uN centripète par ΣF = m·a, la résultante est aussi centripète
III — Satellite

III.1 — La 2ᵉ loi de Newton en orbite → a = 𝒢

III.1 — 2ᵉ loi en orbite a = 𝒢
corps (m) en orbite (r) autour de A (M), réf. lié à A galiléen · seule force : l'attraction
m·a = G·M·mr2·uN ⟹ a = G·Mr2·uN = 𝒢
l'accélération ÉGALE le champ 𝒢 : centripète, indépendante de m
🔑 Méthode
① système (m) ② référentiel lié à l'astre (galiléen) ③ bilan : seule FA/M ④ ΣF = m·a, projeter dans Frenet

III.2 — Mouvement uniforme & vitesse orbitale

III.2 — Mouvement uniforme & vitesse orbitale
projeter a = 𝒢·uN dans Frenet : aT = dvdt = 0 · aN = v2r = G·Mr2
aT = 0 valeur de v constante mouvement uniforme
démo : v2r = G·Mr2 v2 = G·Mr
v = √(G·Mr)
Mémo
v ne dépend que de M (astre) et r, PAS de la masse du satellite · orbite haute (r ↑) v faible

III.3 — Période & 3ᵉ loi de Kepler (cas circulaire)

III.3 — Période & 3ᵉ loi de Kepler (circulaire)
en une période T : circonférence 2πr à la vitesse v v = 2πrT
avec v = √(G·Mr) :
T = 2π·√(r3G·M) ⟹ T2r3 = 4π2G·M = cste
Démonstration
2πrT = √(G·Mr) · au carré : 4π2r2T2 = G·Mr T2r3 = 4π2G·M
III — Exemple

Exemple — vitesse et période de la Lune

Ex — vitesse et période de la Lune
orbite r = 3,84×108 m autour de la Terre (MT = 5,97×1024)
v=√(G·MTr)
=√(1,04×106)
=1,0 km·s−1
T=2π·√(r3G·MT)
=2,37×106 s
T=2,37×10686400
=≈ 27 jours (mois sidéral)
III — Application 3

Application 3 — 2ᵉ loi de Newton (ISS)

App 3 — 2ᵉ loi de Newton (ISS)
ISS à l'altitude h = 4,0×102 km (MT = 5,97×1024, RT = 6,37×103 km)
a)système = ISS (m) · réf. géocentrique galiléen · seule force : attraction terrestre
b)m·a = G·MT·mr2·uN a = G·MTr2·uN = 𝒢 (indép. de m)
c)sur uT : aT = dvdt = 0 uniforme · a = v2r·uN centripète (vers le centre)
III — Application 4

Application 4 — Vitesse, période & 3ᵉ loi de Kepler

App 4 — Vitesse, période & 3ᵉ loi de Kepler
1) ISSh = 4,0×102 km, r = RT + h = 6,77×106 m
v=√(G·MTr)
=√(5,88×107)
=7,7 km·s−1
T=2π·√(r3G·MT)
=5,55×103 s
=≈ 92 min 864005,55×103
≈16 tours par jour
2) retrouver Keplerv = 2πrT et v = √(G·Mr) au carré T2r3 = 4π2G·M
IV — Kepler

IV.1 — Vocabulaire de l'orbite elliptique

IV.1 — Vocabulaire de l'orbite elliptique
les vraies orbites sont des ellipses (2 foyers F, F′) · demi-grand axe a = moitié du grand axe
périhélie : point le + proche du Soleil · aphélie : le + éloigné
(autour de la Terre : périgée et apogée) · quasi circulaire a ≈ r
Mémo
l'astre attracteur occupe UN foyer (pas le centre) de l'ellipse

IV.2-3 — Lois 1 (orbites) & 2 (aires)

IV.2-3 — Lois 1 (orbites) & 2 (aires)
1ʳᵉ loi: chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer
2ᵉ loi (aires): le rayon Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales
conséquence : v maximale au périhélie (proche), v minimale à l'aphélie (loin)
Exemple (Terre)
≈ 30 km·s−1 au périhélie · ≈ 29 km·s−1 à l'aphélie

IV.4 — 3ᵉ loi de Kepler (loi des périodes)

IV.4 — 3ᵉ loi de Kepler (loi des périodes)
T2a3 = k = 4π2G·M = cste (T2 ∝ a3 · a ≈ r si circulaire)
PlanèteT (s)a (m)T2a3
Terre3,16×1071,50×10112,96×10−19
Jupiter3,75×1087,81×10112,95×10−19
🔑 Puissance de Kepler
mesurer T et a suffit pour « peser » l'astre : M = 4π2G·k
IV — Exemple

Exemple — vérifier Kepler & « peser » le Soleil

Ex — vérifier Kepler & « peser » le Soleil
Terre T2a3 ≈ 2,96×10−19 · Jupiter ≈ 2,95×10−19 s2·m−3
rapports égaux 3ᵉ loi de Kepler vérifiée
k = 4π2G·MS
MS=4π2G·k
=4π26,67×10−11 × 2,96×10−19
=2,0×1030 kg
T et a suffisent pour « peser » le Soleil sans s'y rendre
IV — Application 5

Application 5 — Exploiter les lois de Kepler

App 5 — Exploiter les lois de Kepler
1) comète de HalleydP = 8,8×1010, dA = 5,3×1012
loi des aires v max au périhélie, min à l'aphélie · dP·vP = dA·vA
vA=vP·dPdA
=54,6 × 8,8×10105,3×1012
=0,91 km·s−1 (≈ 60× plus lente)
2) satellites de Jupiterchaque lune T2a3 ≈ 3,1×10−16 3ᵉ loi vérifiée
MJ=4π2G × 3,1×10−16
=1,9×1027 kg (≈ 320× la Terre)
V — Géostationnaire

V.1 — Le satellite géostationnaire

V.1 — Le satellite géostationnaire
reste en permanence à la verticale d'un même point du sol (immobile / sol)
2 conditions :
orbite équatoriale, dans le sens de rotation de la Terre
période = rotation propre de la Terre : T = 23 h 56 min ≈ 24 h
Atouts & usages
immobile pour le sol (antenne fixe) · altitude élevée couvre > ⅓ du globe · télécom, TV, météo

V.2 — L'altitude géostationnaire (≈ 36 000 km)

V.2 — L'altitude géostationnaire (≈ 36 000 km)
méthode : Kepler T2r3 = 4π2G·MT, r = RT + h isoler r3 racine cubique h = r − RT
h = (G·MT·T24π2)1/3 − RT ≈ 36 000 km (indép. de la masse du satellite)
calcul : T = 24 h = 8,64×104 s r3 = G·MT·T24π2 ≈ 7,53×1022 r = (7,53×1022)1/3 ≈ 4,22×107 m
h=r − RT
=4,22×107 − 6,37×106
≈ 3,6×107 m ≈ 36 000 km
V — Application 6

Application 6 — Satellite géostationnaire

App 6 — Satellite géostationnaire
1)conditions : (i) équatoriale, sens de rotation (ii) T ≈ 24 h
r3 = G·MT·T24π2 r ≈ 4,22×107 m · h = r − RT ≈ 36 000 km ✓
v=2πrT
=2π × 4,22×1078,64×104
=3,1 km·s−1
2) orbite basseh′ = 8,0×102 km, r′ = 7,17×106 m
T′=2π·√(r′3G·MT)
=≈ 101 min
le géostat. est immobile (antenne fixe) et couvre > ⅓ du globe ; l'orbite basse défile trop vite
Récap

Formulaire — tout le chapitre 7

Formulaire — tout le chapitre 7
① gravitation : F = G·mA·mBr2 (∝ 1r2)
② champ : 𝒢 = G·Mr2 · F = m·𝒢
③ Frenet : a = dvdt·uT + v2r·uN
④ orbite : a = 𝒢 (centripète) mvt uniforme
⑤ vitesse : v = √(G·Mr) · T = 2π√(r3G·M)
⑥ Kepler : T2a3 = 4π2G·M · géostat. h ≈ 36 000 km

⚠️ Les pièges + questions de Grand Oral

⚠ Les pièges à éviter
G romain (constante) ≠ 𝒢 italique (champ) · convertir km m, h s
r = R + h : rayon d'orbite = rayon de l'astre + altitude (piège fréquent)
v et T ne dépendent PAS de la masse du satellite
« uniforme » ≠ « a nulle » : circulaire a centripète v2r
3ᵉ loi T2a3 constante sert à peser l'astre attracteur
géostationnaire : T = 24 h, équatorial h ≈ 36 000 km toujours
🎤 Grand Oral
« peser » une planète jamais visitée ?Kepler : M = 4π2G·k avec T et a
pourquoi les astronautes flottent dans l'ISS ?chute libre permanente (a = 𝒢, indép. de m)
Kepler et la découverte de Neptune « au bout d'un crayon » ?écarts d'orbite masse cachée
pourquoi un géostationnaire ne « tombe » jamais ?il tombe en permanence (orbite = chute libre courbée)