Livret de Physique-Chimie

Chapitre 4 — Décrire un mouvementSpé Physique-Chimie · Terminale

Introduction

Chapitre 4 — Décrire un mouvement

Chap 4 — Décrire un mouvement (cinématique)

Butdécrire comment les objets bougent (avant le pourquoi = les forces)

4 questions : par rapport à quoi ? (référentiel) · où ? (OG) · à quelle vitesse ? (v) · comment ça change ? (a)

Feuille de route

① référentiel (galiléen) ② OG, v, a par dérivation ③ chronophotographie ④ repère de Frenet ⑤ caractériser a

🔑 Outil : dériver (A, B, C constantes)

(C)′ = 0 · (B·t + C)′ = B · (A·t² + B·t + C)′ = 2A·t + B

I — Référentiel

I.1 — Le référentiel et la relativité du mouvement

I.1 — Référentiel & relativité du mouvement

= un solide de référence + un repère d'espace + une horloge

décrire un mouvement n'a de sens qu'une fois le référentiel précisé

un même mouvement paraît différent selon le référentiel = relativité du mouvement

Exemple à retenir

passager d'un train : immobile pour son voisin, en mouvement pour le quai · aucun n'a tort

I.1 — Les trois référentiels usuels

I.1 — Les 3 référentiels usuels

on choisit celui qui décrit le mouvement le + simplement :

Terrestre : la Terre objets à sa surface (voiture, ballon)

Géocentrique : centre de la Terre, axes vers étoiles Lune, satellites

Héliocentrique : centre du Soleil, axes vers étoiles planètes

Bon réflexe

l'objet de référence naturel : Terre (terrestre) · centre Terre (satellite) · Soleil (planète)

I — Galiléen

I.2 — Le référentiel galiléen (principe d'inertie)

I.2 — Le référentiel galiléen (inertie)

= référentiel où le principe d'inertie (1ʳᵉ loi de Newton) est vérifié :

forces qui se compensent ⟺ immobile ou rectiligne uniforme

tout réf. en translation rectiligne uniforme / un galiléen est galiléen

Mémo

« galiléen » = « le principe d'inertie marche »

I.2 — Le caractère galiléen dépend de la DURÉE

I.2 — Le galiléen dépend de la DURÉE

aucun réf. n'est parfaitement galiléen dépend de la durée vs rotation Terre (T ≈ 24 h)

Terrestre : galiléen sur une étude courte (quelques min)

Géocentrique : galiléen sur quelques heures

Héliocentrique : galiléen (référence)

Idée clé

+ l'étude est longue, + il faut un réf. « large » (sinon la Terre tourne plus une translation)

I — Exemple

Exemple — choisir le référentiel & discuter du galiléen

Ex — choisir le référentiel & juger galiléen

a)coureur sur un stade surface de la Terre référentiel terrestre

b)Lune autour de la Terre référentiel géocentrique

Tour Eiffel, terrestre galiléen ? (comparer à T ≈ 24 h)

30 s : durée très courte terrestre galiléen

12 h : sensible / 24 h terrestre NON galiléen

I — Application 1

Application 1 — Choisir un référentiel & juger du galiléen

App 1 — Référentiel & caractère galiléen

1) choix: a) fourmi terrestre · b) satellite géocentrique · c) Jupiter héliocentrique

2) durée(Tour Eiffel / 24 h) : a) 30 s galiléen · b) 12 h non galiléen

3) inertie: mobile autoporteur rectiligne uniforme, ΣF = 0

comportement = celui prévu par l'inertie le labo est galiléen

II — Vecteurs

II.1 — Le vecteur position et les équations horaires

II.1 — Vecteur position & équations horaires

on étudie le centre de masse G (centre d'inertie) :

OG (t) : ( x(t) ; y(t) ; z(t) ) · OG = √(x² + y² + z²)

x(t), y(t), z(t) = équations horaires (m, t en s) · OG = distance à O

Mémo

OG pointe de O vers G · tout le reste se déduit par dérivation

II.2 — Le vecteur vitesse (dérivée de la position)

II.2 — Vecteur vitesse (dérivée de position)

v = dOGdt ⟹ v_x = dxdt ; v_y = dydt ; v_z = dzdt

v = √(v_x² + v_y² + v_z²) en m·s⁻¹ (on dérive chaque coordonnée)

Caractériser v

direction : tangente à la trajectoire · sens : celui du mouvement · valeur : v

« vitesse = position dérivée » · v toujours tangent

II.3 — Le vecteur accélération (dérivée de la vitesse)

II.3 — Vecteur accélération (dérivée de vitesse)

a = dvdt = d²OGdt²

a_x = dv_xdt ; a_y = dv_ydt ; a_z = dv_zdt

a = √(a_x² + a_y² + a_z²) en m·s⁻² (dérivée seconde de la position)

🔑 Dérivées de référence

(C)′ = 0 · (B·t + C)′ = B · (A·t² + B·t + C)′ = 2A·t + B

II — Exemple

Exemple — v et a d'un projectile par dérivation

Ex — v et a d'un projectile (dérivation)

x(t) = v₀·cosα·t · y(t) = −½·g·t² + v₀·sinα·t + h

v_x = dxdt = v₀·cosα · v_y = dydt = −g·t + v₀·sinα

v ( v₀·cosα ; −g·t + v₀·sinα )

a_x = 0 · a_y = dv_ydt = −g a ( 0 ; −g )

a constant, vertical, vers le bas : chute libre (a = g)

II — Application 2

Application 2 — Composantes de v et a par dérivation

App 2 — Composantes de v et a

1) billex = 6,0·t · y = −4,9·t² + 3,0·t (SI)

v_x = 6,0 · v_y = −9,8·t + 3,0 à t = 0 : v(0) ( 6,0 ; 3,0 )

v(0)	=	√(6,0² + 3,0²)
	=	√45
	=	6,7 m·s⁻¹

a ( 0 ; −9,8 ) a = 9,8 m·s⁻² = g chute libre

2) planx = 2,0·t² − t · y = 3,0·t v_x = 4,0·t − 1, v_y = 3,0

a ( 4,0 ; 0 ) a = 4,0 m·s⁻² indépendant de t a constant

III — Chronophoto

III.1 — Lire une chronophotographie

positions M₀, M₁, M₂… à intervalles égaux τ

trajectoire: alignés rectiligne · cercle circulaire · courbe curviligne

nature(écarts, τ constant) : égaux uniforme · croissants accéléré · décroissants ralenti

Mémo

trajectoire = forme des points · nature = écarts entre points

III.2 — Tracer le vecteur vitesse en un point

III.2 — Tracer v en un point M_i

v_i = M_i−1M_i+12τ (points VOISINS, avant + après)

direction : tangente ≈ droite (M_i−1M_i+1) · sens : du mouvement

reporter à une échelle (ex. 1 cm ↔ 1 m·s⁻¹)

⚠ Piège

on divise par 2τ (2 intervalles entre l'avant et l'après), PAS par τ

III.3 — Tracer le vecteur accélération

a_i ≈ Δvτ = v_i+1 − v_iτ

colinéaire et de même sens que la variation Δv

construire : v_i+1 et −v_i bout à bout Δv

Sens de a

accéléré sens du mouvement · ralenti sens opposé · courbe vers l'intérieur (concavité)

III — Application 3

Application 3 — Exploiter une chronophotographie

App 3 — Exploiter une chronophotographie

1) chutepoints sur une droite verticale, écarts croissants

rectiligne accéléré · v et a verticaux vers le bas (même sens)

2) basketcourbe (parabole), M₂M₄ = 1,8 m, τ = 0,10 s

v₃	=	M₂M₄2τ
	=	1,82×0,10
	=	1,80,20
	=	9,0 m·s⁻¹

a₃ pointe vers l'intérieur de la courbe (concavité), vers le bas

IV — Frenet

IV.1 — Le repère de Frenet (mouvement circulaire)

IV.1 — Le repère de Frenet (circulaire)

cercle de rayon R : au point M, repère ( M ; u_n , u_τ ) :

u_τ : tangent, dans le sens du mouvement

u_n : normal, dirigé vers le centre (centripète)

Mémo

u_n pointe TOUJOURS vers le centre du cercle

IV.2 — v et a dans le repère de Frenet

v = v·u_τ · a = a_n·u_n + a_τ·u_τ

a_n = v²R (≥ 0, centripète) · a_τ = dvdt (tangentielle)

circulaire UNIFORME (v = cte) : a_τ = 0

a = v²R·u_n (a = v²R)

Mémo

circ. uniforme a purement centripète (vers le centre)

IV — Exemple

Exemple — accélération en mouvement circulaire

Ex — accélération en mouvement circulaire

gyropode autour d'une fontaine (rayon R, valeur v constante). Accélération ?

« uniforme » ne porte que sur la valeur : la direction de v (tangente) change sans cesse

v varie a = dvdt ≠ 0 : il subit bien une accélération

Frenet, v = cte a_τ = 0 a = v²R·u_n

centripète, valeur v²R, dirigée vers le centre

IV — Application 4

Application 4 — Utiliser le repère de Frenet

App 4 — Utiliser le repère de Frenet

1) fontaineR = 3,5 m, v = 10 km·h⁻¹

a) direction de v change v varie a ≠ 0

v	=	103,6
	=	2,78 m·s⁻¹

a	=	v²R
	=	2,78²3,5
	=	2,2 m·s⁻² (centripète)

c) 2,2 < 2,5 contournement sûr

2) nacelleR = 6,0 m, 1 tour en T = 8,0 s

v	=	2π·RT
	=	2π × 6,08,0
	=	4,7 m·s⁻¹

a	=	v²R
	=	4,71²6,0
	=	3,7 m·s⁻² (centripète)

⚠ Piège

convertir v en m·s⁻¹ (÷ 3,6) AVANT d'élever au carré · manège : v = 2πRT

V — Synthèse

V — Caractériser le vecteur accélération

a renseigne sur la façon dont v varie (valeur ET direction) :

Mouvement	Valeur v	Vecteur a
Rectiligne uniforme	v = cte	a = 0
Rectiligne varié	v varie	a colinéaire à v (a_n = 0)
Circulaire uniforme	v = cte	centripète, a = v²R (a_τ = 0)
Circulaire non unif.	v varie	a = v²R·u_n + (dvdt)·u_τ

🧠 Mémo capital

« uniforme » qualifie TOUJOURS la valeur de v (v = cte), jamais le vecteur

circ. uniforme : la direction de v change a ≠ 0 (centripète, v²R)

V — Application 5

Application 5 — Caractériser a (rectiligne, circulaire)

App 5 — Caractériser a (rectiligne, circulaire)

1) freinagev_A = 16 km·h⁻¹ v_B = 10 km·h⁻¹ en Δt = 1,1 s

a) droite + v diminue rectiligne ralenti · a opposée à v

a	=	v_A − v_BΔt
	=	4,44 − 2,781,1
	=	1,5 m·s⁻²

AB	=	v_A² − v_B²2a
	=	19,7 − 7,73,0
	=	4,0 m

2) train ralentitdroite a_n = 0 · a_τ = dvdt < 0 a de sens opposé

3) VF« circ. uniforme = sans accélération » FAUX (a centripète v²R)

Aller plus loin

Capacité numérique — vitesse & accélération en Python

Capacité numérique — v & a en Python

positions relevées (vidéo, intervalle τ) différences centrées :

v_i = M_i−1M_i+12τ puis a_i = v_i+1 − v_i−12τ

numpy : vx = x[2:] − x[:−2]2·τ ; idem vy · puis ax, ay pareil

plt.quiver(...) trace les flèches v le long de la trajectoire

🧠 On en déduit

l'orientation de a (vers la concavité) renseigne sur la résultante des forces

Récap

Formulaire — tout le chapitre 4

① position : OG ( x ; y ; z ) · OG = √(x²+y²+z²)

② vitesse : v = dOGdt (tangente)

③ accélération : a = dvdt (dériver 2× la position)

④ chronophoto : v_i = M_i−1M_i+12τ · a vers la concavité

⑤ Frenet : a_n = v²R (centripète) · a_τ = dvdt

⑥ circulaire : v = 2πRT · uniforme : a = v²R

⚠️ Les pièges + questions de Grand Oral

⚠ Les 6 pièges à éviter

toujours préciser le référentiel (relativité)

galiléen selon la durée (comparer à ≈ 24 h)

dériver chaque coordonnée séparément · 2× pour a

chronophoto : diviser par 2τ (points voisins), pas τ

« uniforme » = valeur de v · circulaire a ≠ 0 (centripète v²R)

convertir km·h⁻¹ m·s⁻¹ (÷ 3,6) avant d'élever au carré

🎤 Grand Oral

une accélération peut-elle être létale ?en « g » : 5 g prolongés tolérés, brefs > 20–50 g lésions (a = Δv/Δt)

accélérations d'une raquette de tennis ?a énormes au contact forces internes matériaux, vibrations

machines à très grande accélération ?centrifugeuses : a = v²R R petit, v grand a colossale