Variables aléatoires — Séquence — Variables aléatoires (rappels 1ère + approfondissement)Spé Maths · Terminale
Intro
Séquence — Variables aléatoires (rappels 1ère + approfondissement)
Variables aléatoires (le SOCLE)
Butloi · E(X), V(X), σ(X) · König-Huygens · E(aX+b) · loi binomiale
fonde S09 (binomiale) et S14 (sommes) · fil rouge : les jeux d'argent
Feuille de route
I-II.variable aléatoire + loi de probabilité (tableau, somme = 1)
III.E, V, σ + König-Huygens + E(aX+b)
applications : 4 exemples · coiffeur · 2 binomiales · coloriste · jeu équitable
Le réflexe
arbre → loi → E(X) → interprétation
jeu : E=0 équitable · E<0 défavorable · E>0 favorable
I & II — Notion
I & II — Variable aléatoire et loi de probabilité : la définition
I-II — Variable aléatoire & loi
X = fonction qui à chaque issue associe un réel
loi de X = les valeurs xᵢ et les probas pᵢ = P(X = xᵢ)
présentée en tableau · Σ pᵢ = 1 (à vérifier !)
Ex fondateur — le dé (gain)
face 1 -> +5 € · sinon -> −2 € · X = gain algébrique
P(X=5) = P({1}) = 16 · P(X=−2) = 5×16 = 56
À retenir
une même expérience -> plusieurs variables possibles
« gain algébrique » : une perte = un gain négatif
III — E, V, σ
III — Espérance, variance, écart type + König-Huygens (démonstration)
III — Espérance, variance, écart type
E(X) = Σ pᵢxᵢ (moyenne sur un grand nombre de parties)
V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² · σ(X) = √V(X)
E et σ dans la même unité que X
König-Huygens (calculs courts)
V(X) = Σ pᵢxᵢ² − E(X)² (= E(X²) − E(X)²)
démo : développer (xᵢ−E)², sortir les constantes, or Σpᵢxᵢ=E et Σpᵢ=1
Transformation affine (admise)
E(aX + b) = aE(X) + b · V(aX + b) = a²V(X)
le +b disparaît dans la variance !
Exemples
Exemples 1 & 2 — Le dé cubique · les deux lancers de pièce (E, V, σ complets)
Ex 1 — le dé (5 € / −2 €)
E(X) = (16)×5 + (56)×(−2) = −56 ≈ −0,83 € (défavorable)
V(X) = (16)(5+56)² + (56)(−2+56)² = 24536
König : (16)·25 + (56)·4 − (56)² = 24536 ✓ · σ = 7√56 ≈ 2,61
Ex 2 — deux pièces (mise 1 €)
gains mise déduite : PP=5 · PF=FP=1 · FF=−3
loi : P(5)=14 · P(1)=12 · P(−3)=14
E(X) = 54 + 24 − 34 = 1 € (favorable) · V(X) = 8 · σ = 2√2
2 pièges mortels
① dans V(X) : valeur EXACTE de E(X) (−56, jamais −0,83)
② retrancher la mise dans CHAQUE gain · toujours interpréter (favorabledéfavorable)
Exemples 3 & 4 — L'urne aux cinq jetons · le sac de jetons colorés
Ex 3 — urne 5 jetons (mise 2 €)
pair -> 2× la valeur − mise · impair -> perd la mise
gains : jeton 2 -> +2 · jeton 4 -> +6 · impairs -> −2
loi : P(2)=15 · P(6)=15 · P(−2)=35 (par le contraire !)
E(G) = 25 = 0,4 € · V(G) = 25625 · σ = 165 = 3,2 (exact !)
Ex 4 — sac 30 jetons colorés
R(3)→+3 · V(3)→+5 · B(15)→−1 · N(2)→−3 · somme = 1 ✓
E(X) = −12 + 1 + 12 − 15 = 45 = 0,8 pt
V(X) = 16525 − 1625 = 14925 = 5,96 · σ ≈ 2,44
Réflexes gagnants
gain = somme reçue − mise · dernière proba par le contraire (1 − …)
König pour V · vérifier Σ = 1 AVANT · ne pas arrondir ce qui est exact (165)
E(aX+b)
Propriété E(aX + b) — Le coiffeur à domicile
E(aX+b) — le coiffeur à domicile
X = nb de RDV (loi 0→5 : 0,030,090,150,380,180,17)
1) E(X)= 0,09+0,30+1,14+0,72+0,85 = 3,1 RDVjour
2a) Y = gain30 €/RDV − 15 € frais -> Y = 30X − 15
2b) E(Y)= 30E(X) − 15 = 30×3,1 − 15 = 78 €
Schéma « transformation affine »
modéliser Y = aX+b (tarif × nombre − frais) -> E(aX+b)=aE(X)+b
sans recalculer une loi ! (et V(Y) = 30²V(X), le −15 disparaît)
Loi binomiale
Application 3 — Modéliser par une loi binomiale (type bac 2) : le QCM
App — QCM binomiale (type bac)
3 questions, 1 bonne sur 4, au hasard · X = nb de bonnes
a) modélisationn=3, succès « bonne réponse », p=14
-> X ↪ ℬ(3 ; 0,25) · E(X) = 3×0,25 = 0,75
b) P(X=2)= (32)·0,25²·0,75 ≈ 0,141
c) P(X≤2)= 1 − P(X=3) = 1 − 0,25³ ≈ 0,984
La phrase de modélisation (par cœur)
« on répète n fois de façon identique et indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès « … » a pour proba p »
P(X=k) -> binomFdp · P(X≤k) -> binomFRep (S09 !)
Application 4 — Loi binomiale (type bac 3) : le portique (Bac ES Liban 2018)
App — portique ℬ(80;0,02192)
1-2)80 personnes, p=0,02192 -> X ↪ ℬ(80;0,02192)
E(X) = 80×0,02192 = 1,7536 (≈ 2 personnes)
3)« au moins une » : P(X≥1) = 1 − (1−0,02192)⁸⁰ ≈ 0,830
« au maximum 5 » : P(X≤5) ≈ 0,992
4) Seuils (tableau binomFRep)
a)P(X≤2)≈0,744 < 0,9 ≤ P(X≤3)≈0,901 -> a = 3
b)P(X≤1)≈0,474 ≤ 0,5 < P(X≤2)≈0,744 -> b = 1
Questions de seuil
TOUJOURS le tableau binomFRep sur la copie, les 2 lignes qui encadrent le seuil
= l'équivalent probabiliste des seuils de suites (S03S05)
TYPE BAC BLANC
TYPE BAC BLANC — Le coloriste (Partie A) : questions 1 à 5
BAC BLANC — coloriste · A (probas cond.)
C = couleur-soin (0,4) · M = effet · P(C∩M)=0,24 · P_C̄(M)=0,3
1) PC(M)_ = 0,240,4 = 0,6
3) ni-niP(C̄∩M̄) = 0,6×0,7 = 0,42
4) P(M)= 0,24 + 0,6×0,3 = 0,42 (probas totales)
5) Indépendance, incompatibilité, union
a)P_C(M)=0,6 ≠ P(M)=0,42 -> NON indépendants
b)P(C∩M)=0,24 ≠ 0 -> NON incompatibles
c)P(C∪M) = 0,42 + 0,4 − 0,24 = 0,58
Le trio de justifications
indépendants ⟺ P_C(M)=P(M) · incompatibles ⟺ P(C∩M)=0 · union = P(A)+P(B)−P(A∩B)
« probabilités totales » à NOMMER sur la copie
TYPE BAC BLANC (suite) — question 6 : la variable aléatoire du gain
BAC BLANC — coloriste · B (gain X)
tarifs : 35 € couleur-soin · 40 € effet · X = gain
valeurs : 0 · 35 · 40 · 75 (au bout des branches de l'arbre)
loi : P(0)=0,42 · P(35)=0,16 · P(40)=0,18 · P(75)=0,24 (Σ=1)
E(X) = 5,6 + 7,2 + 18 = 30,80 € · σ(X) ≈ 29,75 €
e) Tarif pour +15 % d'espérance
E(Y) = 1,15 × 30,8 = 35,42 · Y : valeurs 0, 35, p, 35+p
35×0,16 + p×0,18 + (35+p)×0,24 = 35,42
0,42p + 14 = 35,42 -> p = 51 €
Le pont conditionnelles → VA
valeurs de X au bout des branches · probas = produits le long des branches
question e = équation sur E (grand classique de fin d'exercice)
Entraînement
Fiche d'entraînement — Fête foraine · le jeu équitable (x = 2)
Fiche 1 — fête foraine (sans remise)
urne : 2R, 2V, 1B · tirer 2 sans remise · blanche -> +10 € · partie 5 €
loi : P(X=−5) = (45)×(34) = 35 · P(X=5) = 25
E(X) = −5×(35) + 5×(25) = −1 € (défavorable)
Fiche 2 — le jeu équitable (trouver x)
15 boules : 3R(−50) · 7V(+20) · 5J(+x) · G = gain
E(G) = −50×(15) + 20×(715) + x×(13) = −23 + (13)x
équitable ⟺ E(G)=0 ⟺ (13)x = 23 -> x = 2
2 réflexes d'or
sans remise -> les probas du 2ᵉ tirage changent (14, 34 !)
« jeu équitable » = E(X) = 0 (loi avec paramètre -> E(x) -> résoudre)
Formulaire
Formulaire récapitulatif — Variables aléatoires
Formulaire — E, V, σ
E(X) = Σ pᵢxᵢ · V(X) = Σ pᵢ(xᵢ−E(X))² · σ = √V
König-Huygens : V(X) = Σ pᵢxᵢ² − E(X)²
E(aX+b) = aE(X)+b · V(aX+b) = a²V(X) (b disparaît)
ℬ(n;p) : P(X=k) = (nk)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ · E = np
Plan-type « jeu d'argent »
① arbre (gains mise déduite) ② valeurs de X ③ loi (dernière proba par le contraire, Σ=1)
④ E(X) + phrase : =0 équitable · <0 défavorable · >0 favorable
⑤ V par König, σ=√V ⑥ paramètre : E(X)=0 (équité) ou E(Y)=objectif
Modélisation binomiale (par cœur)
« on répète n fois, identique & indépendante, un succès « … » de proba p »
« au moins un » -> 1 − P(X=0) · seuils -> tableau binomFRep
Conclusion
Pièges à éviter & questions de Grand Oral
⚠ Les 8 pièges
① oublier de déduire la mise dans les gains
② arrondi de E(X) dans V(X) -> valeur EXACTE (−56, pas −0,83)
③ oublier de vérifier Σ pᵢ = 1 (= dernière proba par le contraire)
④ confondre V(X) et σ(X) (σ = √V, seul dans l'unité de X)
⑤ E(aX+b)=aE(X) (oubli +b) ou V(aX+b)=aV(X) (c'est a², b disparaît)
⑥ sans remise : probas du 2ᵉ tirage changent (14, 34 !)
⑦ binomiale : oublier un des 3 mots (répétitionidentique/indépendante)
⑧ oublier les phrases d'interprétation (gain moyen, favorable…)
🎤 Grand Oral
l'espérance dit-elle tout ?NON ! σ mesure le RISQUE (finance, assurance, LGN S14)
les jeux d'argent ?E du joueur structurellement négative (loto = sujet en or)
en médecine ?bénéfice moyen d'un traitement, effets secondaires -> Medikinet !
König-Huygens ?« moyenne des carrés − carré de la moyenne » (pont continu-discret)