Séquence 15 — Fonctions trigonométriques (LE DERNIER CHAPITRE !)Spé Maths · Terminale
Intro
Séquence 15 — Fonctions trigonométriques (LE DERNIER CHAPITRE !)
Seq. 15 — Trigonométrie (LE DERNIER !)
Butréunit TOUT : cercle trigo · dérivation (S01S08) · primitives (S11) · intégration (S12)
3 objectifs
① résoudre équationsinéquations trigo -> le CERCLE
② courbe & propriétés de cossin (parité, périodicité)
③ étudier des fonctions trigo (dérivées, variations, convexité, aires)
Au programme
cercle + valeurs remarquables · le signe de 2cos x+1 · symétries · 8 dérivées
2 études complètes · QCM 2024 · le logo (Antilles 2018)
I — Cercle trigo
I.1 — Cercle trigonométrique : définitions, propriétés, valeurs remarquables, signes
I.1 — Cercle trigonométrique
cos x = abscisse de M · sin x = ordonnée de M (sur ℝ)
−1 ≤ cos x ≤ 1 · −1 ≤ sin x ≤ 1 · cos²x + sin²x = 1
cos(x + k·2π) = cos x · sin(x + k·2π) = sin x
Valeurs remarquables (à réciter)
| x | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| sin | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
Signes sur le cercle
sin > 0 en haut ]0;π[ · cos > 0 à droite ]−π2;π2[
« seule justif = le CERCLE, complété rigoureusement sur la copie » !
I — Équations
Corrigé — Équations a. et b. : cos(x) = √3/2 et cos²(x) = 1/2
Équations — a) cos x = √3/2 sur ]−π;π]
√32 = cos(π6) · cos paire -> cos(−π6) aussi
-> S : −π6 · π6 (cercle)
b) cos²x = 1/2 sur ]−π;π]
cos²x = 12 ⟺ cos x = √22 ou cos x = −√22 (racine NÉGATIVE !)
cos x = √22 -> ±π4 · cos x = −√22 -> ±3π4
-> S : −3π4 · −π4 · π4 · 3π4 (cercle)
Rituel
① valeur remarquable ② parité/cercle -> TOUTES les solutions ③ « (cercle) »
piège : équation au CARRÉ = 2× plus de solutions (4 au lieu de 2)
Corrigé — c. (2sin(x)+√2 = 0 : changer d'intervalle !) et d. (inéquation sin(x) < −√3/2)
c) 2sin x + √2 = 0 -> changer d'intervalle
sin x = −√22 · sur [0;2π[ : S : 5π4 · 7π4
sur ]−π;π] : −2π aux solutions -> −3π4 · −π4
sur ℝ : −3π4 + k·2π · −π4 + k·2π (2π-périodique)
d) sin x < −√3/2 (INÉQUATION)
sin x = −√32 en −π3 et −2π3 · repérer l'ARC (bas du cercle)
sur ]−π;π] : S : ]−2π3 ; −π3[ (bornes OUVERTES)
sur [0;2π[ : ]4π3 ; 5π3[
2 gestes-clés
changer d'intervalle = ±2π aux solutions · inéquation = l'ARC (pas juste les points)
I — Signe
⚠️ « Très important » — Déterminer le signe de f(x) = 2cos(x) + 1 sur ]−π ; π]
⚠ Signe de f(x) = 2cos x + 1 sur ]−π;π]
2cos x + 1 ≥ 0 ⟺ cos x ≥ −12
cos x = −12 en ±2π3 · l'arc où cos ≥ −12 = l'arc de droite
-> 2cos x + 1 ≥ 0 ⟺ x ∈ [−2π3 ; 2π3]
Tableau de signes
f > 0 sur ]−2π3 ; 2π3[ · f = 0 en ±2π3
f < 0 sur ]−π ; −2π3[ ∪ ]2π3 ; π]
Pourquoi « très important » ?
= LA brique des variations trigo (dès qu'une dérivée a 2cos x+1…)
rituel : inéquation ≥0 -> cercle -> valeurs qui annulent -> tableau
I — Propriétés
Symétries + simplifier une expression : f(x) = 2cos(x) et g(x) = 5cos(x)
Symétries (le tableau)
cos(−x)=cos x · sin(−x)=−sin x (parité)
cos(π−x)=−cos x · sin(π−x)=sin x · cos(π+x)=−cos x · sin(π+x)=−sin x
cos(π2−x)=sin x · sin(π2−x)=cos x · sin(π2+x)=cos x · cos(π2+x)=−sin x
Simplifier f et g
f = cos(−x+2π) + cos(x+5π) − 2cos(π+x)
= cos x + (−cos x) − 2(−cos x) -> f = 2cos x
g = 3sin(π2−x) + 2sin(π2+x)= 3cos x + 2cos x -> g = 5cos x
Stratégie
réduire l'angle d'abord (retirer 2π : 5π = π+2·2π !) PUIS symétrie
π ± x garde le nom (signes) · π2 ± x échange cos ↔ sin
I — Périodicité
Périodicité d'une fonction : définition + 2 exemples corrigés (T = 2π/3 et T = π)
Périodicité
f périodique de période T (>0) si f(x+T) = f(x) pour tout x
cos, sin : période 2π · cos(ax+b) : période 2πa
2 exemples
1) f = cos(3x + 3π4): f(x + 2π3) = cos(3x + 2π + 3π4)
= cos(3x + 3π4) -> T = 2π3
2) f = sin(2x) − cos²x: f(x+π) = sin(2x+2π) − (−cos x)²
= sin(2x) − cos²x -> π-périodique ((−cos x)² = cos²x !)
Méthode « T est une période »
calculer f(x+T) -> faire apparaître +2π dans cossin -> conclure f(x+T)=f(x)
I — Parité
Parité d'une fonction : définition + exemple (f(x) = sin(x) − sin(2x) est impaire)
Parité
paire: f(−x) = f(x) (symétrie axe Oy) · cos est paire
impaire: f(−x) = −f(x) (symétrie origine) · sin est impaire
⚠ vérifier d'abord que 𝒟 est centré en 0
Ex — f = sin x − sin(2x) impaire
𝒟 = ℝ centré en 0 ✓
f(−x) = sin(−x) − sin(−2x) = −sin x + sin(2x)
= −(sin x − sin(2x)) = −f(x) -> f impaire
Rituel parité en 3 temps
① 𝒟 centré en 0 (à ÉCRIRE) ② calculer f(−x) ③ factoriser par −1
intérêt : parité + périodicité = intervalle d'étude réduit
II — Dérivées
II — Dérivabilité : dérivées usuelles, composées, primitives + la tangente en π/2
II — Dérivées & primitives
cos′ = −sin · sin′ = cos
(cos u)′ = −u′ sin u · (sin u)′ = u′ cos u
(cos(ax+b))′ = −a sin(ax+b) · (sin(ax+b))′ = a cos(ax+b)
primitivescos → sin · sin → −cos · cos(ax+b) → (1a)sin(ax+b)
Ex — tangente à cos en π/2
f=cos x , f′=−sin x · (T) : y = f′(π2)(x − π2) + f(π2)
f′(π2) = −1 , f(π2) = 0 -> (T) : y = −x + π2
Cercle mnémo
dériver : +sin → +cos → −sin → −cos (un sens) · primitiver : l'autre sens
composée ax+b : dérivée ×a · primitive ÷a (et sin ↔ −cos)
Exemple 2 — Dériver : a. b. (+ questions supplémentaires) c. d.
Dériver — a) à d)
a) sin x + 2cos x-> f′ = cos x − 2sin x
b) sin x·cos x-> f′ = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1
= (√2cos x − 1)(√2cos x + 1) (différence de carrés)
c) cos(3x + π4)-> f′ = −3sin(3x + π4)
d) e−x(−cos x+sin x+1)-> f′ = e−x(2cos x − 1) (le logo !)
b) est un festival
produit -> cos²−sin² -> 2cos²x−1 (via cos²+sin²=1) -> (√2cos)²−1
toujours la phrase de dérivabilité (sommeproduit/composée) AVANT
Dérivées e. → h. + l'affirmation TVI (x − cos x) + les primitives (question 4)
Dériver — e) à h)
g) cos(5x+3) + cos(π3): ⚠ cos(π3)=12 CONSTANTE (dérivée nulle !)
-> f′ = −5sin(5x+3)
h) (cos x)³(u³, u=cos x) -> f′ = −3sin x cos²x
TVI : x − cos x = 0 sur [0;π/2]
f′ = 1 + sin x > 0 (sin≥0, 1>0) -> f strictement croissante
f(0)=−1 , f(π2)=π2 · 0 ∈ [−1;π2] -> unique solution (VRAI)
Primitives (question 4)
a) 3sin(2x)-> F = −(32)cos(2x)
b) sin⁶x·cos x(u′u⁶) -> F = (17)sin⁷x
Pièges
cos(π3) = constante -> dérivée nulle · reconnaître u′uⁿ (S11S12) en trigo
III — Études
III — Étude des fonctions cosinus et sinus (variations, courbes)
III — Étude de cos et sin
période 2π -> [−π;π] · parité -> [0;π] · courbes par symétrie
cos sur [0;π]cos′=−sin ≤ 0 -> décroissante de 1 à −1
sin sur [0;π]sin′=cos -> croît 0→1 sur [0;π2] puis décroît
Les 2 sinusoïdes
cos part de (0;1) · sin part de (0;0) · sin = cos décalée : sin x = cos(x − π2)
cos paire (axe Oy) · sin impaire (origine) · toutes deux 2π-périodiques
IV — Étude 1
Exemple 1 — f(x) = (1 − cos x)sin x : périodicité, parité, signe, variations (3√3/4)
Étude 1 — f = (1 − cos x)sin x
1) périodeparitéf(x+2π)=f(x) -> 2π-période · f(−x)=−f(x) -> impaire
-> étude sur [0;π]
2) signesin x ≥ 0 et 1−cos x ≥ 0 -> f ≥ 0 sur [0;π]
3) Dérivée + variations
f′ = sin²x + cos x − cos²x = −2cos²x + cos x + 1
poser X=cos x -> f′ = (1 + 2cos x)(1 − cos x)
1+2cos x ≥ 0 ⟺ x ∈ [0;2π3] (signe « très important »)
-> ↗ sur [0;2π3] puis ↘ · max f(2π3) = 3√34
Le geste technique
factoriser le trinôme trigo en posant X = cos x
trame : période -> parité -> intervalle -> signe -> f′ factorisée -> variations
Exemple 1 (suite) — 4. Convexité (conjecture) et calcul de I = ∫₀^π f(x)dx = 2
4a) Convexité (conjecture graphique)
la courbe : convexe puis concave -> point d'inflexion ≈ 1,3
(exact : f″ = sin x(4cos x − 1) s'annule en arccos(14) ≈ 1,3)
4b) I = ∫₀^π (1−cos x)sin x dx
forme u′u (u=1−cos x) -> primitive F = (1−cos x)²2
f ≥ 0 (q.2) -> I = aire :
I = F(π) − F(0) = 2²2 − 0 -> I = 2 (u.a.)
Le fil se tient
primitive u′u → u²2 · l'aire n'est licite QUE parce que f ≥ 0 (q.2 réinvestie)
IV — Étude 2
Exemple 2 — f(x) = cos(2x) − ½ : π-périodique, paire, variations, allure
Étude 2 — f = cos(2x) − 1/2
1) périodeparitéf(x+π)=cos(2x+2π)−12=f(x) -> π-périodique
f(−x)=cos(2x)−12=f(x) -> paire -> étude sur [0;π2]
2) variationsf′ = −2sin(2x)
x∈[0;π2] -> 2x∈[0;π] -> sin(2x)≥0 -> f décroissante
f(0)=12 · f(π2)=−32
Le point technique
signe de f′=−2sin(2x) : raisonner sur 2x ∈ [0;π] (l'argument DOUBLE !)
l'allure : parité + périodicité font tout (aucun calcul de plus)
Exemple 2 (suite) — 4. Convexité (inflexions π/4, 3π/4) · 5. Signe, primitive, aire = √3 + π/6
4) Convexité (f″)
f″ = −4cos(2x) · convexe ⟺ cos(2x) ≤ 0
x∈[0;π] -> 2x∈[0;2π] -> cos(2x)≤0 ⟺ x ∈ [π4;3π4]
-> convexe sur [π4;3π4] · inflexions en π4 et 3π4
5) Signe, primitive, aire
f ≥ 0 ⟺ cos(2x) ≥ 12 -> x ∈ [0;π6] ∪ [5π6;π]
primitive F = (12)sin(2x) − x2
aire (découper S12) = ∫₀π/6 − ∫ + ∫ -> 𝒜 = √3 + π6 ≈ 2,26 u.a.
La synthèse du programme
convexité (S08) · inéquation trigo (2x∈[0;2π]) · primitive (S11) · aire découpée (S12)
TYPE BAC
TYPE BAC 1 — QCM (Sujet 0, 2024) : sin(x) = 0,1 · convexité de x + sin(x)
TB 1 — QCM (Sujet 0, 2024)
Q1) sin x = 0,1 sur [0;2π]: sin monte 0→1 puis descend 1→0 sur [0;π]
-> 0,1 pris 2 fois · rien sur [π;2π] (sin ≤ 0) -> 2 solutions
Q2) f = x + sin x sur [0;π] convexe ?
f″ = −sin x ≤ 0 sur [0;π] -> f concave
Réflexes QCM (30 s)
décompte de solutions = variations du sinus · convexité = signe de f″
TYPE BAC 2 — Antilles-Guyane 2018 (le logo) : Partie A — encadrement, limite, f′, variations
TB 2 — le logo (Antilles 2018) · A
f = e−x(−cos x + sin x + 1) · g = −e−xcos x
1) encadrer−1 ≤ −cos x+sin x+1 ≤ 3 · ×e−x>0 :
-> −e−x ≤ f(x) ≤ 3e−x
2) limitee−x→0 -> gendarmes -> lim f = 0 en +∞
3) dérivée-> f′(x) = e−x(2cos x − 1)
4) Signe de f′ + variations sur [−π;π]
e−x>0 -> signe de 2cos x−1 · cos x ≥ 12 ⟺ x ∈ [−π3;π3]
-> ↘ [−π;−π3] ↗ [−π3;π3] ↘ [π3;π]
Combo encadrement -> gendarmes
encadrer le facteur borné (−1≤cos,sin≤1) -> ×e−x · signe de f′ via cos ≥ 12
TYPE BAC 2 (suite) — Partie B : position relative, primitive H, aire du logo = 9,60 cm²
TB 2 (suite) · B — aire du logo
1) positionf−g = e−x(sin x + 1) ≥ 0 (sin ≥ −1) -> Cf au-dessus de Cg
2) primitiveH = (−cos x2 − sin x2 − 1)e−x
H′ = e−x(sin x + 1) ✓ (vérifier, pas inventer !)
Aire 𝒟 entre les courbes
𝒟 = ∫ (f−g) dx = [H]_{−π2}3π/2 = (12)(eπ/2 − e−3π/2) u.a. ≈ 2,40
unité 2 cm -> 1 u.a. = 4 cm² -> 𝒟 = 2(eπ/2 − e−3π/2) ≈ 9,60 cm²
Le final du poly
position = signe de la différence · primitive à VÉRIFIER · aire (S12) · u.a. → cm²
Formulaire
Formulaire récapitulatif — Séquence 15
Formulaire — cercle & symétries
cos²x + sin²x = 1 · valeurs : cos 1,√32,√22,12,0 (en 0,π6,π4,π3,π2)
cos(−x)=cos x (paire) · sin(−x)=−sin x (impaire) · période 2π
π ± x garde le nom · π2 ± x échange cos↔sin · cos(ax+b) : période 2πa
Dérivées & primitives
cos′=−sin · sin′=cos · (cos u)′=−u′sin u · (sin u)′=u′cos u
cos(ax+b) → (1a)sin(ax+b) · sin(ax+b) → −(1a)cos(ax+b)
Le rituel équations/inéquations
① isoler cossin ② valeur remarquable ③ CERCLE sur la copie
④ équation → points · inéquation → l'ARC (bornes selon <, ≤)
⑤ changer d'intervalle = ±2π · ℝ = + k·2π · signe de a cos x+b : cercle → tableau
L'étude complète type
période -> parité -> intervalle réduit -> signe -> f′ (trinôme en X=cos x) -> variations -> f″ -> primitive -> aire
Conclusion
Pièges à éviter & questions de Grand Oral — FIN DE LA SÉRIE ! 🎉
⚠ Les 8 pièges
① équationinéquation trigo sans le CERCLE (seule justif)
② cos²x = 12 : oublier la racine négative (4 solutions !)
③ dériver cos(π3) comme une variable -> c'est une CONSTANTE !
④ (cos(ax+b))′ : oublier le −a · primitive : oublier de ÷a (et sin→−cos)
⑤ signe de −2sin(2x) : raisonner sur 2x ∈ [0;π], pas x
⑥ parité : oublier de vérifier 𝒟 centré en 0
⑦ aire : oublier de découper selon le signe · oublier u.a. → cm²
⑧ « sin x = 0,1 pas remarquable donc rien » -> les variations donnent le nombre !
🎤 Grand Oral — FIN DE LA SÉRIE !
cossin partout en physique ?tout phénomène périodique = A·cos(ωt+φ) (ondes, son, PC !)
pic d'un médicament périodique ?prises répétées -> concentration oscille (Medikinet !)
le π du cercle ?enrouler ℝ sur le cercle : 2π = période universelle (dérivée = cos QU'en radians !)
Fourier ?toute fonction périodique = somme de sinus -> MP3, JPEG, IRM (ouverture post-bac !)