Séquence 13 — Orthogonalité · Produit scalaire dans l'espaceSpé Maths · Terminale
Intro
Séquence 13 — Orthogonalité · Produit scalaire dans l'espace
Seq. 13 — Produit scalaire (espace)
Butmesurer des angles · prouver des ⊥ · décrire des plans par une équation
suite directe de la S04 (géométrie vectorielle)
Feuille de route
I.produit scalaire : 3 formules (Al Kashi, coordonnées, cosinus)
II.orthogonalité : droites ⊥ · droite ⊥ plan (le cube !)
III.vecteur normal + équation ax+by+cz+d=0 (+ ROC)
IV.distances · angles (méthane 109,5° !) · plans ⊥/∥ · plan médiateur
3 TYPE BAC (fin de poly)
Polynésie 2023 · Métropole 2022 · Asie 2024 (corrigés ENT)
I — Produit scalaire
I — Les 3 formules du produit scalaire dans l'espace
I — Les 3 formules
coordonnées(base orthonormée) :
u · v = xx′ + yy′ + zz′ · ‖u‖ = √(x²+y²+z²)
normes(longueurs connues) :
u · v = (12)(‖u‖² + ‖v‖² − ‖u−v‖²)
cosinus(angles) :
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u ; v)
Orthogonalité
u ⊥ v ⟺ u · v = 0
Al Kashi : a² = b² + c² − 2bc·cos(Â)
Quelle formule ?
des coordonnées -> xx′+yy′+zz′ · des longueurs -> normes · un angle -> cosinus
les 3 donnent le même nombre !
Application — Produit scalaire (1) : cube et pyramide (sans repère)
App 1 — cube & pyramide (sans repère)
pyramide SABCD, base carrée, toutes arêtes = a
e) SA·SC= (12)(SA² + SC² − CA²) or CA = a√2 (diagonale)
= (12)(a² + a² − 2a²) -> SA · SC = 0
SA ⊥ SC (SAC rectangle isocèle, PAS une face !)
f) AB·BD= (12)(AD² − AB² − BD²) = (12)(a² − a² − 2a²) -> AB · BD = −a²
Sans repère : 4 stratégies
décomposer (Chasles) · faces (angles 60°/90°) · formule des normes · projection
⚠ piège n°1 : tout angle ≠ 60° (vérifier si c'est vraiment une face !)
Application — Produit scalaire (2) : repère judicieux + angle
App 2 — repère judicieux
cube côté 1, I milieu [BF] · repère (C ; CD,CB,CG) car C(0;0;0) !
CE(1;1;1) · DI(−1;1;12)
CE · DI = −1 + 1 + 12 = 12 ≠ 0 -> PAS orthogonaux
Angle (AB ; AC)
A(0;1;2), B(1;−1;3), C(−1;2;0)
AB(1;−2;1) · AC(−1;1;−2) = −5
‖AB‖ = ‖AC‖ = √6
cos(BAC) = −5√6 × √6 = −56 -> BAC ≈ 146°
Le réflexe cube
choisir l'origine = le sommet qui apparaît le plus dans les vecteurs
angle : produit scalaire ÷ produit des normes -> cos -> arccos
II — Orthogonalité
II.1 — Droites orthogonales vs droites PERPENDICULAIRES
II.1 — Orthogonales vs perpendiculaires
orthogonales⟺ u · v = 0 (vecteurs directeurs)
perpendiculaires= orthogonales ET coplanairessécantes
Propriétés
∥ à l'une -> orthogonale à l'autre garde l'orthogonalité
⚠ 2 droites ⊥ à une même droite ne sont PAS forcément ∥ !
La distinction-clé
orthogonales = directions à angle droit (pas besoin de se couper)
perpendiculaires = orthogonales ET coplanaires -> 2 vérifications !
Application — Deux droites paramétriques : orthogonales ? perpendiculaires ?
App — (d) et (d′) paramétriques
(d) : x=1+t, y=−1+2t, z=2+t -> u(1;2;1)
(d′) : x=−1−s, y=5, z=2+s -> v(−1;0;1) (y constant -> 0 !)
u · v = −1 + 0 + 1 = 0 -> orthogonales
Perpendiculaires ?
sécantes ? système : t=3, s=3 -> 1+3 = −1−3 ⟺ 4=−4 impossible
-> non sécantes -> orthogonales mais NON perpendiculaires
Lire un vecteur directeur
= les coefficients de t · piège « y=5 » -> coordonnée 0, pas 5 !
sécantes ? : 2 équations donnent t,s · la 3ᵉ tranche
II.2 — Droite orthogonale à un plan + Application (repère) : questions 1.a → 1.d
II.2 — Droite ⊥ plan
(d) ⊥ P ⟺ (d) orthogonale à 2 droites SÉCANTES de P
avec les vecteurs : w·u = 0 ET w·v = 0 (u,v non colinéaires)
App — A,B,C,D,E
a) A,B,C plan ?AB(−1;5;−15), AC(−6;8;−13) non colinéaires -> plan (ABC)
b) (AB)⊥(DE) ?DE(5;7;2) : AB·DE = −5+35−30 = 0 -> orthogonales
perpendiculaires ? det(AB,AD,AE) = 1588 ≠ 0 -> non coplanaires -> NON
c) (DE) ⊥ (ABC)AC·DE = −30+56−26 = 0
-> DE ⊥ AB et AC (non colinéaires) -> (DE) ⊥ (ABC)
d) angle BACcos = 241√251 × √269 -> ≈ 22°
La rédaction modèle (1.c)
orthogonal à 2 vecteurs directeurs non colinéaires (sans ça -> points perdus !)
Application (suite) — 2. Le cube : (FB)⊥(AC), (EF)⊥(GC), (JK) ⊥ plan (ABC)
App cube — sans repère
a) (FB)⊥(AC)FB·AC = FB·(AB+BC) = 0+0 = 0
car (FB)⊥(AB) et (FB)⊥(BC) (arêtes)
b) (EF)⊥(GC)EF = HG : HG·GC = 0 (arêtes ⊥)
c) (JK) ⊥ (ABC)J,K milieux [FG],[BC] :
JK = −(12)BC + FB + (12)BC = FB (les demi-vecteurs s'éliminent !)
JK·BC = 0 et JK·BA = 0 -> (JK) ⊥ (ABC)
Stratégie sans repère
décomposer (Chasles) vers les arêtes du cube (produits nuls entre arêtes ⊥)
milieux : écrire les demi-vecteurs -> souvent ils s'éliminent (ici JK = FB !)
III — Vecteur normal
III.1 — Vecteur normal à un plan + Application (n(2;1;1) et le cube)
III.1 — Vecteur normal
n normal à P = non nul, orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires de P
P : AM · n = 0 (plan par A, normal n)
App — trouver n du plan (ABC)
AB(−2;1;3), AC(1;−2;0) non colinéaires
n(x;y;z) : −2x+y+3z=0 et x−2y=0
x=2y -> −3y+3z=0 -> z=y · choisir y=1 -> n(2;1;1)
vérif : n·AB = 0 ✓ · n·AC = 0 ✓
Méthode « trouver n »
2 équations, 3 inconnues -> exprimer 2 en fonction de la 3ᵉ -> choisir y=1
TOUJOURS vérifier · cube : penser aux diagonales des carrés (⊥)
III — Équation cartésienne
III.2 — Équation cartésienne d'un plan : théorème + Démonstration exigible (ROC)
III.2 — Équation cartésienne
P de vecteur normal n(a;b;c) :
ax + by + cz + d = 0
coefficients de x,y,z = les coordonnées de n !
🖊 ROC (sens direct)
M ∈ P ⟺ AM · n = 0
⟺ a(x−xₐ) + b(y−yₐ) + c(z−zₐ) = 0
⟺ ax + by + cz + d = 0 avec d = −axₐ−byₐ−czₐ
🖊 ROC (réciproque, a≠0)
A(−da ; 0 ; 0) vérifie l'équation (−d+d=0) -> A ∈ E
AM · n = ax+by+cz+d -> E = plan (A ; n)
Lecture immédiate
coefficients de x,y,z = n · pour d : injecter un point du plan
cas : (xOy) z=0 · (xOz) y=0 · (yOz) x=0
Application 5 — Équation cartésienne : les 5 questions types (a → e)
App 5 — équation cartésienne
n(3;−3;1), A(−1;2;1) :
a) P(A;n)3x−3y+z+d=0, A -> −8+d=0 -> P : 3x−3y+z+8=0
b) B(1;3;−1) ∈ P ?3−9−1+8 = 1 ≠ 0 -> B ∉ P
c) C(−2;m²;−1) ∈ P ?−3m²+1=0 -> m²=13 -> m = ±√33
d) (EFG) = P ?E,F,G donnent tous 0 -> (EFG) = P
e) P′ ∥ P par Bmême n, B -> d=7 -> P′ : 3x−3y+z+7=0
Les 5 gestes
a) coeff=n, point->d · b) appartenance=injecter · c) paramètre=équation en m
d) plan = 3 points communs · e) ∥ = même n, seul d change
Applications 6 & 7 — Reconnaître un plan · plans ⊥/∥ · plan médiateur
App 6 — reconnaître un plan
P : x + 2z − 1 = 0 = 1x + 0y + 2z − 1 = 0
a) n= coefficients -> n(1;0;2) (ne pas oublier le 0 de y !)
b) un pointy=1, z=1 -> x=−1 -> A(−1;1;1)
Plans ⊥ / ∥
P ⊥ P′ ⟺ n · n′ = 0 · P ∥ P′ ⟺ n, n′ colinéaires
App 7 — position + plan médiateur
n(2;4;4), n′(2;−5;4) : n·n′ = 4−20+16 = 0 -> P ⊥ P′
n″ = −n′ -> colinéaires -> P′ ∥ P″
médiateur de [BC]B(−1;2;1), C(5;0;−3) : I(2;1;−1), BC(6;−2;−4)
6x−2y−4z+d=0, I -> d=−14 -> ÷2 -> Q : 3x−y−2z−7=0 (VRAI)
Plan médiateur
vecteur normal = BC · passe par le milieu I -> équation
une équation ÷ un facteur = le MÊME plan (proportionnelles)
IV — Grandeurs
IV — Distances, angle du méthane (109,5°), distance point-droite/plan
IV — Distances
AB = √((xB−xₐ)² + (yB−yₐ)² + (zB−zₐ)²)
distance point-droite / point-plan = longueur jusqu'au projeté orthogonal H
Méthane CH₄ — l'angle 109,5°
H sur A,C,F,H du cube · C(arbone) en O centre · repère (A ; AB,AD,AE)
1) O= milieu [AG] -> O(12 ; 12 ; 12)
2a)OA(−12;−12;−12), OC(12;12;−12)
OA·OC = −14 − 14 + 14 = −14 · OA = √32
2b)cos(AOC) = −1434 = −13 -> AOC ≈ 109,5°
Le croisement maths-chimie
cube + produit scalaire -> cos(AOC) = −13 EXACT = angle tétraédrique
superbe accroche Grand Oral · distances : projeté orthogonal = point le + proche
Formulaire
Formulaire récapitulatif — Séquence 13
Formulaire — les 3 formules
u·v = xx′+yy′+zz′ · ‖u‖ = √(x²+y²+z²) · u⊥v ⟺ u·v=0
u·v = (12)(‖u‖²+‖v‖²−‖u−v‖²) = ‖u‖‖v‖cos(u;v)
Al Kashi : a² = b² + c² − 2bc·cos(Â)
Critères d'orthogonalité
2 droites ⊥ ⟺ u·v=0 · perpendiculaires ⟺ + coplanairessécantes
droite ⊥ plan ⟺ orthogonale à 2 droites sécantes (w·u=0 ET w·v=0)
n normal = ⊥ à 2 vecteurs non colinéaires · plans ⊥ ⟺ n·n′=0 · ∥ ⟺ colinéaires
médiateur [BC] : normal BC, passe par le milieu I
Équation & grandeurs
plan (A;n(a;b;c)) : ax+by+cz+d=0 (coeff = n, d en injectant A)
distance AB = √(Δx²+Δy²+Δz²) · angle : cos = AB·ACAB×AC -> arccos
(xOy) z=0 · (xOz) y=0 · (yOz) x=0
Rappel-clé
coefficients de l'équation = coordonnées du vecteur normal !
Conclusion
Pièges à éviter & questions de Grand Oral
⚠ Les 8 pièges
① confondre orthogonales / perpendiculaires (perp = ortho + coplanaires) -> vérifier les 2
② vecteur directeur : coefficients de t · coordonnée constante (y=5) -> 0 !
③ « droite ⊥ plan » avec UN seul produit nul -> il en faut DEUX, non colinéaires
④ pyramide : tous les angles ≠ 60° (SAC n'est pas une face -> SA·SC=0)
⑤ conclure en 2 temps : « vecteurs orthogonaux » PUIS « donc droites… »
⑥ équation incomplète x+2z−1=0 -> n(1;0;2), ne pas oublier le 0 de y
⑦ plan médiateur : d par le milieu I (pas B ni C)
⑧ angle : cos = produit scalaire ÷ produit des NORMES (jamais cos>1 !)
🎤 Grand Oral
méthane 109,5° ?cube + produit scalaire -> cos = −13 EXACT (maths-chimie !)
à quoi sert n ?1 direction code TOUT un plan : distances, réflexion lumière, rendu 3D, imagerie médicale
le produit scalaire mesure quoi ?travail W = F·d (PC !), projection, similarité cosinus (IA !)
les 3 TYPE BACPolynésie 2023 (AM²=9t²−18t+17), Métropole 2022 (projeté H), Asie 2024 (sphère)