Séquence 11 — Primitives & Équations différentiellesSpé Maths · Terminale
Intro
Séquence 11 — Primitives & Équations différentielles (2)
Seq. 11 — Primitives & equa. diff. (2)
Butresoudre y' = ay · y' = ay + b · y' = ay + f (second membre variable)
suite directe de la S02
Feuille de route
I.primitives : operations (S02) + fonctions composees (nouveau)
II.y' = ay et y' = ay + b (3 extraits Bac 2021)
III.y' = ay + f (second membre non constant) : propriete + demo + Bac
La convention du corrige
methode annoncee -> chaque etape justifiee -> conclusion
resultats finaux encadres et simplifies au maximum
I — Primitives
I.1 & I.2 — Opérations et primitives usuelles (rappels S02)
I — Operations (rappel S02)
F+G primitive de f+g · kF primitive de kf
⚠ aucune formule pour produit / quotient !
Primitives usuelles
a -> ax · x -> (12)x² · xⁿ -> xⁿ⁺¹n+1 (n≠−1)
1x -> ln x · 1x² -> −1x · 1√x -> 2√x
eˣ -> eˣ
cos(ax+b) -> (1a)sin(ax+b) · sin(ax+b) -> −(1a)cos(ax+b)
Applications 1-2 = deja S02
primitives de x³+2x, de 3x − 1x² − 2eˣ, F(e)=1… -> revoir la S02
I.3 — Primitives et fonctions composées (NOUVEAU)
I.3 — Primitives composees (NOUVEAU)
u' × (v'∘u) -> v∘u
u' eᵘ -> eᵘ
u' uⁿ -> uⁿ⁺¹n+1 (n≠−1)
u'√u -> 2√u (u>0)
u'u -> ln(u) (u>0)
u'u -> ln(|u|) (u≠0)
LA methode en 3 temps
① reperer u (au carre, sous √, dans l'exp, au denominateur…)
② calculer u' -> verifier qu'il apparait en facteur (ajuster par une CONSTANTE)
③ reconnaitre la forme du tableau -> ecrire F
Application — Primitives avec fonctions composées
App — primitives composees
a) f = x ex²poser u=x², u'=2x
f = (12)·2x ex² = (12)u'eᵘ -> F = (12)ex²
b) f = x√(x²+1)u=x²+1 , u'=2x
f = (12)u'√u -> F = √(x²+1)
c) f = 1(1−2x)² sur ]−∞;12[u=1−2x , u'=−2
f = −(12)u'u−2 -> F = 12(1−2x)
d) f = 2e2x/(e2x+1)u=e2x+1 , u'=2e2x
f = u'u (rien a ajuster !) -> F = ln(e2x+1)
Le reflexe-cle
tout se joue sur la constante d'ajustement (12, 12, −12, 1)
on n'ajuste QUE par une constante, jamais par une fonction de x !
II — y′ = ay (+b)
II — Cours : équations y′ = ay et y′ = ay + b
II — y' = ay (sans second membre)
a≠0solutions sur ℝ :
y' = ay ⟹ y = Ceax (C ∈ ℝ)
une infinite de solutions (une par C)
y' = ay + b (second membre constant)
y' = ay + b ⟹ y = Ceax − ba
💡 conseil prof : calculer −ba AVANT
Structure (demontree S02)
solution generale = solution particuliere constante + solutions de y'=ay
= (−ba) + Ceax
Exemple TYPE BAC — Centres étrangers, 9 juin 2021
Bac — 3y' + y = 0 (Centres etr. 2021)
1) isoler y'3y'+y=0 ⟺ y' = −(13)y
-> forme y'=ay , a = −13
-> f(x) = Ce−x/3 (C ∈ ℝ)
2) passe par M(0;2)f(0)=2 ⟺ C·e⁰ = 2 ⟺ C=2
-> f(x) = 2e−x/3
Le piege
donnee sous forme 3y'+y=0 -> TOUJOURS isoler y' pour lire a
ici a = −13 (pas −3 ni 3 !)
Exemple TYPE BAC 1 — Sujet 0, session 2021 (la boulangerie)
Bac — la boulangerie (Sujet 0, 2021)
baguette : 225°C -> ambiante 25°C · (E) y'+6y=150
1a) f(0)= 225
1b) resoudrey'+6y=150 ⟺ y' = −6y+150
a=−6 , b=150 , −ba = −150−6 = 25
-> f(t) = Ce−6t + 25
1c) f(0)=225⟺ C+25=225 ⟺ C=200
-> f(t) = 200e−6t + 25
Sens physique (loi de Newton)
−ba = 25 = temperature ambiante (equilibre) · C = 200 = ecart initial
t→+∞ : e−6t→0 -> refroidit vers 25°C (Grand Oral !)
Exemple TYPE BAC 2 — Asie, 7 juin 2021 (Partie I)
Bac — y' = −0,4y + 0,4 (Asie 2021)
1a) sol. particuliere constantef=k , f'=0
0 = −0,4k + 0,4 ⟺ k = 0,40,4 = 1 -> f = 1
1b) toutes les solutions= particuliere + homogene
-> g(t) = 1 + Ce−0,4t (C ∈ ℝ)
1c) g(0)=10⟺ C+1=10 ⟺ C=9
-> g(t) = 9e−0,4t + 1
L'autre methode
au lieu de −ba : chercher la solution constante (a) puis ajouter l'homogene (b)
il faut savoir faire les DEUX !
III — y′ = ay + f
III — Cours : équations y′ = ay + f (second membre non constant)
III — y' = ay + f (second membre variable)
g = une solution particuliere connue de (E)
solutions : y = g(x) + Ceax (C ∈ ℝ)
= solution particuliere g + solutions de y'=ay
🖊 Demonstration (a savoir refaire)
g particuliere : g'(x) = a g(x) + f(x)
h solution : h'(x) = a h(x) + f(x)
soustraire g': h'−g' = a h + f − (a g + f)
| h'(x) − g'(x) | = | a(h(x) − g(x)) |
-> h − g solution de y'=ay -> h−g = Ceax
-> h(x) = g(x) + Ceax ∎
L'astuce de la demo
soustraire g' aux deux membres -> faire apparaitre h − g (equation homogene)
= le schema des « montrer que f−g est solution de y'=ay » du Bac
Exemple TYPE BAC 2 — Polynésie, 2 juin 2021 (Partie 2)
Bac — y' = −y + e−x (Polynesie 2021)
g : x ⟼ xe−x solution particuliere (admis)
1) (H) y'=−y, a=−1 -> x ⟼ Ce−x
2) solutions de (E)= g + homogene :
-> f(x) = xe−x + Ce−x
3) f(0)=2⟺ C=2 -> factoriser par e−x :
-> f(x) = e−x(x + 2)
Le detail qui rapporte
le corrige factorise le resultat final par e−x
pense toujours a factoriser quand c'est possible !
Exemple TYPE BAC 3 — Métropole, 7 juin 2021 (questions 1 et 2)
Bac — y' = y + 2xeˣ (Metropole 2021)
1) u = x²eˣ particuliere ?
u' = 2xeˣ + x²eˣ
y+2xeˣ = x²eˣ + 2xeˣ = u' -> u solution particuliere
2) g = f − u -> resoudre
a)f solution : f' = f + 2xeˣ · soustraire u' :
f'−u' = f + 2xeˣ − (2xeˣ + u) = f − u
-> g' = g (g solution de y'=y)
b)y'=y , a=1 -> g = Ceˣ
f = u + Ceˣ = x²eˣ + Ceˣ -> f(x) = (x² + C)eˣ
Enchainement typique du Bac
equa diff -> etude de fonction (diapo suivante)
« montrer que f−g solution de y'=y » = soustraire g'
Exemple TYPE BAC 3 (suite) — question 3 : étude de la fonction u
3a) Signe de u'
u' = eˣ(x²+2x) = eˣ · x(x+2) · eˣ>0
-> signe de x(x+2) (nul en −2 et 0) :
u'(x) : + sur ]−∞;−2[ · − sur ]−2;0[ · + sur ]0;+∞[
3b) Variations de u
u(−2) = 4e−2 · u(0) = 0
↗ jusqu'a max u(−2)=4e−2 ↘ jusqu'a min u(0)=0 ↗
3c) Concavite (u″)
u″ = eˣ(x²+4x+2) · eˣ>0 -> signe de x²+4x+2
Δ = 16 − 8 = 8 · racines −2 ± √2
u″<0 entre les racines -> u concave sur ]−2−√2 ; −2+√2[
3 savoir-faire de la S08
signe de u' (factoriser + eˣ>0) · variations (u(−2)=4e−2) · concavite (u″, Δ)
Application
Application — Savoir résoudre y′ = ay + f — Question 1
App q1 — y' = y + x − 3
a) g = −x+2 particuliere ?g'=−1
y+x−3 = (−x+2)+x−3 = −1 = g' -> g solution
b) f solution -> f−g solution de y'=y
f'−g' = f+x−3 − (−1) = f+x−2 = f−g -> (f−g)' = f−g
c) toutes les solutionsy'=y -> Ceˣ :
-> f(x) = −x + 2 + Ceˣ
Ne pas partir de la conclusion !
on part de l'hypothese « f solution » et on soustrait g' aux 2 membres
Application — Questions 2 et 3
q2 — 2y' + 3y = 6x+1 (g affine)
poser g = ax+b , g'=a · 2a + 3(ax+b) = 6x+1
identification : 3a=6 et 2a+3b=1
-> a=2 , b=−1 -> g = 2x−1
homogene y'=−(32)y -> Ce−1,5x
-> f(x) = 2x − 1 + Ce−1,5x
q3 — y' − 2y = x²
a) g = −(12)x² − (12)x − (14), g' = −x − (12)
g'−2g = x² ✓ -> g solution particuliere
b)homogene y'=2y -> Ce2x :
-> f(x) = −(12)x² − (12)x − (14) + Ce2x
La technique q2 a retenir
« g affine solution particuliere » -> poser g=ax+b -> identification (systeme)
si polynome degre 2 suggere -> poser ax²+bx+c (meme methode)
Formulaire
Formulaire récapitulatif — Séquence 11
Formulaire — les 3 equations
y' = ay ⟹ y = Ceax (homogene)
y' = ay + b ⟹ y = Ceax − ba (−ba AVANT !)
y' = ay + f ⟹ y = g(x) + Ceax (g particuliere)
Primitives composees
u' eᵘ -> eᵘ · u'u -> ln(u) · u'√u -> 2√u
u' uⁿ -> uⁿ⁺¹n+1 (n≠−1 ; u>0 pour ln√)
« Montrer que g est particuliere » (3 etapes)
① justifier g derivable + calculer g'
② remplacer y par g dans le second membre, simplifier
③ constater qu'on obtient g' -> conclure
« Resoudre y'=ay+f » (3 etapes)
① solution particuliere g (donnee, ou affine ax+b par identification)
② homogene : isoler y' -> lire a -> Ceax
③ somme f = g + Ceax + condition initiale (e⁰=1 !)
Conclusion
Pièges à éviter & questions de Grand Oral
⚠ Les 8 pieges
① lire a sans isoler y' : 3y'+y=0 -> a=−13 (pas −3 !)
② signe de −ba : y'+6y=150 -> −150−6=+25 (au brouillon)
③ oublier « C ∈ ℝ » -> infinite de solutions, pas une !
④ oublier de justifier la derivabilite de g avant g'
⑤ primitive composee : ajuster par une fonction de x = INTERDIT (constante seule)
⑥ oublier les conditions : u>0 (ln, √) · u≠0 · n≠−1
⑦ oublier e⁰=1 pour C · rendre un resultat non factorise
⑧ « si f solution… » : partir de l'hypothese, pas de la conclusion !
🎤 Grand Oral
pourquoi une infinite ?la derivation efface une constante : chaque condition f(0) selectionne UNE courbe (theoreme de Cauchy)
a quoi ca sert ?refroidissement de Newton (baguette), condensateur, pharmacocinetique (ton Medikinet !), populations
lien primitives ↔ equa diff ?chercher une primitive de f = resoudre y'=f (« remonter la derivation »)
pourquoi particuliere + homogene ?la linearite : regime transitoire (Ceax→0) + regime permanent (g)