Séquence 10 — Fonction logarithme népérienSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 10 — Fonction logarithme népérien (2)
Seq. 10 — ln (partie 2)
Butlimites avec ln (croissances comparees) · etudes de ln u · primitives · equations
Feuille de route
miroirexp ↔ ln
limites9 limites (toutes les F.I.)
App 1convexite de ln (tangentes / inegalites)
App 2famille gₙ (bijection !)
App 3-4etudes de ln u (asymptotes, primitives)
App 5equations / inequations / Vrai-Faux
Les 3 reflexes
① limite -> croissance comparee (ln xx → 0 · x ln x → 0)
② ln u -> domaine u>0 (tableau) puis (ln u)' = u'/u
③ equation -> condition d'existence puis changement de variable
Cours
Vue d'ensemble — le tableau miroir exp ↔ ln
Miroir exp ↔ ln
signeeˣ > 0 (partout) ↔ ln x > 0 ⟺ x>1 · ln 1=0 · ln e=1
derivee(eˣ)'=eˣ ↔ (ln x)' = 1x · (ln u)' = u'u (u>0)
limiteslim x→0⁺ ln x = −∞ · lim x→+∞ ln x = +∞
algebreln(ab)=ln a+ln b · ln(aⁿ)=n ln a · ln√a = (12)ln a
Croissances comparees (le cœur)
« x l'emporte sur ln x »
miroir exp : lim x→+∞ eˣxⁿ = +∞ · lim x→−∞ x eˣ = 0
L'idee
en 0⁺ : x ecrase ln x -> x ln x → 0
en +∞ : x l'emporte -> ln xx → 0 · courbes expln symetriques par y=x
Limites
Exemple (page 2) — Limites faisant intervenir ln (a → d)
Ex — limites avec ln (a→d)
a) lim (x − ln x) en +∞« ∞−∞ »
factoriser par x : x − ln x = x(1 − ln xx)
ln xx → 0 -> ( ) → 1 -> lim = +∞
b) lim ln xx−1 en +∞« ∞/∞ »
= ln xx × xx−1 -> 0×1 -> lim = 0
c) lim (1x + ln x) en 0⁺F.I.
factoriser par 1x : = (1x)(1 + x ln x) -> lim = +∞
d) lim (4x − x ln x − 3 ln x) en 0⁺
4x→0 · x ln x→0 · −3 ln x→+∞ -> somme = +∞
3 armes pour les F.I.
① factoriser par x (∞−∞ en +∞) ② quotient de reference ln xx
③ factoriser par 1x (en 0⁺ -> creer x ln x) · sinon simple somme !
Exercice 16 (page 293) — Calculs de limites (a → e)
Exo 16 — limites (a→e)
a) 7x − ln x (+∞)= x(7 − ln xx) -> +∞
b) x ln x − 5x = x(ln x − 5)
en +∞ : +∞ · en 0⁺ : x ln x→0, 5x→0 -> 0
c) 1x ln x en 0⁺
x ln x → 0⁻ (ln x<0 sur ]0;1[) -> −∞
d) 1x − ln x: en +∞ −∞ · en 0⁺ +∞ (pas de F.I.)
e) eˣln x: en +∞ = eˣ/xln xx -> +∞ · en 0⁺ 0⁻
Le c) est subtil
x ln x → 0 ne suffit pas -> il faut le SIGNE : 0⁻ -> quotient −∞
e) superpose eˣ/x (sommet) et ln xx (bas) de la hierarchie
Applications
Application 1 — Convexité de ln, tangentes et inégalités
App 1 — ln concave, tangentes
f = ln x sur ]0;+∞[ · A(1;0) · B(e;1)
1) convexitef'=1x , f″= −1x² < 0 -> f concave
2) Tangentes + inegalites
en A(1;0)f(1)=0 , f'(1)=1 -> (TA) : y = x−1
en B(e;1)f(e)=1 , f'(e)=1e -> (TB) : y = xe
concave -> Cf sous ses tangentes :
3) Corde (AB) + encadrement
m = 1−0e−1 = 1e−1 -> (AB) : y = x−1e−1
concave -> Cf au-dessus de ses cordes :
| x−1e−1 | ≤ | ln x |
| ≤ | x−1 sur [1;e] |
Le miroir de la S08
eˣ ≥ x+1 (convexe) ↔ ln x ≤ x−1 (concave)
ln x pris en sandwich entre la corde et la tangente
Application 2 — La famille gₙ(x) = ln(x²ⁿ⁺¹ + x) : bijection et α₂
App 2 — gₙ(x)=ln(x²ⁿ⁺¹+x)
1) domainex²ⁿ⁺¹+x = x(x²ⁿ+1) · x²ⁿ+1 ≥ 1>0
-> signe de x -> Iₙ = ]0;+∞[
2) point fixegₙ(1) = ln(1+1) = ln 2 -> A(1;ln 2) ∈ Cₙ (∀n)
3) Variations
u = x²ⁿ⁺¹+x > 0 · u' = (2n+1)x²ⁿ+1
| gₙ'(x) | = | (2n+1)x²ⁿ+1x²ⁿ⁺¹+x |
num >0 et denom >0 -> gₙ' > 0 (strictement croissante)
4) Bijection -> unique αₙ
lim x→0⁺ gₙ = −∞ · lim x→+∞ gₙ = +∞
continue + strictement croissante -> bijection ]0;+∞[ → ℝ
0 ∈ ℝ -> gₙ(x)=0 : unique solution αₙ (TVI / bijection)
4b) n=2 : encadrer α₂
g₂(α₂)=0 ⟺ α₂⁵+α₂ = e⁰ = 1 · poser p(x)=x⁵+x
| x | 0,75 | 0,76 |
| p(x) | 0,9873 | 1,0136 |
-> 0,75 < α₂ < 0,76 (ampl. 10−2) -> α₂ ≈ 0,8
L'exercice-synthese
domaine par factorisation-signe · (ln u)'=u'/u · theoreme de la bijection
astuce : g₂(α₂)=0 -> p(α₂)=1 (composer par exp) -> balayer le POLYNOME
Application 3 — f(x) = ln(2x/(x − 3)) : l'étude de ln u complète
App 3 — f = ln(2x/(x−3))
1) domaine2xx−3 > 0 -> tableau -> etude sur ]3;+∞[
2) Limites + asymptotes
en 3⁺2xx−3 → +∞ -> lim f = +∞ (asymptote x=3)
en +∞2xx−3 = 21 − 3x → 2 -> lim f = ln 2
asymptote horizontale y = ln 2
3) Variations (ln u)
u = 2xx−3 · u' = −6(x−3)² (u' d'abord !)
x>3 -> x(x−3)>0 -> f' < 0 (decroissante : +∞ → ln 2)
4) Convexite
f' croissante sur ]3;+∞[ -> f convexe
confirme par le calcul : f″ > 0
Etude-type de ln u
① domaine (signe de u) ② limites par composition (u→2 -> ln 2 asymptote !)
③ f'=u'/u (u' d'abord) ④ convexite via f' croissante (S08)
Application 4 — g(x) = ln(x+1) − ln x et la primitive G (Parties A et B)
App 4 · A — g = ln(x+1) − ln x
1)g(x) = ln(x+1x) = ln(1 + 1x)
2) signe1+1x > 1 -> ln > ln 1 = 0 -> g(x) > 0
3) limitesen 0⁺ : +∞ · en +∞ : 0
4-5) G = (x+1)ln(x+1) − x ln x
[(x+1)ln(x+1)]' = ln(x+1)+1 · [x ln x]' = ln x+1
| G'(x) | = | ln(x+1) − ln x |
| = | g(x) |
-> G' = g > 0 -> G croissante
| G″(x) | = | −1x(x+1) |
| < | 0 -> G concave |
6) Primitive de g
G' = g -> G est une primitive de g
condition G₁(1)=0 : 2 ln 2 + c = 0 -> c = −2 ln 2
-> G₁(x) = (x+1)ln(x+1) − x ln x − 2 ln 2
B — f = x+2 + g(x)
1)lim x→0⁺ f = 2 + (+∞) = +∞ -> asymptote x=0
2)f − (x+2) = g(x) > 0 -> Cf au-dessus de y=x+2
L'exercice qui BOUCLE tout
primitive de ln(x+1)−ln x = (x+1)ln(x+1) − x ln x (pattern x ln x−x, S01)
constante par G₁(1)=0 (S02) · concavite par G″ (S08) · position par le signe
Application 5 — Équations et inéquations avec ln (1a → 1d)
App 5 — equations / inequations
1a) ln(6x−1) = 2C.E. x > 16
⟺ 6x−1 = e² ⟺ x = e²+16 -> S = e²+16
1b) ln(1x) ≤ −1C.E. x>0
−ln x ≤ −1 ⟺ ln x ≥ 1 ⟺ x ≥ e -> S = [e ; +∞[
1c) ln(x−3) + ln(9−x) = 0
C.E. x ∈ ]3;9[ · somme -> ln[(x−3)(9−x)] = ln 1
⟺ (x−3)(9−x) = 1 ⟺ x² − 12x + 28 = 0
Δ = 144 − 112 = 32 · √Δ = 4√2
x = 6 ± 2√2 ≈ 3,17 et 8,83 (∈ ]3;9[)
-> S = 6−2√2 ou 6+2√2
1d) ln(3−x) − ln(x+1) ≤ 0
C.E. x ∈ ]−1;3[ · ln(3−x) ≤ ln(x+1)
⟺ 3−x ≤ x+1 ⟺ x ≥ 1 -> S = [1 ; 3[
Le rituel integral
① condition d'existence (chaque ln !) ② transformer (ln a+ln b = ln ab)
③ resoudre (bijection, discriminant) ④ CONFRONTER aux conditions
Application 5 (suite) — changements de variable et Vrai/Faux
2a) (ln x)² − ln x − 6 = 0
C.E. x>0 · poser X = ln x -> X² − X − 6 = 0
Δ = 25 · X = −2 ou 3 -> ln x = −2 ou 3
-> S : x = e−2 ou e³
2b) e2x + 2eˣ − 1 = 0
poser X = eˣ (X>0) -> X² + 2X − 1 = 0
Δ = 8 · X = −1 ± √2
X = −1−√2 < 0 (rejete) · X = −1+√2 > 0 ✓
eˣ = −1+√2 -> S : x = ln(−1+√2)
2c) (1+ln x)/(2−ln x) > 0
C.E. x>0 , x ≠ e² · signe du quotient :
1+ln x : − puis + (change en e−1)
2−ln x : + puis − (change en e²)
-> quotient > 0 entre les deux -> S = ]e−1 ; e²[
Vrai/Faux (e2x+2eˣ−1=0)
Aff.1 « unique solution ln(−1+√2) »-> VRAI (resolution complete)
Aff.2 « une solution »-> VRAI (verification : = 0)
2 changements de variable
X = ln x (libre) vs X = eˣ (X>0 -> rejeter les racines <0 !)
« unique » exige la resolution COMPLETE · « une » = simple VERIFICATION
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 10
Formulaire — croissances comparees
« x l'emporte » · armes : factoriser par x (+∞), par 1x (0⁺), quotient ln xx
Derivee & convexite de ln
(ln u)' = u'u (u>0) · domaine ln u : tableau de signes de u
u' d'abord · limites par COMPOSITION (u→2 -> ln 2 asymptote !)
ln CONCAVE : sous ses tangentes (ln x ≤ x−1 · ln x ≤ xe)
au-dessus de ses cordes · f″ = −1x² < 0 · miroir de eˣ ≥ x+1
Primitives & equations
[(x+1)ln(x+1) − x ln x]' = ln(x+1) − ln x · [x ln x]' = ln x+1
constante par la condition (G₁(1)=0 -> c = −2 ln 2)
equation : C.E. -> transformer (ln a+ln b=ln ab) -> bijection -> CONFRONTER
changements : X = ln x (libre) · X = eˣ (X>0, rejeter !)
La bijection
continue + strictement monotone + limites aux bornes -> une unique solution
encadrer α : composer par exp -> se ramener a un polynome
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠ Les 8 pieges
① 1x ln x : preciser le signe 0⁻ (ln x<0 sur ]0;1[)
② limite d'interieur FINIE -> asymptote horizontale (u→2 -> ln 2)
③ equation ln+ln : 2 conditions d'existence + confrontation
④ X = eˣ : rejeter la racine négative (eˣ>0)
⑤ ln x ≤ x−1 (concave) vs eˣ ≥ x+1 (convexe) : ne pas mélanger
⑥ deriver ln u : calculer u' séparément d'abord
⑦ primitive avec condition : ne pas oublier + c puis la valeur
⑧ « unique solution » ≠ « une solution » (complete vs verification)
🎤 Grand Oral
pourquoi x l'emporte sur ln x ?ln croit « infiniment lentement » (deriv. 1x→0) : doubler ln x exige d'elever x au carre -> echelles log (pH, decibels, Richter)
a quoi sert la concavite de ln ?ln x ≤ x−1 = brique des inegalites de convexite (inegalite arithmetico-geometrique, entropie)
G = (x+1)ln(x+1) − x ln x= (a un facteur pres) l'entropie binaire ! primitive ↔ aire -> S12 Integration