Séquence 09 — Succession d'épreuves indépendantes et loi binomialeSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 09 — Succession d'épreuves indépendantes et loi binomiale
Seq. 09 — Loi binomiale
Butmodeliser par epreuves independantes -> schema de Bernoulli -> loi binomiale
(le chapitre de probas le + rentable du bac)
Feuille de route
I.succession d'epreuves independantes (arbre)
II.epreuveloi/schema de Bernoulli (E=p, V=p(1−p))
III.loi binomiale : P(X=k), E, V, calculatrice
App 1→7 : toutes les formulations + 5 sujets bac
Le fil rouge
① redaction-type « on repete n fois, identique & independante »
② calculatrice ③ seuil par tableau ④ optimisation par le ln (sens qui change !)
I — Succession d'épreuves
I — Cours + Application : pièce, dé à 4 faces, pièce truquée
I — Epreuves independantes
defn experiences dont les resultats ne dependent pas les uns des autres
proprieteΩ = Ω₁×⋯×Ωn :
| P(x₁,…,xn) | = | P(x₁) × ⋯ × P(xn) |
proba d'une issue = produit le long du chemin
App — piece · de(4) · piece truquee
E₁ piece : P(P)=P(F)=0,5
E₂ de(4) : P(1)=…=P(4)=0,25
E₃ piece truquee : P(P)=23 , P(F)=13
indep.-> P(x₁,x₂,x₃) = P(x₁)·P(x₂)·P(x₃)
P(2 Piles et un nombre pair)
A = {(P,2,P) ; (P,4,P)} (incompatibles)
| P(P,2,P) | = | 12 × 14 × 23 |
| = | 112 |
verif directe : 12 × 12 × 23 = 16 (pair : 24=12)
Redaction en 3 temps
① decrire chaque Eᵢ (univers + probas) ② justifier l'independance
③ proba issue = produit ; somme sur les chemins incompatibles
II — Bernoulli
II — Épreuve, loi et schéma de Bernoulli (E(X) = p, V(X) = p(1−p))
II — Epreuve de Bernoulli
defexperience a 2 issues : succes S (p) · echec S̄ (1−p)
ex : « etre gaucher » p=0,1 · « piece defectueuse » p=0,02
Loi de Bernoulli
X = 1 (succes) ou 0 (echec) : P(X=1)=p , P(X=0)=1−p
demo : E = 0×(1−p) + 1×p = p
V = E(X²)−E(X)² = p−p² = p(1−p)
Schema de Bernoulli (n;p)
= repetition de n epreuves identiques et independantes de parametre p
Modeliser (redaction type)
1)10 lancers piece, compte « Face » -> (n=10 ; p=0,5)
2)5 lancers de, faces paires -> (n=5 ; p=0,5)
3)3 tirages AVEC remise (7 rouges17) -> (n=3 ; p=717)
4)3 tirages SANS remise -> PAS un schema (ni identiques ni indep.)
La phrase a recopier PARTOUT
« on repete n fois de facon identique et independante une epreuve de Bernoulli dont le succes « … » a pour proba p »
piege n°1 : sans remise ⇒ PAS Bernoulli (avec remise ⇒ oui)
III — Loi binomiale
III — La loi binomiale : formule (ROC), E, V, σ et la calculatrice
III — Loi binomiale ℬ(n;p)
X compte les succes dans un schema (n;p) : X ↪ ℬ(n;p)
Formulepour k ∈ {0,…,n} :
ROC — demonstration exigible
① un chemina k succes et n−k echecs pese pk(1−p)n−k
② nb de chemins= choisir la place des k succes = (nk)
-> P(X=k) = (nk) pk(1−p)n−k ∎
Esperance, variance (admises)
P(X=0)=(1−p)ⁿ · P(X=n)=pⁿ
Calculatrice — ℬ(10;0,6)
P(X=k)-> binomFdp(n,p,k)
P(X≤k)-> binomFRep(n,p,k) (cumul)
| P(X=4) | = | (104)·0,6⁴·0,4⁶ |
| ≈ | 0,1115 |
« au plus 4 » : P(X≤4) ≈ 0,1662
« au moins 4 » : P(X≥4) = 1−P(X≤3) ≈ 0,9452
FORMULE sur la copie, calculatrice ensuite
La ROC en 2 idees
un chemin pese pk(1−p)n−k · il y a (nk) chemins (S07 !)
cloche centree sur E(X)=np · σ grand -> plus etale
III — Exemple
Exemple (Partie III) — ℬ(3 ; 0,3) : l'arbre puis la formule
Ex — 3 lancers, P(Face)=0,3
1) Modelisationn=3, succes « Face », p=0,3
-> X ↪ ℬ(3 ; 0,3)
2) P(X=k) par la formule
chaque succes -> ×0,3 · chaque echec -> ×0,7 · (3k) chemins
verif : 0,343+0,441+0,189+0,027 = 1 ✓
Reflexes
n grand -> plus d'arbre possible -> la formule generale
somme des P(X=k) = 1 · coeffs 1,3,3,1 (Pascal, S07)
Applications
Application 1 — ℬ(10 ; 0,3) : toutes les formulations (a → f)
App 1 — ℬ(10;0,3) · formulations
a)P(X=3) = (103)·0,3³·0,7⁷ ≈ 0,2668 binomFdp
b)« au plus 3 » = X≤3 : P(X≤3) ≈ 0,6496 binomFRep
c)P(X≤4) ≈ 0,8497
d)« X≥5 » contraire de « X≤4 » :
e)« au moins 2 » = X≥2 :
f)« moins de 4 » = X≤3 (strict + entier) ≈ 0,6496
Dictionnaire des formulations
« au plus k » = X≤k · « au moins k » = X≥k -> 1−P(X≤k−1)
« moins de k » = X≤k−1 (strict + entier !)
la calc. ne connait que =k (Fdp) et ≤k (FRep)
Application 1 (suite) — g → k : intervalles et « moyenne ± écart-type »
App 1 (suite) — intervalles
regleP(a≤X≤b) = P(X≤b) − P(X≤a−1)
gh)P(4≤X≤8) = P(X≤8)−P(X≤3) ≈ 0,3502
i)4<X≤8 = 5≤X≤8 : P(X≤8)−P(X≤4) ≈ 0,1501
j)4<X<8 = 5≤X≤7 : P(X≤7)−P(X≤4) ≈ 0,1487
k) μ ± σ (question moderne)
σ(X) = √(10×0,3×0,7) = √2,1 ≈ 1,4491
[E−σ ; E+σ] ≈ [1,55 ; 4,45] -> X entier -> {2;3;4}
| P(2≤X≤4) | = | P(X≤4) − P(X≤1) |
| ≈ | 0,7004 |
≈ 70 % dans μ±σ (concentration autour de la moyenne)
Mecanique des intervalles
P(a≤X≤b) = P(X≤b) − P(X≤a−1) · bornes strictes -> larges (X entier)
k) : X dans μ±σ ≈ 70 % -> vers les intervalles de fluctuation
Type bac
Application 2 (type bac 1) — ℬ(50 ; 0,3) : composants défectueux (1 → 3)
App 2 — lot de 50, p=0,3
1)50 tests indep., succes « defectueux » -> X ↪ ℬ(50;0,3)
2) E, V, σ
en moyenne 15 defectueux par lot (sur un grand nombre de lots)
3) Calculs (a 10−4)
P(X=25) = (5025)·0,325·0,725 ≈ 0,0014
P(X≤9) ≈ 0,0402 · P(X≥10) = 1−P(X≤9) ≈ 0,9598
« X>14 » = X≥15 : P(X>14) ≈ 0,5532
0,750 ≈ 1,8×10−8 negligeable, PAS nul
P(10≤X≤20) ≈ 0,9120 · P(10<X≤20) ≈ 0,8734
Toujours interpreter
l'esperance : « sur un grand nombre de…, en moyenne… » (exigee)
P(X≥1)≈1,0000 : dire negligeable, pas nul
Application 2 (suite) — problèmes de seuil (4) et optimisation n = 26 (5)
4a) plus grand k : P(X≤k) ≤ 0,25
k ↦ P(X≤k) croissante :
-> k = 12 (0,2229 ≤ 0,25 < 0,3279)
4b) plus grand k : P(X≥k) ≥ 0,98
k ↦ P(X≥k) decroissante :
-> k = 9 (0,9817 ≥ 0,98 > 0,9598)
5) Optimisation : plus petit n
Xn ↪ ℬ(n;0,3) · « au moins un » = contraire de « aucun » :
ln(croissante) : n·ln(0,7) ≤ ln(10−4)
ln(0,7) < 0 -> division : le sens CHANGE :
-> n entier -> n = 26
verif : 0,725≈1,34×10−4 ; 0,726≈9,39×10−5
2 outils de seuil
① tableau (binomFRep) en encadrant k / k+1 (preciser ↗ ou ↘)
② « au moins un » : 1−(1−p)ⁿ puis ln (sens change !) + verif numerique
Applications 3 et 4 — le QCM ℬ(3 ; 0,25) et le portique ℬ(80 ; 0,021 92)
App 3 — QCM ℬ(3;0,25)
a)3 questions, 1 bonne sur 4 : p=14=0,25 -> X ↪ ℬ(3;0,25)
E(X) = 3×0,25 = 0,75 (<1 bonne reponse en moyenne)
b)P(X=2) = (32)·0,25²·0,75 ≈ 0,141
c)« au plus 2 » : P(X≤2) ≈ 0,984
les 3 bonnes au hasard : 0,25³ ≈ 1,6 % (tres improbable)
App 4 — portique ℬ(80;0,02192)
1)80 personnes, p=0,02192 -> X ↪ ℬ(80;0,02192)
2)E(X) = 80×0,02192 ≈ 1,7536 (≈ 2 personnes)
3)P(X≥1) = 1−(1−0,02192)80 ≈ 0,830 · P(X≤5) ≈ 0,992
4a)P(X≤2)≈0,744 < 0,9 ≤ P(X≤3)≈0,901 -> a=3
4b)P(X≤1)≈0,474 ≤ 0,5 < P(X≤2)≈0,744 -> b=1
2 vrais extraits de bac
meme plan : modelisation -> E(X)+interpretation -> contraire « au moins un » -> seuils
la binomiale arrive souvent en partie B (apres un conditionnement en A)
Applications 5, 6 et 7 — donneur universel (Python), déchets, acheteurs
App 5 — donneur O⁻ ℬ(50;0,065)
1a)p=0,065 -> X ↪ ℬ(50;0,065)
P(X=8) = (508)·0,065⁸·0,93542 ≈ 0,010
1b) Pythonla boucle cumule P(X=0)+…+P(X=k)
-> proba(k) = P(X≤k) · proba(8) = P(X≤8) ≈ 0,995
2)1−0,935n > 0,999 -> n > ln(0,001)ln(0,935) ≈ 102,8 -> n=103
App 6 — dechets ℬ(20;0,6514)
tirage AVEC remise · P(X=14) = (2014)·0,651414·0,3486⁶ ≈ 0,1723
seuil : 0,3486n ≤ 10−4 -> n ≥ ln(0,0001)ln(0,3486) ≈ 8,74 -> n=9
App 7 — acheteurs ℬ(30;0,204)
P(X=6) ≈ 0,179 · E(X) = 30×0,204 = 6,12 (≈ 6 acheteurs)
seuil : 1−0,796n ≥ 0,99 -> n ≥ ln(0,01)ln(0,796) ≈ 20,18 -> n=21
UN seul squelette
ℬ(n;p) -> P(X=k) -> « au moins un » = 1−(1−p)ⁿ -> seuil par ln
2024 : lire une fonction Python (boucle qui cumule = binomFRep !)
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 09
Formulaire — successions & Bernoulli
succession indep. : P(x₁,…,xn) = P(x₁)×⋯×P(xn)
Bernoulli : E(X)=p · V(X)=p(1−p)
schema (n;p) = n repetitions identiques & independantes
avec remise OUI · sans remise NON
Loi binomiale ℬ(n;p)
P(X=0)=(1−p)ⁿ · P(X=n)=pⁿ · ROC : chemin × (nk)
Calculatrice & formulations
binomFdp(n,p,k) = P(X=k) · binomFRep(n,p,k) = P(X≤k)
« au moins k » : 1−P(X≤k−1) · intervalle : P(X≤b)−P(X≤a−1)
« au moins un » : 1−(1−p)ⁿ -> seuil par ln (sens change !)
FORMULE sur la copie PUIS calculatrice
Plan-type de l'exercice bac
① modelisation (mots exacts) ② E(X)=np + interpretation
③ dictionnaire des formulations ④ seuil : tableau (k) ou ln (n)
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠ Les 8 pieges
① sans remise -> PAS Bernoulli (stock « important » ≈ avec remise)
② redaction : « identique et independante », succes « … », valeur de p
③ « moins de 4 » = X≤3 · « plus de 14 » = X≥15 (strict + entier)
④ oublier le contraire pour « au moins » (obligatoire)
⑤ intervalle : P(X≤b) − P(X≤a−1) (retrancher a−1, pas a !)
⑥ P(X≥1)≈1,0000 : (1−p)ⁿ negligeable, pas nul
⑦ ln : division par ln(q)<0 -> sens change + verif numerique
⑧ toujours interpreter (E(X), seuils) dans le contexte
🎤 Grand Oral
pourquoi la binomiale partout ?des qu'on repete une experience a 2 issues : sondages, controle qualite, genetique, fiabilite -> le modele du « nombre de succes » (cloche -> loi normale)
paradoxe du « au moins un » ?6,5 % semble rare, mais 103 personnes -> 99,9 % d'en trouver un (1−0,935ⁿ explose vers 1)
μ ± σ ≈ 70 % ?concentration autour de la moyenne -> intervalles de fluctuation, loi des grands nombres (S14 !)