Séquence 08 — Dérivation, convexité et continuitéSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 08 — Dérivation, convexité et continuité
Seq. 08 — 3 complements d'analyse
Butcompleter l'analyse : derivees composees, convexite, continuite
La feuille de route
I.4 formules : (eᵘ)' · (ln u)' · (uⁿ)' · (√u)'
+ 6 etudes completes (Df, f', variations, limites)
II.Convexite -> la derivee seconde f″
point d'inflexion · lecture graphique · cles USB · inegalites
III.Continuite -> en un point (3 conditions) · sur un intervalle · parametre b
L'idee-cle
f″ pilote la convexite comme f' pilote les variations
-> un « etage de plus » dans la derivation
I — Dérivées composées
I — Cours : les 4 formules + deux « Par exemple »
I — Deriver une composee
Reglef = v∘u : (v∘u)' = u' × (v'∘u)
On en deduit(u derivable) :
« Par ex. » [(2x⁴−x²)³]'
On poseu = 2x⁴−x² -> u' = 8x³−2x
Formule(uⁿ)' avec n=3 :
| [(2x⁴−x²)³]' | = | 3(8x³−2x)(2x⁴−x²)² |
| = | (24x³−6x)(2x⁴−x²)² |
« Par ex. » [−2/(4x²+9)³]'
Astucele quotient -> puissance negative :
Formule(uⁿ)' , n=−3 , u'=8x :
| [−2(4x²+9)−3]' | = | −2(−3)(8x)(4x²+9)−4 |
| = | 48x(4x²+9)⁴ |
Le reflexe universel
poser u -> calculer u' -> appliquer la formule
justif-type : « derivable par composition de fonctions derivables »
I — Application
Application — 1. f(x) = e^(3x²−2x) : l'étude complète modèle
App — f(x)=e3x²−2x sur ℝ
Dfexp definie sur ℝ -> Df = ℝ
Derivee
derivablesur ℝ (composition) ; u = 3x²−2x
Formule(eᵘ)' = u' eᵘ :
| f'(x) | = | (3x²−2x)' e3x²−2x |
| = | (6x−2) e3x²−2x |
Variations
care3x²−2x > 0 -> signe de f' = signe de (6x−2)
s'annule en x = 13
f(13) = e3×1/9 − 2/3 = e−1/3
Limites aux bornes
en −∞3x²−2x → +∞ puis eX → +∞ -> lim = +∞
en +∞3x²−2x = 3x²(1 − 23x) → +∞ -> lim = +∞
LE modele en 4 temps
① Df justifie ② derivee (formule composee)
③ variations (exp>0 -> signe du facteur) ④ limites (composition)
Application — 2.a) ln(x² + x + 4) et 2.b) ln(eˣ + 2)
2.a) f = ln(x²+x+4) sur ℝ
Dfil faut x²+x+4 > 0
Δ = 1 − 4×4 = −15 < 0 -> jamais nul (coef>0) donc >0
-> Df = ℝ
Derivee(ln u)' = u'/u :
Signedenom>0 -> signe de (2x+1) , nul en x=−12
min f(−12) = ln(154) (↘ puis ↗)
Limitesx²+x+4 → +∞ -> lim x→±∞ = +∞
2.b) f = ln(eˣ+2) sur ℝ
Dfeˣ>0 et 2>0 -> somme >0 -> Df = ℝ
Deriveeu = eˣ+2 :
Signeeˣ>0 et eˣ+2>0 -> f' > 0 (f ↗ sur ℝ)
Limitesen +∞ : +∞
en −∞ : eˣ→0 -> eˣ+2→2 -> lim = ln 2
droite y = ln 2 asymptote horizontale
A retenir (domaine du ln)
① trinome Δ<0 toujours >0 ② somme de quantites >0
belle limite finie ln 2 : composition vers un point (X→2) !
Application — 3.a) (5x² − 3x)³ · 3.b) −3/(x²+4)⁴ · 4. √(1 − x²)
3.a) f = (5x²−3x)³ sur ℝ
Dfpolynome -> Df = ℝ
Derivee(uⁿ)' , n=3 :
Signe(5x²−3x)² ≥ 0 -> signe de (10x−3)
nul sans changer de signe en 0 et 35 (tangentes horiz.)
min f(310) = (−0,45)³ = −7298000
| x | −∞ | 310 | +∞ |
| f'(x) | − | 0 | + |
| f | ↘ | −7298000 | ↗ |
Limites±∞ : +∞
3.b) f = −3/(x²+4)⁴ sur ℝ
Dfx²+4 ≥ 4 > 0 -> Df = ℝ
Derivee−3(x²+4)−4 , n=−4 :
| f'(x) | = | −3(−4)(2x)(x²+4)−5 |
| = | 24x(x²+4)⁵ |
Signe(x²+4)⁵>0 -> signe de 24x : ↘ puis ↗
min f(0) = −3256
Limites±∞ : 0 (y=0 asymptote)
4. f = √(1−x²) sur [−1;1]
Df1−x² ≥ 0 -> Df = [−1;1] (demi-cercle)
Derivee(√u)' = u'/(2√u) , sur ]−1;1[ :
| f'(x) | = | −2x2√(1−x²) |
| = | −x√(1−x²) |
Signe√>0 -> signe de −x : ↗ puis ↘
f(−1)=0 · f(0)=1 (max) · f(1)=0
bornes sans limite : f y est definie !
3 pepites
① f' nulle sans changer de signe = tangente horiz., pas d'extremum
② puissance negative : −3(x²+4)−4
③ √u : derivable sur l'ouvert seulement
II — Convexité
II — Cours : dérivée seconde (3 exemples) + le point d'inflexion x eˣ
II — Convexite (via f″)
f convexe: Cf au-dessus de ses tangentes ⟺ f' ↗ ⟺ f″ ≥ 0
f concave: Cf en dessous ⟺ f' ↘ ⟺ f″ ≤ 0
pt d'inflexion: la courbe traverse sa tangente
f″ s'annule EN CHANGEANT de signe
Calculer f″ — 3 exemples
1)f = −x⁴+2x³−5x²+7 :
2)g = e−x²+3x−1 : g' = (−2x+3) e−x²+3x−1
factoriser par l'exp (ne pas developper) :
| g″ | = | e−x²+3x−1[(−2x+3)²−2] |
| = | (4x²−12x+7) e−x²+3x−1 |
3)h = x√x sur ]0;+∞[ : h' = (32)√x (forme simple)
Pt d'inflexion — f(x) = x eˣ
Signeeˣ>0 -> signe de (x+2) :
| x | −∞ | −2 | +∞ |
| f″(x) | − | 0 | + |
| f | ∩ concave | | ∪ convexe |
en −2 : f″ change de signe ; f(−2) = −2e−2 = −2e²
pt d'inflexionA(−2 ; −2e²) ≈ (−2 ; −0,27)
Les rituels
g″ : deriver le produit puis factoriser par l'exp
inflexion : f″=0 ET change de signe (les 2 conditions !)
Applications 1 et 2 — convexité par lecture graphique (f, f′ ou f″ ?)
App 1 — lire la convexite (a–d)
methodeposition de Cf / ses tangentes ; inflexion = la courbe traverse
a)Cf au-dessus partout -> convexe sur ℝ (pas d'inflexion)
b)Cf en dessous -> concave sur ]0;+∞[
c)concave puis convexe -> inflexion A(2 ; 1)
d)3 inflexions : A(−2;−0,4), O(0;0), B(2;0,4)
App 2 — QUELLE courbe regarde-t-on ?
Courbe 1 = f(regarder les tangentes) :
concave aux bords, convexe au milieu -> inflexions A(−1,5;−1), B(1,5;−1)
Courbe 2 = g'(regarder ses variations) :
g convexe ⟺ g' ↗ -> g convexe sur [−1;1] ; inflexions en −1 et 1
Courbe 3 = h″(regarder son signe) :
h convexe ⟺ h″ ≥ 0 -> h convexe sur [−2;1] ; inflexions en −2 et 1
LE piege du chapitre
courbe de f -> tangentes
courbe de f' -> ses VARIATIONS (↗ = convexe)
courbe de f″ -> son SIGNE (>0 = convexe)
Application 3 — les clés USB : convexité pour résoudre un problème
App 3 — les cles USB
C(x) = 0,05x³ − 1,05x² + 8x + 4 sur [0;10] (x en milliers)
1) Conjecture (calculatrice)
concave sur [0;7] · convexe sur [7;10]
-> inflexion probable en x = 7
2) Demonstration (par C″)
C″=0 ⟺ x = 2,10,3 = 7
C(7) = 17,15 − 51,45 + 56 + 4 = 25,7
-> inflexion A(7 ; 25,7) (conjecture confirmee)
3) Interpretation
[0;7] : C ↗ et concave -> cout croit en RALENTISSANT
[7;10] : C ↗ et convexe -> cout croit en ACCELERANT
-> des 7 000 cles, la croissance du cout s'emballe
Schema des problemes concrets
conjecture (calc.) -> demonstration (C″) -> interpretation
concave = ralenti · convexe = accelere
Application 4 — démontrer des inégalités par la convexité
App 4 — inegalites par convexite
methodeconvexe -> Cf au-dessus des tangentes ; concave -> en dessous
1) eˣ ≥ x+1
a)f=eˣ , f″=eˣ > 0 -> f convexe sur ℝ
b)tangente en 0 : y = f'(0)(x−0) + f(0)
f(0)=1 , f'(0)=1 -> (T) : y = x+1
c)convexe -> Cf au-dessus de (T) :
2) √(x+1) ≤ 1 + x/2
a)f″(x) = −14(x+1)√(x+1) < 0 -> concave sur [0;+∞[
b)tangente en 0 : f(0)=1 , f'(0)=12 -> (T) : y = 1 + x2
c)concave -> Cf en dessous de (T) :
3) e(a+b)/2 ≤ (eᵃ+eᵇ)/2
exp convexe -> Cf en dessous de ses cordes
corde [AB] , A(a;eᵃ) , B(b;eᵇ) :
| e(a+b)/2 | ≤ | eᵃ+eᵇ2 ∀(a,b)∈ℝ² |
Schema en 3 pas
① convexite (f″) ② tangente au bon point ③ position -> l'inegalite
variante cordes : convexe = sous ses cordes (inegalite des moyennes)
III — Continuité
III — Continuité : en un point (3 conditions) et sur un intervalle
III — Continuite en a
deff continue en a ⟺
| lim x→a⁻ f | = | lim x→a⁺ f |
| = | f(a) |
3 conditions: ① f definie en a ② limites G = D ③ = f(a)
Ex III.1 — continue en 3 ?
f = x+6 (x<3) · 2 (x=3) · x² (x>3)
① f(3) = 2
② lim x→3⁻ (x+6) = 9 · lim x→3⁺ x² = 9
③ mais f(3)=2 ≠ 9 -> la 3ᵉ condition echoue
-> f n'est PAS continue en 3
Ex III.3 — sur un intervalle
detailler(« continue comme quotient » ne suffit pas !)
1)3x²−12x+6 : polynome / affine ≠0 -> continue
2)eˣ(x²+5)√x : produit de continues -> continue sur ℝ⁺
3)ex²−3 : composee de continues -> continue sur ℝ
A retenir
en un point : 3 conditions, il suffit qu'UNE echoue
sur un intervalle : detailler les briques + « par sommeproduit/quotientcomposition »
Application — continuité en 1, sur ℝ, et le paramètre b
App 1 — f = x² (x≤1) · −x³+2 (x>1)
a) continue en 1 ?
① f(1) = 1² = 1
② lim x→1⁻ x² = 1 · lim x→1⁺ (−x³+2) = 1
③ tout = 1 -> f continue en 1
b) sur ℝ ?polynomes des 2 cotes + continue en 1 -> continue sur ℝ
App 2 — le parametre b
f = x²+bx+2 (−4≤x≤1) · 3x+1 (1<x≤3)
a) graphiquesommet en (0;2) -> −b2 = 0 -> b = 0
avec b=0 : G=3 , D=4 -> 3≠4 -> non continue (saut en 1)
b) b pour continuite en 1 :
continue ⟺ 3+b = 4 ⟺ b = 1
Le classique du raccordement
chaque morceau continu (polynomes) -> tout se joue au point de jonction
egaliser limite G = limite D -> equation en b
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 08
Formulaire — derivees composees
quotient -> puissance negative · domaine ln : u>0 · √ : u≥0
Convexite
f convexe ⟺ Cf au-dessus des tangentes ⟺ f' ↗ ⟺ f″ ≥ 0
concave : tout s'inverse
lecture : f -> tangentes · f' -> variations · f″ -> signe
inflexion: f″ s'annule EN CHANGEANT de signe
Inegalites & continuite
convexe -> Cf au-dessus des tangentes (eˣ ≥ x+1)
concave -> en dessous (√(x+1) ≤ 1 + x2)
convexe -> sous ses cordes (e(a+b)/2 ≤ eᵃ+eᵇ2)
continuite en a: ① definie ② lim G = lim D ③ = f(a)
La chaine de l'analyse
f″ -> convexite · f' -> variations · f -> valeurs
chaque etage se lit avec le meme outil : le tableau de signes
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠ Les 8 pieges
① ln : justifier u>0 (Δ<0 ou somme de >0)
② g″ : factoriser par l'exp, ne pas developper
③ f' nulle sans changer de signe = tangente horiz., pas d'extremum
④ √u : derivable sur l'ouvert, pas de limite aux bornes definies
⑤ ne pas confondre courbe de f / f' / f″
⑥ inflexion : f″=0 ET change de signe (2 conditions)
⑦ continuite : detailler les briques si demande
⑧ ne pas oublier la 3ᵉ condition (lim G=D mais ≠ f(a))
🎤 Grand Oral
convexite IRL ?inflexion cles USB = seuil economique ; en epidemio = pic de ralentissement ; coeur de l'optimisation (convexe -> min global)
pourquoi eˣ ≥ x+1 ?inegalite fondamentale : croissances comparees, encadrements de ln, inegalite des moyennes
continuite vs derivabilite ?derivable ⟹ continue mais PAS l'inverse (|x| en 0)