Séquence 07 — Combinatoire et dénombrementSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 07 — Combinatoire et dénombrement
🎯 Séquence 07 — au programme
compter sans compter un par un
ensembles -> additif -> multiplicatif
-> permutations / arrangements -> combinaisons
🧠 LA question à se poser
l'ordre compte ?_répétitions ?_
ordre + répétition -> k-uplet nᵏ
ordre, sans répétition -> arrangement
tout ranger -> permutation n!
sans ordre -> combinaison (nk)
I — Ensembles
I — Cours : le langage ensembliste
Langage ensembliste
card(E) = nb d'éléments · ∅ : card = 0
pas d'ordre {a;b}={b;a} · pas de répétition
élément ∈ ensemble · ensemble ⊂ ensemble
𝒫(E) = parties de E -> card(𝒫(E)) = 2ⁿ
Opérations
A∪B (ou) · A∩B (et) · disjoints : A∩B=∅
complémentaire A̅ : A ∪ A̅ = E
App — anagrammes & dés
BAC3×2×1 = 6 anagrammes
2 dés, somme ÷312 issues /36
-> P = 1236 = 13
II — Principe additif
II — Principe additif : cours + exemples + applications 1 à 4
Principe additif
card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B)
disjoints -> card(A∪B) = card(A) + card(B)
complémentaire : card(A̅) = card(E) − card(A)
App — classe de 35 (Maths/Physique)
8 ni l'une ni l'autre :
| card(M∩P) | = | 25 + 20 − 27 |
| = | 18 |
-> 18 font les deux
🧠 « ni…ni »
= complémentaire de la réunion (pas de l'intersection)
III — Principe multiplicatif
III — Produit cartésien, k-uplets et principe multiplicatif
Produit cartésien & k-uplets
A×B = couples (x;y) · card(A×B)=card(A)×card(B)
k-uplet = liste ordonnée, répétitions permises
-> card(Eᵏ) = card(E)ᵏ
⚠️paire {x;y} (sans ordre) ≠ couple (x;y) (ordre)
Le multiplicatif en action
pièce ×5 : 2⁵ = 32 · QCM 12 q, 3 rép : 3¹² = 531 441
menus (E×P×D) : 5×3×3 = 45
mots de passe 4 lettres : 26⁴ = 456 976
code (4 chiffres, 2 lettres XY/Z) : 10⁴×3² = 90 000
IV — Factorielle
IV.1 — La factorielle : convention 0! = 1, calculs et équations
Factorielle
n! = n×(n−1)×⋯×2×1 · convention 0! = 1
car 1! = 1×0! et 1! = 1
Calculs & simplifications
ne jamais calculer 8! en entier
(n+1)×n! = (n+1)!
Équations (tout ramener à (n−1)! ou n!)
a)(n+1)! − n!n−1! = n²
b)(n+2)! + (n+1)! = (n+1)(n+3) n!
| (n+1)(n+3) | = | 8 |
| ⟺ | n²+4n−5 |
| = | 0 |
| ⟺ | (n−1)(n+5)=0 |
-> n = 1 (n=−5 rejeté)
IV — Permutations & arrangements
IV.2/3 — Permutations (n!) et arrangements (n!/(n−k)!)
Permutations & arrangements
Permutation(tout ranger) : n!
Arrangement(k parmi n, ordre, sans répétition) :
binom... n!/(n−k)! = n(n−1)⋯(n−k+1)
App — PRODUIT (7 lettres)
anagrammes : 7! = 5 040
commence par voyelle : 3×6! = 2 160
voyelle début + consonne fin : 3×4×5! = 1 440 -> P = 27
App — podium (20 coureurs)
ordre compte -> arrangement de 3 parmi 20
-> 6 840 podiums
V — Combinaisons
V — Combinaisons : le loto et l'équation (n 7) = (n 4)
Combinaisons
k parmi n, sans ordre, sans répétition :
(nk) = n!/(k!(n−k)!)
tirage SIMULTANÉ = combinaison
Loto — 5 boules parmi 49
| (495) | = | 49×48×47×46×45120 |
| = | 1 906 884 |
-> 1 906 884 tirages
Équation (n7) = (n4)
condition n ≥ 7
| (n−4)(n−5)(n−6) | = | 7×6×5 |
| = | 210 |
⟺ n³ − 15n² + 74n − 330 = 0
⟺ (n−11)(n²−4n+30) = 0 (Δ<0)
-> n = 11
symétrie(n7)=(n4) ⟺ 7 = n−4 ⟺ n = 11
V — Coefficients binomiaux
V — Propriétés, relation de Pascal (2 démonstrations) et triangle
Propriétés
(n0) = (nn) = 1 · (n1) = n
symétrie(nk) = (nn−k)
Relation de Pascal
(nk) + (nk+1) = (n+1k+1)
démo par dénombrement(double comptage) :
parties à k+1 de E (n+1 éléments) :
sans eₙ₊₁ : (nk+1) · avec eₙ₊₁ : (nk)
-> additif -> (n+1k+1)
Triangle de Pascal
chaque case = somme des 2 au-dessus
(53) + (54) = 10 + 5 = (64) = 15
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 07
📋 Formulaire — dénombrement
additif : card(A∪B) = card(A)+card(B)−card(A∩B)
multiplicatif : card(Eᵏ) = card(E)ᵏ (k-uplet)
permutations : n! · arrangements : n!/(n−k)!
combinaisons : (nk) = n!/(k!(n−k)!)
card(𝒫(E)) = 2ⁿ (chaque élément : dedansdehors)
🧠 L'arbre de décision
ordre ? OUI + répétition -> k-uplet nᵏ
OUI sans répétition -> arrangement (tout : permutation)
NON -> combinaison (nk)
cas disjoints -> ON AJOUTE · étapes -> ON MULTIPLIE
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠️ Les pièges à éviter
① paire {x;y} (combinaison) ≠ couple (x;y) (ordre)
② ∈ (élément) ≠ ⊂ (ensemble)
③ ne pas oublier − card(A∩B) (sauf disjoints)
④ « ni…ni » = complémentaire de la RÉUNION
⑤ 8!/6! = 8×7 (simplifier, pas calculer 8!)
⑥ ÷ par n! : dire n! ≠ 0 · conditions (n≥7, n∈ℕ)
⑦ simultané -> combinaison · successif sans remise -> arrangement
⑧ contraintes de position : placer d'abord, permuter le reste
🎤 Grand Oral
« 1 chance sur 1 906 884 au loto ? »
tirage simultané = combinaison + équiprobabilité
« Mélanges d'un jeu de 32 cartes ? »
32! ≈ 2,63×10³⁵ : jamais vu deux fois dans l'histoire !