Séquence 06 — Limites de fonctionsSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 06 — Limites de fonctions
🎯 Séquence 06 — au programme
Limites de fonctionsen ±∞ et en un réel a
Nouveautélimites LATÉRALES (a⁻ , a⁺)
Asymptoteshorizontales et verticales
Composéev ∘ u
Croissances comparées(2 ROC)
🧠 Le trio à réciter
lim finie en ±∞ -> asymptote HORIZONTALE y = ℓ
lim infinie en a -> asymptote VERTICALE x = a
lim infinie en ±∞ -> pas d'asymptote
Cours
I/II/III — Limites en l'infini, en un point, asymptotes
Limites & asymptotes
lim (x→±∞) f = ℓ -> asymptote horizontale y = ℓ
lim (x→a) f = ±∞ -> asymptote verticale x = a
latéralesx→a⁻ et x→a⁺ peuvent différer
Limites usuelles
en ±∞ : 1x , 1xⁿ , 1√x -> 0 · lim (−∞) eˣ = 0
en +∞ : xⁿ , √x , eˣ -> +∞
en 0 : 1x -> +∞ (0⁺) · 1x -> −∞ (0⁻)
IV — Opérations sur les limites : les 3 tableaux et les 4 F.I.
Opérations & F.I.
règles identiques en ±∞ et en a
4 F.I.∞ − ∞ · 0 × ∞ · ∞/∞ · 00
⚠️ℓ ≠ 00 n'est PAS indéterminée -> ±∞ (signe !)
🧠 Méthode reine
en ±∞ : factoriser par le terme prépondérant
÷ par 0 : tableau de signes du dénominateur (0⁺/0⁻)
Partie I — Exemple
Exemple du cours (p.5) : f(x) = (−4x − 1)/(2 − x) — l'étude modèle
Exemple modèle — f(x) = (−4x−1)/(2−x)
x ∈ ℝ \ {2}
Limites en ±∞ (factoriser)
| f(x) | = | −4 − 1x2x − 1 |
| = | −4−1 |
| = | 4 |
-> asymptote horizontale y = 4
Limite en 2 (latérales)
num : lim (−4x−1) = −9
à droite−9 / 0⁻ -> lim = +∞
à gauche−9 / 0⁺ -> lim = −∞
-> asymptote verticale x = 2
Partie I — Application p.5
Application (p.5) — 1°a) f(x) = (3x² − 5x + 2)/(2x² − 7x + 5) : ±∞ et 5/2
App — f(x) = (3x²−5x+2)/(2x²−7x+5)
x ∈ ℝ \ {1 ; 52}
Limites en ±∞
| f(x) | = | 3 − 5x + 2x²2 − 7x + 5x² |
| = | 32 |
-> asymptote horizontale y = 32
Limite en 5/2
num : lim = 8,25 ≠ 0
Δ = 9 -> racines 1 et 52 (a = 2 > 0)
à droite 0⁺ -> +∞ · à gauche 0⁻ -> −∞
-> asymptote verticale x = 52
Application (p.5) — 1°a) suite : la limite en 1 (forme 0/0 !)
Limite en 1 — F.I. « 0/0 »
num aussi nul en 1 -> il faut SIMPLIFIER
Factoriser (racine évidente + somme −b/a)
2x²−7x+5 = 2(x−1)(x−52)
3x²−5x+2 = 3(x−1)(x−23) (1 racine ; somme 53)
Limite
num -> 3·(13) = 1 · dén -> 2·(−32) = −3
-> finie −13 (prolongeable) · pas d'asymptote
Application (p.5) — 1°b) f(x) = (x² + 2)/(3 − eˣ)
App — f(x) = (x²+2)/(3−eˣ)
valeur interdite : 3 − eˣ = 0 -> x = ln 3
Limite en −∞ & en ln 3
en −∞ : +∞3 -> +∞ (car eˣ -> 0)
ln 3⁻ : 0⁺ -> +∞ · ln 3⁺ : 0⁻ -> −∞
-> asymptote verticale x = ln 3
Limite en +∞ (÷ par eˣ)
croissance comparée : x²eˣ -> 0
-> 0 / (−1) -> lim = 0
-> asymptote horizontale y = 0
Application (p.5) — 2°) les cinq limites demandées + Exercice 1 p.193
App 2° — 5 limites
règle des signes du quotient partout
a) b) c)
a)−2x²−5x+1 : en −∞ factoriser x² -> −∞
b)(1x + 2)(x²−1) en 0⁻ : (−∞)(−1) -> +∞
c)x+1x+2 en −2 : −10⁻ -> +∞ · −10⁺ -> −∞
d) e)
d)2x²x²−4 en 2 : 80⁻ -> −∞ · 80⁺ -> +∞
e)√xx+1 en +∞ : factoriser √x -> 0⁺
Cours + Application p.6
V — La composition de fonctions + Application (p.6)
V — Composition v ∘ u
(v ∘ u)(x) = v(u(x))
domainex tels que u(x) ∈ domaine de v
Exemples de composées
v ∘ u avec u=5x+3 , v=√x : (v∘u)(x) = √(5x+3)
domaine 5x+3 > 0 -> x > −35
⚠️u ∘ v ≠ v ∘ u (5√x + 3 ≠ √(5x+3))
Théorème (limite d'une composée)
lim (x→α) u = β et lim (X→β) v = γ
-> lim v(u(x)) = γ (relais)
Partie I — Application p.7
Application (p.7) — limites de fonctions composées (a → e)
App — limites de composées (en +∞)
rituel : poser u, v · domaine · lim u · « par composition »
a) b) c)
a)cos(4x) : u->0 , cos 0 = 1 -> 1
b)√(x²−3x) : u->+∞ , √ -> +∞
c)√(9x+1x−3) : u->9 , √9 -> 3
d) e)
d)e−x²+x−1 : u->−∞ , eˣ -> 0
e)ln(x−2x+2) : u->1 , ln 1 -> 0
domaine : ≥0 pour √ , >0 pour ln
Partie I — Rituel
Rituel — Étude de f(x) = (√x − 1)/x : limites et dérivée
Rituel — f(x) = (√x − 1)/x sur ]0;+∞[
limites · dérivée · variations · tangente par O
1) Limites (séparer les termes)
en +∞ : 0 − 0 -> 0 (asymptote y = 0)
en 0⁺ : −10⁺ -> −∞ (asymptote x = 0)
2) Dérivée (produit)
u = √x − 1 , v = 1x
| f′(x) | = | (12√x)·(1x) + (√x−1)·(−1x²) |
| = | 2 − √x2x² |
Rituel (fin) — variations et tangente passant par l'origine
3) Variations
signe de f′ = signe de 2 − √x (2x² > 0)
max f(4) = 2−14 = 14
4) Tangente passant par O
(Tₐ) : y = f′(a)(x−a) + f(a)
O ∈ (Tₐ) ⟺ f(a) = a·f′(a) :
⟺ √a = 43 ⟺ a = 169
-> oui, tangente en a = 169
Cours + Application
VII — Croissances comparées (2 ROC) + application
Croissances comparées
lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞
lim (x→−∞) xⁿ eˣ = 0
« l'exponentielle l'emporte sur toute puissance »
🎓 ROC (a)
f(x) = eˣ − x²2 sur ℝ⁺ -> eˣ/x ≥ x2
lim x2 = +∞ -> par comparaison lim eˣ/x = +∞
Application
1)2 − x eˣ en −∞ : x eˣ -> 0 -> 2
2)eˣ − x = x(eˣ/x − 1) -> +∞
3)(−x²+1)eˣ = −x²eˣ + eˣ -> 0
4)e3x/x = (eˣ/x)·(eˣ)² -> +∞
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 06
📋 Formulaire — limites & asymptotes
lim finie en ±∞ -> horizontale y = ℓ · lim infinie en a -> verticale x = a
latérales a⁻a⁺ via tableau de signes du dénominateur
4 F.I. : ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 00 (ℓ≠00 -> ±∞ selon le signe)
±∞ : terme prépondérant · 00 : factoriser et SIMPLIFIER
📋 Formulaire — composée & croissances comparées
v ∘ u : lim u = β , lim v = γ ⟹ lim v(u(x)) = γ
domaine : ≥0 pour √ , >0 pour ln
eˣ/xⁿ -> +∞ · xⁿeˣ -> 0 · 2 ROC (eˣ−x , eˣ−x²2)
tangente en a : y = f′(a)(x−a) + f(a) · par O ⟺ f(a) = a f′(a)
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠️ Les pièges à éviter
① « asymptote » sans vérifier le num (00 -> limite finie)
② oublier le tableau de signes (0⁺/0⁻)
③ règle des signes : −90⁻ = +∞
④ valeur interdite cachée : 3 − eˣ = 0 -> x = ln 3
⑤ domaine composée : ≥ pour √ , > pour ln
⑥ u ∘ v ≠ v ∘ u
⑦ conclure « par somme » sur ∞−∞ = FAUX
⑧ √x ≤ 2 : justifier t ↦ t² croissante
🎤 Grand Oral
« À quoi sert une asymptote ? »
comportement limite (saturation, tension d'un condensateur, vitesse limite)
« Pourquoi l'exponentielle l'emporte ? »
elle est sa propre dérivée : croissance auto-amplifiée