Séquence 05 — Suites (2) : Limite de suiteSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 05 — Suites (2) : Limite de suite
🎯 Séquence 05 — au programme
5 méthodes de limite
I — théorèmes de comparaison
II — encadrement (gendarmes)
III — limite d'une suite géométrique qⁿ
IV — convergence monotone
V — suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)
🧠 2 ROC exigibles
comparaison vers +∞
limite de qⁿ (q>1) via Bernoulli
I — Comparaison
I — Cours : les théorèmes de comparaison (+ ROC)
Théorèmes de comparaison
vers +∞uₙ ≤ vₙ et lim uₙ = +∞
-> lim vₙ = +∞
vers −∞uₙ ≥ vₙ et lim uₙ = −∞
-> lim vₙ = −∞
🎓 Démonstration (cas +∞)
soit A réel · lim uₙ=+∞ -> uₙ > A dès n₁
uₙ ≤ vₙ dès n₂
| n | ≥ | max(n₁,n₂) |
| ⟹ | A |
| < | uₙ |
| ≤ | vₙ |
| ⟹ | vₙ |
| > | A |
-> ]A;+∞[ contient tous les vₙ -> lim vₙ=+∞
🧠 Réflexe
borner le terme gênant (−1)ⁿ, cos n, sin n ∈ [−1;1]
vers +∞ on minore · vers −∞ on majore
I — Application : lim (n² + (−1)ⁿ) et lim (−3n + cos n)
Application — comparaison
a) lim (n² + (−1)ⁿ)
b) lim (−3n + cos n)
a) minorer
−1 ≤ (−1)ⁿ -> n²−1 ≤ n² + (−1)ⁿ
lim (n²−1) = +∞
-> par comparaison lim = +∞
b) majorer
cos n ≤ 1 -> −3n + cos n ≤ −3n + 1
lim (−3n+1) = −∞
-> par comparaison lim = −∞
II — Encadrement
II — Cours : le théorème d'encadrement (gendarmes)
Théorème d'encadrement (gendarmes)
uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ
et lim uₙ = lim wₙ = ℓ
-> lim vₙ = ℓ
🧠 Comparaison vs encadrement
comparaison : limite infinie (1 inégalité)
encadrement : limite finie ℓ (2 gendarmes de même limite)
II — Application : lim sin(3n)/n
Application — encadrement
lim sin(3n)n
Encadrer
−1 ≤ sin(3n) ≤ 1 (n ≥ 1)
÷ par n>0(sens conservé) :
lim (−1n) = 0 et lim (1n) = 0
-> par encadrement lim = 0
III — Suite géométrique
III — Cours : limite de qⁿ (+ ROC Bernoulli)
Limite de qⁿ (par cœur)
q > 1 -> +∞
−1 < q < 1 -> 0
q = 1 -> 1
q ≤ −1 -> pas de limite
🎓 ROC (cas q > 1)
on pose q = 1 + a (a > 0)
lim (1 + na) = +∞
-> par comparaison lim qⁿ = +∞
cas 0<q<1
1q > 1 -> lim (1q)ⁿ = +∞
-> par quotient lim qⁿ = 0
III — Application 1 : a) et b) — limites de suites géométriques
App 1 — suites géométriques
a) uₙ = 2ⁿ − 0,5ⁿ
b) uₙ = 2ⁿ − 5ⁿ4ⁿ − 3ⁿ
a)
lim 2ⁿ = +∞ (2>1)
lim 0,5ⁿ = 0 (−1<0,5<1)
-> par différence lim = +∞
b) F.I. ∞/∞ -> factoriser
haut : 2ⁿ − 5ⁿ = 5ⁿ((25)ⁿ − 1)
bas : 4ⁿ − 3ⁿ = 4ⁿ(1 − (34)ⁿ)
| uₙ | = | (54)ⁿ · (25)ⁿ − 11 − (34)ⁿ |
fraction -> −11 = −1 · (54)ⁿ -> +∞
-> par produit lim uₙ = −∞
III — Application 1 : c), d) et e) + « Pour réviser »
App 1 — c) d)
c)uₙ = 2ⁿ − 5ⁿ = 5ⁿ((25)ⁿ − 1)
-> −∞
d)uₙ = (−3)ⁿ/2 : q = −3 ≤ −1
-> pas de limite
e) uₙ = 6000 − 1000·0,9ⁿ⁻¹
lim 0,9ⁿ⁻¹ = 0 -> lim uₙ = 6000
Pour réviser : plus petit n, uₙ > 5800
| 6000 − 1000·0,9ⁿ⁻¹ | > | 5800 |
| ⟹ | 0,9ⁿ⁻¹ |
| < | 0,2 |
(÷ par −1000<0 : sens change)
| (n−1) ln 0,9 | < | ln 0,2 |
| ⟹ | n−1 |
| > | ln 0,2ln 0,9 |
(÷ par ln 0,9 < 0 : sens change)
ln 0,2ln 0,9 ≈ 15,27 -> n−1 ≥ 16 -> n = 17
vérif : u₁₆≈5794 < 5800 < u₁₇≈5815
III — Application 2 : limites des sommes Sₙ
App 2 — limites de sommes Sₙ
formule : 1 + q + ⋯ + qⁿ = (1 − qn+1)/(1 − q) (q ≠ 1)
n+1 termes -> exposant n+1
a) q = 1/2
| Sₙ | = | (1 − (12)n+1)/(1 − 12) |
| = | 2(1 − (12)n+1) |
lim (12)n+1 = 0
-> lim Sₙ = 2
b) q = 3
| Sₙ | = | (1 − 3n+1)/(1 − 3) |
| = | (3n+1 − 1)/2 |
lim 3n+1 = +∞
-> lim Sₙ = +∞
IV — Convergence monotone
IV — Cours : suites bornées et théorème de convergence monotone
Suites bornées
majorée∃ M , uₙ ≤ M
minorée∃ m , uₙ ≥ m
bornéemajorée et minorée
croissante -> minorée par u₀ · décroissante -> majorée par u₀
Convergence monotone (admis)
croissante + majorée -> converge
décroissante + minorée -> converge
⚠️donne l'EXISTENCE de ℓ, pas sa valeur
Divergence + réciproques
croissante non majorée -> +∞ (ROC)
réciproques FAUSSES : n²+(−1)ⁿ -> +∞ mais non croissante
IV — Application : uₙ₊₁ = ½uₙ + 1, u₀ = 4 (récurrence complète)
App — uₙ₊₁ = (1/2)uₙ + 1 , u₀ = 4
a) minorée par 2, décroissante
b) conclure la convergence
a) Minorée par 2 (récurrence)
Pₙ : « uₙ ≥ 2 »
Initu₀ = 4 ≥ 2 -> P₀ vraie
Héréditéuₙ ≥ 2 :
-> uₙ₊₁ ≥ 2 -> Pₙ₊₁ vraie
a) Décroissante
| uₙ₊₁ − uₙ | = | ((12)uₙ + 1) − uₙ |
| = | −(12)uₙ + 1 |
uₙ ≥ 2 -> −(12)uₙ + 1 ≤ 0
-> uₙ₊₁ ≤ uₙ
b)
décroissante + minorée par 2
-> par convergence monotone (uₙ) converge
V — Suite récurrente
V — Cours : calculer la limite d'une suite définie par récurrence
Calculer ℓ — 1ʳᵉ façon (unicité)
(uₙ) converge -> lim uₙ₊₁ = ℓ (décalée)
uₙ₊₁ = (12)uₙ + 1 -> lim = (12)ℓ + 1
-> par unicité ℓ = (12)ℓ + 1
2ᵉ façon — point fixe
uₙ₊₁ = f(uₙ) , f continue , uₙ → ℓ
-> f(ℓ) = ℓ
⚠️ℓ pas forcément la SEULE solution
trier grâce aux caractéristiques (signe, bornes)
V — Exemple 1 : ℓ = 2 (les deux façons)
Exemple 1 — ℓ = 2
les deux façons
2ᵉ façon (point fixe)
f(x) = (12)x + 1 affine -> continue
-> lim uₙ = 2 (cohérent)
V — Exemple 2 : f(x) = 2√(x+3) — conjecture, variations, récurrence
Exemple 2 — f(x) = 2√(x+3)
u₀ = −1 · uₙ₊₁ = f(uₙ)
1) Conjecture
(uₙ) croissante , lim = 6
2a) Variations de f
| f′(x) | = | 2·(12√(x+3)) |
| = | 1√(x+3) |
√(x+3) > 0 -> f′(x) > 0
-> f croissante sur [−2;+∞[
2b) Récurrence −2 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6
Initu₀=−1 , u₁=2√2≈2,83 -> P₀ vraie
Héréditéf croissante appliquée à l'encadrement :
f(−2)=2 , f(6)=6
-> −2 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 6 -> Pₙ₊₁ vraie
V — Exemple 2 (fin) : convergence et ℓ = 6
2c) Convergence
uₙ ≤ uₙ₊₁ -> croissante
uₙ ≤ 6 -> majorée par 6
-> par convergence monotone (uₙ) converge
3) Déterminer ℓ
f continue sur [−2;6] -> f(ℓ) = ℓ
soit 2√(ℓ+3) = ℓ (ℓ ≥ 0)
Δ = 64 -> ℓ₁ = −2 (rejetée) , ℓ₂ = 6
-> lim uₙ = 6 (cohérent)
À retenir
√A = B ⟺ A ≥ 0 et B ≥ 0 et A = B²
la condition B ≥ 0 rejette ℓ₁ = −2
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 05
📋 Formulaire — comparaison & encadrement
Comparaison : uₙ ≤ vₙ , lim uₙ=+∞ ⟹ lim vₙ=+∞ (INFINIE)
Encadrement : uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ , lim uₙ=lim wₙ=ℓ ⟹ lim vₙ=ℓ (FINIE)
qⁿ : q>1 -> +∞ · −1<q<1 -> 0 · q=1 -> 1 · q≤−1 -> pas de limite
somme : 1+q+⋯+qⁿ = (1 − qn+1)/(1 − q) (n+1 termes)
📋 Formulaire — monotone & récurrence
croissante + majorée ⟹ converge (EXISTENCE, pas la valeur)
uₙ₊₁ = f(uₙ) , f continue , uₙ → ℓ ⟹ f(ℓ) = ℓ
trier les solutions (signe, bornes) · √A = B ⟺ A≥0 , B≥0 , A=B²
🧠 Plan-type suite récurrente
conjecture -> variations de f -> récurrence −2≤uₙ≤uₙ₊₁≤M -> monotone -> f(ℓ)=ℓ -> trier
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠️ Les pièges à éviter
① « comparaison » vs « encadrement » (finie -> encadrement, 2 gendarmes)
② diviser une inégalité : préciser le signe (÷ négatif -> sens change)
③ somme 1+q+⋯+qⁿ : n+1 termes -> exposant n+1
④ monotone : ne donne PAS la valeur de ℓ
⑤ réciproques fausses : lim=+∞ ⇏ croissante
⑥ oublier la continuité de f avant f(ℓ)=ℓ
⑦ √A = B : condition B ≥ 0 (rejeter la parasite)
⑧ récurrence : 3 étapes nommées (Init / Hérédité / Conclusion)
🎤 Grand Oral
« Pourquoi les gendarmes ? »
uₙ et wₙ escortent vₙ vers la même limite
« Somme infinie finie ? »
Sₙ → 2 : paradoxe de Zénon, porte des séries