Séquence 04 — Géométrie vectorielle dans l'espaceSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 04 — Géométrie vectorielle dans l'espace (1)
🎯 Séquence 04 — au programme
Vecteurs de l'espacecombinaisons linéaires
Vecteurs coplanaires
Positions relativesdroites & plans
Bases & repères(coordonnées)
Représentation paramétriqued'une droite
🧠 Les outils partout
Chasles : AB + BC = AC
Parallélogramme : AB + AC = AD
Colinéaires : v = ku -> alignement / ∥
Retourner un vecteur : −AD = DA
I — Combinaisons linéaires
I — Cours : combinaison linéaire de vecteurs
Combinaison linéaire
w = αu + βv (u, v non colinéaires)
Généralisationu = λ₁u₁ + ⋯ + λₙuₙ
Les 5 réflexes
Chasles : AB + BC = AC
Parallélogramme : AB + AC = AD
Colinéarité : v = ku
Alignement A,B,C : AB, AC colinéaires
Égalité : AB = CD ⟺ ABDC parallélogramme
🧠 Réflexe du cube
arêtes parallèles = vecteurs égaux
AB = DC = EF = HG
grande diagonale : AG = AB + AD + AE
I — Exemple 1 : ABGH parallélogramme et décomposition de AG
Exemple 1 — cube ABCDEFGH
montrer ABGH parallélogramme
puis AG = comb. de AB et AH
ABGH parallélogramme
AB = DC (face ABCD)
DC = HG (face DCGH)
-> AB = HG -> ABGH parallélogramme
Décomposer AG
(car BG = AH, parallélogramme)
-> AG = AB + AH
I — Exemple 2 : AB + CD = AD + CB (deux méthodes)
Exemple 2 — égalité vectorielle
démontrer : AB + CD = AD + CB
Méthode 1 — Chasles
| AB + CD | = | (AD + DB) + (CB + BD) |
| = | AD + CB |
(car DB + BD = @0)
-> AB + CD = AD + CB
Méthode 2 — différence nulle
| AB + CD − AD − CB | = | AB + BC + CD + DA |
| = | AA |
| = | @0 |
(boucle A→B→C→D→A)
-> même conclusion
I — Application 1 (1.) : cube, alignement et parallélisme
App 1 (1.) — cube
AI = (12)AB + AC · AJ = AC + (12)AE · AK = AB + (12)AE
b) IJ = (12)BE ? · c) (JK) ∥ (BC) ?
b) IJ = IA + AJ
| IJ | = | (−(12)AB − AC) + (AC + (12)AE) |
| = | (12)(BA + AE) |
| = | (12)BE |
-> IJ, BE colinéaires -> (IJ) ∥ (BE)
c) JK = JC + CB + BK
| JK | = | CB + (12)GC + (12)BF |
| = | CB |
(car GC = −BF)
-> JK, BC colinéaires -> (JK) ∥ (BC)
I — Application 1 (2.) : tétraèdre, FG = 2FE et alignement
App 1 (2.) — tétraèdre ABCD
I milieu [BC] · AE = (32)AI · BF = (12)AB · CG = −(12)CA
b) FG = 2FE ? · c) E ∈ (FG) ?
Aides d'abord (depuis A)
AF = AB + (12)AB = (32)AB
AG = AC + (12)AC = (32)AC
b) Chasles
| FG | = | FA + AG |
| = | (32)(BA + AC) |
| = | (32)BC |
-> FG = 2FE
c)
FG, FE colinéaires -> F,E,G alignés -> E ∈ (FG)
I — Applications 2 & 3 : représenter et exprimer des combinaisons
App 2 & 3 — simplifier / exprimer
cube : simplifier u, v, w
exprimer un vecteur dans une famille
Simplifier (exemples)
| u | = | AB + CG + FH |
| = | AD + AE |
| = | AH |
BH : EQ BH = BC + CG + GH = −AB + AD + AE
🧠 La règle
Chasles pour décomposer
puis remplacer par la famille demandée
(arêtes égales, milieux, centres)
I bis — Coplanaires
I bis — Cours : vecteurs coplanaires (définition + propriété)
Vecteurs coplanaires
u, v, w coplanaires
= représentants de même origine dans un plan
Propriété(u, v non colinéaires) :
w coplanaire ⟺ w = au + bv
Points
A,B,C,D coplanaires ⟺ AD = aAB + bAC
Cube — exemples
CoplanairesAD, CG, BG
BG = AD + AE
NON coplanairesAB, AE, AD
car D ∉ (BAE)
I bis — Exemples 3 et 4 : deux cubes · milieux I, J, K, L
Exemples 3 & 4 — coplanarité
Ex.3 : AC, FG, EL coplanaires ?
Ex.4 : I,J,K,L (milieux) coplanaires ?
Ex.3
-> comb. de EL, FG -> coplanaires
Ex.4 — méthode-machine (système)
tout décomposer dans (AB, AD, AE) :
JK = AB + AD
JI = (12)AB − (12)AE
JL = (12)AD + (12)AE
cherche a,b : JK = aJI + bJL
| { 1=(12)a ; 1=(12)b ; 0=−(12)a+(12)b } | ⟺ | { a=2 ; b=2 } |
-> JK = 2JI + 2JL -> I,J,K,L coplanaires
I bis — Applications 1 et 2 : coplanarité (cube et pavé)
Applications coplanarité
démontrer vecteurs / points coplanaires
Cube (à vue)
a)AB, AE, AF : AF = AB + AE -> coplanaires
b)AB, AE, AD : E ∉ (BAD) -> NON
e)FH = −AB + AD -> AB, AD, FH coplanaires
Pavé — système
u = 3AB
v = −2AB + AD + AE
w = AB + AD + AE
| w | = | au + bv |
| ⟺ | { 3a−2b=1 ; b=1 } |
| ⟺ | { a=1 ; b=1 } |
-> w = u + v -> coplanaires
III — Positions relatives
III — Exemple + Application : droites et plans de l'espace
Positions relatives — droites & plans
droite d(A ; u) : M ∈ d ⟺ AM = ku
plan 𝒫(A ; u,v) : M ∈ 𝒫 ⟺ AM = su + tv
2 plans sécants
T ∈ (IK) ⊂ (IJK) et T ∈ (AB) ⊂ (ABC)
S ∈ (IJ) ⊂ (IJK) et S ∈ (BC) ⊂ (ABC)
T ≠ S -> 2 points communs
-> plans sécants suivant (TS)
Critères ∥
droite ∥ plandirecteur = comb. de 2 directeurs du plan (+ point hors)
plan ∥ plan2 couples de directeurs colinéaires + plans distincts
IV — Bases et repères
IV — Cours + Exemples a→e : bases et repères de l'espace
Bases et repères
Base3 vecteurs non coplanaires (i,j,k)
décomposition unique : u = xi + yj + zk
Repère(O ; i,j,k)
Justifier une base
(AB, AD, AE) : E ∉ (ABD)
-> non coplanaires -> base
Coordonnées (cube)
-> AG (1 ; 1 ; 1)
BH = −AB + AD + AE -> BH (−1 ; 1 ; 1)
entre 2 pointsAB (x_B−x_A ; y_B−y_A ; z_B−z_A)
IV — Application 1 : dans l'espace repéré (coordonnées, alignement, coplanarité)
App 1 — dans l'espace repéré
A(2;0;1) B(1;−2;1) C(5;5;0) D(−3;−5;6) F(1;1;−1) G(−2;4;0)
a) E tel que AE = AB + 2CA
AB(−1;−2;0) , CA(−3;−5;1)
AB + 2CA = (−7 ; −12 ; 2)
| AE | = | AB + 2CA |
| ⟺ | { x−2=−7 ; y=−12 ; z−1=2 } |
| ⟺ | { x=−5 ; y=−12 ; z=3 } |
-> E(−5 ; −12 ; 3)
c) A,B,C,D coplanaires ?
AD(−5;−5;5) ; cherche AD = aAB + bAC
| { −5=−a+3b ; −5=−2a+5b ; 5=−b } | ⟺ | { a=−10 ; b=−5 } |
-> coplanaires (D ∈ (ABC))
d) e)
d)système sans solution -> (FG) & (ABC) sécants
e)AE = AB − 2AC -> (AE) contenue dans (ABC)
IV — Applications 2 et 3 : parallélogramme, rectangle, repère du pavé
App 2 — repère orthonormé
A(6;8;2) B(4;9;1) C(5;7;3)
a) D : ABDC parallélogramme
AB(−2;1;−1)
| AB | = | CD |
| ⟺ | { −2=x−5 ; 1=y−7 ; −1=z−3 } |
| ⟺ | { x=3 ; y=8 ; z=2 } |
-> D(3 ; 8 ; 2)
b) Triangle rectangle
AB = √6 · AC = √3 · BC = 3
-> Pythagore réciproque -> rectangle en A
c)
parallélogramme + angle droit -> ABDC rectangle
V — Représentation paramétrique
V — Cours : le théorème + sa démonstration
V — Représentation paramétrique (théorème)
(d) : A(x_A;y_A;z_A) , directeur u(a;b;c)
{ x = x_A + at ; y = y_A + bt ; z = z_A + ct } (t ∈ ℝ)
🎓 Démonstration
M ∈ (d)
| AM et u colinéaires | ⟺ | AM |
| = | tu |
| ⟺ | { x−x_A=ta ; y−y_A=tb ; z−z_A=tc } |
-> { x = x_A+at ; y = y_A+bt ; z = z_A+ct } ∎
🧠 Lire une repr. param.
terme constant (t=0) = le point
coefficient de t = le vecteur directeur
une infinité de représentations
V — Application 1 : déterminer une représentation paramétrique
App 1 — déterminer une repr. param.
(d) : A(2;1;−1) , u(0;1;−1)
a) Théorème
-> (d) : x=2 ; y=1+t ; z=−1−t
c) Appartenance
C(2;4;−4){ 2=2 ; 4=1+t ; −4=−1−t } ⟺ { t=3 ; t=3 }
même t -> C ∈ (d)
D(2;5;−1)-> t=4 et t=0 : contradictoire
-> D ∉ (d)
Segment & demi-droites
[AB] : t ∈ [0;1] · [AB) : t ∈ [0;+∞[
V — Application 2 : reconnaître une droite définie par une représentation
App 2 — reconnaître une droite
(d) : x=−1+t ; y=2−4t ; z=−3−2t
a) b)
t=0 -> A(−1;2;−3) · directeur u(1;−4;−2)
∥ à v(−2;1;1) ?1−2 ≠ −41
non colinéaires -> pas parallèle
Même droite ?
v(−6;−3;9) = −3u -> colinéaires
point commun : A ∈ (d′) pour
| { 3−6s=−1 ; −3s+2=0 ; 9s−5=1 } | ⟺ | { s=23 ; s=23 ; s=23 } |
-> même s -> droites confondues
V — Application 3 : position relative de deux droites de l'espace
App 3 — position de 2 droites
toujours renommer : s ≠ t
Cas sécantes
u(1;2;−3) , v(1;−1;1) non colinéaires
| { 9+k=t ; −1+2k=2−t ; −3k=−1+t } | ⟺ | { 3k=−6 ; −4k=8 } |
| ⟺ | { k=−2 } |
compatible -> sécantes en I(7;−5;6)
Cas non coplanaires
u(1;1;1) , v(−1;2;1) non colinéaires
| { 2+t=1−s ; t=2+2s ; 1+t=3+s } | ⟺ | { s=−1 ; s=0 } |
contradictoire -> droites NON coplanaires
🧠 Arbre de décision
directeurs colinéaires ? OUI -> confondues / ∥
NON -> système compatible ? sécantes / non coplanaires
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 04
📋 Formulaire — vecteurs & coordonnées
Chasles AB + BC = AC · Parallélogr. AB + AC = AD
coordonnées : AB (x_B−x_A ; y_B−y_A ; z_B−z_A)
colinéaires v = ku · coplanaires w = au + bv
base = 3 vecteurs NON coplanaires · décomposition unique
distances (orthonormé) : AB = √(Δx² + Δy² + Δz²)
📋 Formulaire — droites
(d) : { x=x_A+at ; y=y_A+bt ; z=z_A+ct }
terme constant = point · coeff. de t = directeur
positions : colinéaires ? -> confondues / ∥ · sinon -> sécantes / non coplanaires
appartenance : UNE même valeur de t pour les 3 équations
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠️ Les pièges à éviter
① −AD = DA (retourner change le signe)
② Chasles (AB + BC) ≠ parallélogramme (AB + AC)
③ égalité vecteurs ⟺ coordonnées égales (avant le système)
④ colinéarité : pas de division par 0
⑤ appartenance : MÊME t pour les 3 équations
⑥ 2 droites : renommer le paramètre (s ≠ t)
⑦ distances : repère orthonormé obligatoire
⑧ « parallèles » : exclure « confondues »
🎤 Grand Oral
« Plan vs espace ? »
3ᵉ coordonnée + 4ᵉ position : droites NON coplanaires
« Pourquoi paramétrer ? »
t = temps : équation horaire d'un mobile (A + t·u)