Séquence 03 — Suites (1) : récurrence et limitesSpé Maths · Terminale
Introduction
Séquence 03 — Suites (1) : récurrence et limites
🎯 Séquence 03 — au programme
RécurrenceLA démonstration de Terminale
Limite d'une suite
définition
opérations + formes indéterminées
Algorithmesde seuil (Python)
🧠 Feuille de route
I — Récurrence (2 exemples + 3 applications)
dont 2 ROC : somme géo + Bernoulli
II — Définition de la limite
III — Calcul (opérations + F.I.)
IV — Algorithmes de seuil
I — Récurrence
I — Cours : l'axiome de récurrence (l'escalier)
Axiome de récurrence
Pₙ une proposition qui dépend de n
① InitialisationPₙ₀ vraie
② HéréditéPₙ ⟹ Pₙ₊₁
③ ConclusionPₙ vraie ∀n ≥ n₀
L'image de l'escalier
monter sur la 1ʳᵉ marche (init)
+ passer d'une marche à la suivante (hérédité)
-> on monte tout l'escalier
⚠️ Les deux pièges
Init seule ne suffit pas
n² ≥ 2ⁿ vrai pour n=2,3… mais 5² < 2⁵ !
Hérédité seule ne suffit pas
« 2ⁿ divisible par 3 » héréditaire mais P₀ fausse
-> les DEUX sont indispensables
I — Exemple 1 : uₙ = 3 − 2ⁿ (récurrence + suite auxiliaire géométrique)
Exemple 1 — uₙ = 3 − 2ⁿ
u₀ = 2 ; uₙ₊₁ = 2uₙ − 3
1) récurrence : uₙ = 3 − 2ⁿ
2) suite auxiliaire vₙ = uₙ − 3
1) Récurrence
On posePₙ : « uₙ = 3 − 2ⁿ »
Initialisationn=0 :
-> P₀ vraie
Héréditéon suppose uₙ = 3 − 2ⁿ :
| uₙ₊₁ | = | 2uₙ − 3 |
| = | 2(3 − 2ⁿ) − 3 |
| = | 6 − 2n+1 − 3 |
| = | 3 − 2n+1 |
-> Pₙ₊₁ vraie
Conclusion∀n ≥ 0, uₙ = 3 − 2ⁿ
2) Suite auxiliaire vₙ = uₙ − 3
| vₙ₊₁ | = | uₙ₊₁ − 3 |
| = | (2uₙ − 3) − 3 |
| = | 2(uₙ − 3) |
| = | 2vₙ |
-> (vₙ) géométrique : q = 2 , v₀ = −1
vₙ = v₀·qⁿ = −2ⁿ
uₙ = vₙ + 3 = 3 − 2ⁿ (on retrouve 1)
I — Exemple 2 : uₙ₊₁ = √uₙ + 4, minorée par 2 (inégalité)
Exemple 2 — uₙ₊₁ = √(uₙ) + 4
u₀ = 3
montrer par récurrence : uₙ ≥ 2
Récurrence sur une inégalité
On posePₙ : « uₙ ≥ 2 »
Initialisationu₀ = 3 ≥ 2 -> P₀ vraie
Héréditéon suppose uₙ ≥ 2 :
uₙ ≥ 2 or x ↦ √x croissante sur ℝ⁺
-> uₙ₊₁ ≥ 2
Conclusion∀n ≥ 0, uₙ ≥ 2
🧠 Le mécanisme
appliquer une fonction croissante (à JUSTIFIER)
puis minorer numériquement
I — Application 1 (ROC) : la somme géométrique 1 + q + q² + ⋯ + qⁿ
App 1 (ROC) — somme géométrique
q ≠ 1 , n ≥ 1
1 + q + q² + ⋯ + qⁿ = (1 − qn+1)/(1 − q)
Initialisation (n = 1 !)
gauche : 1 + q
| 1 − q²1 − q | = | (1−q)(1+q)1 − q |
| = | 1 + q |
-> P₁ vraie
Hérédité
On ajouteqn+1 à l'hypothèse :
| 1 + ⋯ + qn+1 | = | (1 − qn+1)/(1 − q) + qn+1 |
| = | (1 − qn+1 + qn+1(1 − q))/(1 − q) |
| = | (1 − qn+2)/(1 − q) |
-> Pₙ₊₁ vraie
🧠 L'astuce
isoler la somme au rang n
ajouter qn+1 , même dénominateur 1 − q
I — Application 2 (ROC) : l'inégalité de Bernoulli
App 2 (ROC) — inégalité de Bernoulli
a > 0 , n ≥ 0
(1 + a)ⁿ ≥ 1 + na
Initialisation n = 0
(1+a)⁰ = 1 et 1 + 0·a = 1
-> P₀ vraie
Hérédité
(1+a)ⁿ ≥ 1 + na or 1 + a > 0
×(1+a)(sens conservé) :
| (1+a)n+1 | ≥ | (1 + na)(1 + a) |
| = | 1 + (n+1)a + na² |
or na² ≥ 0 :
(1+a)n+1 ≥ 1 + (n+1)a
-> Pₙ₊₁ vraie
🧠 2 points-clés
① ×(1+a) > 0 (à justifier : a>0)
② jeter na² ≥ 0
I — Application 3 : uₙ₊₁ = 0,75uₙ(1 − 0,15uₙ) — encadrement et variations
App 3 — modèle logistique
u₀ = 0,6 ; uₙ₊₁ = 0,75 uₙ(1 − 0,15 uₙ)
f(x) = 0,75 x(1 − 0,15 x) croissante sur [0;1]
uₙ₊₁ = f(uₙ)
a) Encadrement 0 ≤ uₙ ≤ 1
On posePₙ : « 0 ≤ uₙ ≤ 1 »
Initu₀ = 0,6 -> P₀ vraie
Hérédité0 ≤ uₙ ≤ 1 , f croissante :
| f(0) | = | 0 |
| ≤ | f(uₙ) |
| = | uₙ₊₁ |
| ≤ | f(1) |
| = | 0,6375 |
-> 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ 1 -> Pₙ₊₁ vraie
(u₁ = 0,4095 · coquille polycopié corrigée)
b) Variations : signe de uₙ₊₁ − uₙ
| uₙ₊₁ − uₙ | = | 0,75 uₙ(1 − 0,15 uₙ) − uₙ |
| = | −0,1125 uₙ² − 0,25 uₙ |
or uₙ ≥ 0 -> les deux termes ≤ 0
-> uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0
-> (uₙ) décroissante
décroissante + minorée par 0 -> converge (S05)
II — Limites : cours
II — Cours : définition de la limite d'une suite
II — Définition de la limite
étudier uₙ quand n ↦ +∞
Limite finie ℓ (convergente)
tout intervalle ouvert autour de ℓ
contient tous les uₙ à partir d'un certain rang
lim uₙ = ℓ · ℓ est UNIQUE
Limite infinie (divergente)
uₙ → +∞ : ∀A, uₙ > A à partir d'un rang
attentiondiverger ≠ tendre vers ∞
(−1)ⁿ diverge sans limite
Limites usuelles
1√n , 1nᵏ , 1eⁿ -> 0
√n , nᵏ , eⁿ , ln n -> +∞
III — Cours : opérations sur les limites et formes indéterminées
III — Opérations sur les limites
on combine les usuelles
somme · produit · inverse · quotient
Les 4 FORMES INDÉTERMINÉES
∞ − ∞
0 × ∞
∞/∞
00
-> il faut lever l'indétermination
Méthode
Factoriserpar le terme dominant
(plus haut degré, en haut ET en bas)
repérer la F.I. au brouillonAVANT de rédiger
II — Limites : applications
Application 1 — limites par somme, produit ou quotient (a → e)
Application 1 — somme, produit, quotient
déterminer lim (n → +∞)
a) b) c)
a)uₙ = n² + 1√n
lim n²=+∞ , lim 1√n=0 -> +∞
b)uₙ = −n³ − 5√n -> −∞
c)uₙ = n² − n (F.I. ∞−∞)
= n²(1 − 1n) -> +∞
d) e)
d)uₙ = (1√n + 1)(n² + 3) -> +∞
e)uₙ = 2−3n² + 1 -> 0
Application 2 — savoir lever une indétermination (a → f)
Application 2 — lever une indétermination
3 astuces : n = (√n)² · e2n = (eⁿ)² · 0×∞ -> développer
a) b) c)
a)n − 3√n (∞−∞)
| uₙ | = | (√n)² − 3√n |
| = | √n(√n − 3) |
-> +∞
b)e2n − eⁿ = eⁿ(eⁿ − 1) -> +∞
c)(1n)(n² + 1) = n + 1n -> +∞
d) e) f) (quotients ∞/∞)
d)uₙ = 5n² + 44n² + 3n
| uₙ | = | n²(5 + 4n²)n²(4 + 3n) |
| = | 5 + 4n²4 + 3n |
-> 54
e)3n² + nn + 3 -> +∞
f)(e3n − 4)/(e2n − 1) -> +∞
IV — Algorithmes
IV — Algorithmes et suites : seuil et listes (Python)
IV — Algorithme de seuil
u₀ = 3 ; uₙ₊₁ = 2uₙ + 1
plus petit n tel que uₙ > A
Python
On continuetant que u ≤ A :
n ← n+1 ; u ← 2u + 1
Piègewhile u <= A (dépassement strict)
Résultats (vérifiés)
seuil(1000) = 8
seuil(10⁶) = 18
seuil(10⁹) = 28
-> conjecture : lim uₙ = +∞
tout seuil est dépassé = définition de +∞
Bilan
Formulaire récapitulatif de la Séquence 03
📋 Formulaire — Récurrence
On pose Pₙ -> Initialisation -> Hérédité -> Conclusion
init ET hérédité indispensables (aucune ne suffit)
inégalité -> fonction croissante justifiée
somme géo : 1+q+⋯+qⁿ = (1 − qn+1)/(1 − q) (q ≠ 1)
Bernoulli : (1+a)ⁿ ≥ 1 + na (a > 0)
📋 Formulaire — Limites
lim uₙ = ℓ (unique) · ±∞ · OU pas de limite ((−1)ⁿ)
usuelles : 1√n , 1nᵏ , 1eⁿ -> 0
√n , nᵏ , eⁿ , ln n -> +∞
4 F.I. : ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 00
lever : FACTORISER (terme dominant)
Pièges à éviter + questions de Grand Oral
⚠️ Les pièges à éviter
① récurrence sans init (n²≥2ⁿ mais 5²<2⁵)
② oublier d'annoter l'hérédité
③ somme géo : init à n=1 et q ≠ 1
④ Bernoulli : justifier ×(1+a)>0
⑤ diverger ≠ tendre vers ∞ ((−1)ⁿ)
⑥ conclure « par somme » sur ∞−∞ = FAUX
⑦ quotient : factoriser haut ET bas
⑧ Python : while u <= A · range(0, k+1)
🎤 Grand Oral
« Pourquoi la récurrence est un axiome ? »
axiome de Peano qui DÉFINIT ℕ (escalier / dominos)
« Une somme infinie peut-elle être finie ? »
série géométrique 11−q : 0,999… = 1 !