Mathématiques · Terminale générale
Séquence 02
Équations différentielles (1) et Primitives
Livret de cours
Cours · méthodes · exemples corrigés
🖋
Séquence 02 — Équations différentielles (1) et PrimitivesSpé Maths · Terminale
Introduction

Séquence 02 — Équations différentielles (1) et Primitives (1)

🎯 Séquence 02 — au programme
Éq. différentielles
reconnaître une solution
résoudre y′=ay , y′=ay+b , y′=ay+f
Primitives
reconnaître et calculer
avec une condition
🧠 Les 3 réflexes de la prof
① annoncer la dérivabilité
(somme / produit / quotient)
② dériver avec les connecteurs :
On a, Ainsi, De plus, Or, D'où, Donc
③ conclure + encadrer le résultat
App p.1 — Reconnaître une solution

Application p.1 — 1°) L'équation (E) : y′ − x y² = 0

App p.1 — 1°) (E) : y′ − x y² = 0
Montrerque f est solution
f(x) = −2x²+3
Reconnaître une solution
Dérivablesur ℝ (quotient, dénom. ≠ 0)
On dérive:
f′(x)=−2 · (−2x(x²+3)²)
=4x(x²+3)²
On calculey′ − x y² :
y′ − x y²=4x(x²+3)² − x · 4(x²+3)²
=0
-> y′ − x y² = 0 ✓
Doncf est solution

Application p.1 — 2°) y′ + 2y = 4 : deux solutions f et g

App p.1 — 2°) (E) : y′ + 2y = 4
Montrerque f et g sont solutions
f(x) = e−2x + 2
g(x) = e−2x+1 + 2
a) f est solution
Dérivablesur ℝ (somme)
f′(x) = −2 e−2x
On calculey′ + 2y :
y′ + 2y=f′ + 2f
=−2e−2x + 2(e−2x + 2)
=−2e−2x + 2e−2x + 4
=4
-> y′ + 2y = 4 ✓
b) g est solution
g′(x) = −2 e−2x+1
y′ + 2y=g′ + 2g
=−2e−2x+1 + 2(e−2x+1 + 2)
=4
-> y′ + 2y = 4 ✓
Remarque
une éq. diff. a une infinité de solutions
ici f ≠ g : deux solutions de la même équation

Application p.1 — 3°) y′ = 2xy + 4x

App p.1 — 3°) (E) : y′ = 2xy + 4x
Montrerque y est solution
y(x) = −3 ex² − 2
Dériver une composée eu
Dérivablesur ℝ (somme)
y′(x)=−3 · (x²)′ ex²
=−3 · 2x ex²
=−6x ex²
On calcule2xy + 4x :
2xy + 4x=2x(−3ex² − 2) + 4x
=−6x ex² − 4x + 4x
=−6x ex²
-> 2xy + 4x = y′ ✓
Réflexe(eu)′ = u′ · eu

Application p.1 — 4°) Ordre 2 : y″ − 2x y′ − 2y + 4x = 0

App p.1 — 4°) Ordre 2
(E) : y″ − 2x y′ − 2y + 4x = 0
Montrer∀C : f(x) = C ex² + x solution
Dériver deux fois
f′(x) = 2Cx ex² + 1
f″(x) = 2C ex² + 4Cx² ex²
Regrouper par familles
On remplacedans y″ − 2xy′ − 2y + 4x :
(2C ex² − 2C ex²) = 0
(4Cx² ex² − 4Cx² ex²) = 0
(−2x − 2x + 4x) = 0
-> y″ − 2xy′ − 2y + 4x = 0 ✓
Donc∀C∈ℝ, f est solution
App p.2 — Reconnaître une primitive

Application p.2 — 1°) F est-elle une primitive de f ?

App p.2 — 1°) F est-elle une primitive de f ?
RègleF primitive ⟺ F′ = f
on dérive F (jamais on intègre)
a) et b) — NON
a)F = 5x² − x
F′ = 10x − 1 ≠ 5x − 1
-> NON
b)G = x³3 − x²2 + 6x
G′ = x² − x + 6 ≠ x² − 5x + 6
-> NON
c) — OUI
c1)H = at²2
H′ = at = h -> OUI
c2)H = 1x = x−1
H′ = −1x² = h -> OUI

Application p.2 — 2°) F et G, primitives d'une même fonction

App p.2 — 2°) F et G : primitives d'une même f
F(x) = 5x²−7x+93x−1
G(x) = 5x²−16x+123x−1
sur ]13 ; +∞[
Dériver F (quotient)
u = 5x²−7x+9 · v = 3x−1
Formule(uv)′ = u′v − u v′v²
F′=(10x−7)(3x−1) − 3(5x²−7x+9)(3x−1)²
=30x²−31x+7 − (15x²−21x+27)(3x−1)²
=15x²−10x−20(3x−1)²
Conclusion
OrF′ = G′ (même calcul pour G)
-> F et G primitives de la même f
f(x) = 15x²−10x−20(3x−1)²
Vérif:
G − F=−9x+33x−1
=−33x−13x−1
=−3
-> diffèrent d'une constante ✓
App p.3 — Méthode & condition

Application p.3 — Exemple « méthode » : f(x) = 2x + 3

App p.3 — Méthode en 3 temps
f(x) = 2x + 3
a) vérifier G = x²+3x
b) toutes les primitives
c) F telle que F(−1) = 0
① vérifier
G′ = 2x + 3 = f
-> G est une primitive
② + C · ③ condition
b)primitives : x²+3x+C , C∈ℝ
c)F(−1)=0 :
F(−1)=1 − 3 + C
=0
-> C = 2
-> F(x) = x²+3x+2

Application p.3 — 1°) Les primitives de f(x) = x eˣ

App p.3 — 1°) Primitives de f(x) = x ex
S'appuyer surg(x) = (x−1) ex
Vérifier g puis + C
g′(x)=ex + (x−1) ex
=ex(1 + x − 1)
=x ex
-> g′ = f ✓
Doncprimitives :
-> (x−1) ex + C , C∈ℝ

Application p.3 — 2°) g(x) = 5 ln x + 2x et la condition G(e) = 0

App p.3 — 2°) g(x) = 5 ln x + 2x
a) vérifier f = 5(x ln x − x) + x²
b) la primitive G qui s'annule en e
a) Dérivée clé (x ln x)′ = ln x + 1
f′(x)=5[(ln x + 1) − 1] + 2x
=5 ln x + 2x
=g
-> f est une primitive ✓
b) condition G(e) = 0
G(x) = 5(x ln x − x) + x² + C
G(e)=5(e − e) + e² + C
=e² + C
=0
-> C = −e²
-> G(x) = 5(x ln x − x) + x² − e²
App p.4 — Calcul de primitives

Application p.4 — 1°) Polynômes et puissances

App p.4 — 1°) Polynômes & puissances
Règlexn ⟼ xn+1/(n+1)
même n négatif (n ≠ −1)
a)
f = x³ − 2x
-> F(x) = x⁴4 − x²
b)
f = 3x² − 3x³ = 3x² − 3x−3
F=3·(x³3) − 3·(x−2/(−2))
=x³ + (32)x−2
=x³ + 32x²
-> F(x) = x³ + 32x²

Application p.4 — 2°) Avec ln x, √x et eˣ

App p.4 — 2°) Avec ln x, √x et ex
Usuelles1x ⟼ ln x · 1√x ⟼ 2√x
a)
f = 3x − 1x⁴ − 2ex
-> F = 3 ln x + 13x³ − 2ex
b)
f = −1√x + 2x² + 5
-> F = −2√x − 2x + 5x

Application p.4 — 3°) f(x) = 1/x − 5x² et la condition F(e) = 1

App p.4 — 3°) f = 1/x − 5x²
a) vérifier h = ln x − (53)x³
b) F telle que F(e) = 1
a)
h′ = 1x − 5x² = f ✓
b) condition F(e) = 1
F(x) = ln x − (53)x³ + C
F(e)=1 − (53)e³ + C
=1
-> C = (53)e³
-> F(x) = ln x − (53)x³ + (53)e³

Application p.4 — 4°) Chercher g dont f est UNE PRIMITIVE

App p.4 — 4°) Chercher g dont f est UNE primitive
f(x) = 4 ex² − 1x
attention au sens !
f primitive de g ⟺ g = f′
On DÉRIVE f:
g=f′
=4 · 2x ex² − (−1x²)
=8x ex² + 1x²
-> g(x) = 8x ex² + 1x²
Pièges(ex²)′ = 2x ex² · −(−1x²) = +1x²

Application p.4 — 5°) (E) : y′ = 3x² − 1/x² avec F(−1) = 0

App p.4 — 5°) (E) : y′ = 3x² − 1/x²
résoudre, puis F telle que F(−1) = 0
Primitiver sur ]−∞ ; 0[
intervallesans 0 (car condition en −1)
F(x) = x³ + 1x + C
F(−1)=−1 − 1 + C
=0
-> C = 2
-> F(x) = x³ + 1x + 2

Application p.4 — 6°) Sens de variation d'une primitive (tableau)

App p.4 — 6°) Sens de variation d'une primitive
f(x) = 2x ln x − 3x² ln x
idéeF′ = f -> variations de F = signe de f
Factoriser puis tableau
f(x) = x ln x (2 − 3x) , x>0
]023[]231[]1+∞[
x+++
ln x−−+
2−3x+−−
f=F′−+−
F↘↗↘
-> F ↘ ]0;23] , ↗ [23;1] , ↘ [1;+∞[
min en 23 , max en 1
App p.5 — y′ = ay

Application p.5 — 1°) et 2°) Résolution de y′ = ay

App p.5 — Résolution de y′ = ay
Coursy′ = ay -> x ⟼ C eax , C∈ℝ
1°)
y′ = 2y (a = 2)
-> x ⟼ C e2x
2°) condition f(0) = 2
y′ − 7y = 0 -> y′ = 7y (a = 7)
f = C e7x
f(0)=C e⁰
=C
=2
-> f(x) = 2 e7x

Application p.5 — 3°) et 4°) 2y′ = −5y · désintégration radioactive

App p.5 — 3°) et 4°)
Formey′ = ay
3°)
2y′ = −5y -> y′ = −(52)y
-> x ⟼ C e−(5/2)x
4°) désintégration radioactive
dNdt + λN = 0 -> N′ = −λN (a = −λ)
N = C e−λt
N(0)=C
=N₀
-> N(t) = N₀ e−λt
pont PHYSIQUEdécroissance radioactive
App p.6 — y′ = ay + b

Application p.6 — 1°) y′ = 3y − 2 avec f(0) = 2

App p.6 — 1°) y′ = 3y − 2
condition f(0) = 2
Coursy′ = ay+b -> C eax − ba
a = 3 , b = −2
−ba = +23
f = C e3x + 23
f(0)=C + 23
=2
-> C = 43
-> f(x) = (43) e3x + 23

Application p.6 — 2°) 4y′ − 3y = −2 avec y(−1) = 2

App p.6 — 2°) 4y′ − 3y = −2
condition y(−1) = 2
forme résoluey′ = (34)y − 12
a = 3/4 , b = −1/2
−ba=1234
=(12)·(43)
=23
y = C e(3/4)x + 23
y(−1)=C e−3/4 + 23
=2
-> C e−3/4 = 43
-> C = (43) e3/4
-> y(x) = (43) e(3/4)(x+1) + 23

Application p.6 — 3°) (1/3)y′ − (2/5)y = 1/2 : la démonstration complète

App p.6 — 3°) (1/3)y′ − (2/5)y = 1/2
×3-> (E) : y′ = (65)y + 32
a = 65 , b = 32
a) solution particulière constante
g = k : 0 = (65)k + 32
k=−(32)·(56)
=−54
-> g = −54
b) structure
(f − g)′ = (65)(f − g)
-> f − g solution de (E′) : y′ = (65)y
-> f(x) = C e(6/5)x − 54
c) condition f(−1) = 2
f(−1)=C e−6/5 − 54
=2
-> C e−6/5 = 134
-> C = (134) e6/5
-> f(x) = (134) e(6/5)(x+1) − 54

Application p.6 — Variante : condition sur la TANGENTE

App p.6 — Variante : tangente
coeff. directeur −1 en x = 5
-> f′(5) = −1
condition sur f′
f(x) = C e(6/5)x − 54
f′(x) = C · (65) e(6/5)x
f′(5)=C · (65) e⁶
=−1
-> C = −(56) e−6
-> f(x) = −(56) e(6/5)x − 6 − 54
App p.7 — y′ = ay + f

Application p.7 — 1°) y′ = y + x − 3 (méthode guidée)

App p.7 — 1°) y′ = y + x − 3
second membre variable
méthode : particulière g + homogène (H) : y′ = y
a) vérifier g = −x + 2
g′ = −1
y + x − 3=(−x+2) + x − 3
=−1
=g′
-> g solution particulière ✓
b) et c)
(f − g)′ = f − g -> f − g solution de (H)
(H) -> x ⟼ C ex
-> f(x) = −x + 2 + C ex , C∈ℝ

Application p.7 — 2°) 2y′ + 3y = 6x + 1 (solution affine)

App p.7 — 2°) 2y′ + 3y = 6x + 1
solution particulière affine g = ax + b
Identification
2a + 3(ax+b) = 6x + 1
-> 3ax + (2a+3b) = 6x + 1
système3a=6 et 2a+3b=1
-> a = 2 , b = −1
-> g(x) = 2x − 1
Solution générale
(H) : y′ = −(32)y
-> f(x) = 2x − 1 + C e−(3/2)x

Application p.7 — 3°) y′ − 2y = x² (solution polynomiale)

App p.7 — 3°) y′ − 2y = x²
solution particulière de degré 2 : g = ax²+bx+c
Identification
g′ − 2g = −2ax² + (2a−2b)x + (b−2c) = x²
système−2a=1 , 2a−2b=0 , b−2c=0
-> a = −12 , b = −12 , c = −14
Solution générale
(H) : y′ = 2y
-> f(x) = −x²2 − x2 − 14 + C e2x
Type Bac

Type Bac (Polynésie) — équation y′ = −y + e⁻ˣ

Type Bac (Polynésie) y′ = −y + e−x
a) g = x e−x particulière
b) résoudre · c) f(0) = 2
a)
g′(x)=e−x − x e−x
=e−x(1 − x)
−y + e−x=−x e−x + e−x
=e−x(1 − x)
=g′
-> g solution particulière ✓
b) et c)
(H) : y′ = −y -> C e−x
-> f(x) = (x + C) e−x
c)f(0) = C = 2
-> f(x) = (x + 2) e−x

Type Bac (Métropole) — y′ = y + 2x eˣ : résolution, variations, convexité

Type Bac (Métropole) y′ = y + 2x ex
a) u = x² ex particulière + résoudre
b) variations + convexité de u
a) résolution
u′=2x ex + x² ex
=ex(x² + 2x)
-> u′ = y + 2x ex ✓
(H) : y′ = y
-> f(x) = (x² + C) ex
b) variations
u′ = x(x+2) ex (ex>0)
x−∞−20+∞
u′+0−0+
u↗4e−2↘0↗
b) convexité
u″ = ex(x² + 4x + 2)
Δ = 8 -> racines −2 ± √2
-> u concave sur ]−2−√2 ; −2+√2[
convexe ailleurs · 2 points d'inflexion
Bilan

Formulaire récapitulatif de la Séquence 02

📋 Formulaire — Primitives
F primitive ⟺ F′ = f (se vérifie EN DÉRIVANT)
deux primitives diffèrent d'une constante
xn ⟼ xn+1/(n+1) (n ≠ −1)
1x ⟼ ln x · 1√x ⟼ 2√x · ex ⟼ ex
1x² ⟼ −1x · ln x ⟼ x ln x − x
📋 Formulaire — Équations différentielles
y′ = ay -> y = C eax
y′ = ay + b -> y = C eax − ba
attention au signe de b
y′ = ay + f -> y = g + C eax
g particulière ; démo (f−g)′ = a(f−g)

Pièges à éviter + questions de Grand Oral

⚠️ Les pièges à éviter
① toujours justifier la dérivabilité
② « f primitive de g » -> g = f′ (on DÉRIVE)
③ (eu)′ = u′ eu
④ « toutes les primitives » -> + C
⑤ xn avec n<0 : −3+1 = −2, on ÷ par −2
⑥ résoudre y′=f sur un intervalle sans 0
⑦ −ba : le signe de b se lit DANS l'équation
⑧ « tangente coeff m en x₀ » -> f′(x₀) = m
🎤 Grand Oral
« Pourquoi une infinité de solutions ? »
chaque solution porte C
la condition initiale la rend unique
« À quoi ça sert ? »
N′ = −λN (radioactivité), condensateur, refroidissement