Entraînement PC Chap19 (propre)

Chap 19 — La mécanique des fluides

Idéeétudier les liquides et les gaz, au repos (flottaison) comme en mouvement (écoulement)

Feuille de route

① décrire un fluide (ρ, incompressible) ② poussée d'Archimède (flottaison) ③ débit volumique & sa conservation ④ énergie & relation de Bernoulli ⑤ effet Venturi

Idée clé

un fluide porte une énergie · au repos Archimède · en mouvement Bernoulli (p + ½ρv² + ρgz se conserve)

I — Décrire un fluide

fluide (liquide ou gaz) = milieu qui se déforme et s'écoule facilement

on le caractérise par sa masse volumique ρ = masse ÷ volume :

ρ = mV (ρ en kg·m⁻³ · eau : ρ = 1000 kg·m⁻³)

incompressible : ρ constant (cas des liquides, volume inchangé sous la pression)

régime permanent : en chaque point, v et p constants dans le temps

Mémo

ρ_eau = 1000 kg·m⁻³ = 1 kg·L⁻¹ · un liquide est incompressible : son volume ne varie quasi pas

App 1 — Calculer une masse volumique

1) huileV = 250 mL = 2,50×10⁻⁴ m³, m = 230 g = 0,230 kg : ρ = mV = 0,2302,50×10⁻⁴ = 9,2×10² kg·m⁻³

920 < 1000 l'huile flotte sur l'eau

2) cubearête 10 cm V = 0,10³ = 1×10⁻³ m³, m = 0,80 kg : ρ = 0,801×10⁻³ = 8×10² kg·m⁻³ (< eau)

II — La poussée d'Archimède

tout corps immergé subit une force verticale, dirigée vers le haut : la poussée d'Archimède π_A

= poids du fluide déplacé :

π_A = ρ_fluide · V_imm · g (π_A en N · V_imm = volume immergé · g = 9,81 N·kg⁻¹)

vecteur vertical vers le haut, appliqué au centre de poussée

équilibre de flottaison : le poids compense la poussée P = π_A

Mémo

flotte si ρ_corps < ρ_fluide · à l'équilibre le poids compense exactement la poussée

App 2 — Origine & calcul de la poussée

1) originela pression augmente avec la profondeur la force sur la face du dessous (plus profonde) > celle du dessus résultante vers le haut = la poussée

2) calculobjet V = 2 L = 2×10⁻³ m³ immergé dans l'eau :

π_A = ρ_eau·V·g = 1000 × 2×10⁻³ × 9,81 = 19,6 N ≈ 20 N (vers le haut)

App 3 — Volume ou masse volumique via la poussée

1) volumeπ_A = 0,75 N dans l'eau : V = π_Aρ_eau·g = 0,751000 × 9,81 = 7,6×10⁻⁵ m³ (= 76 cm³)

2) glaçonfraction immergée = 0,92 : à l'équilibre P = π_A ρ_glace = ρ_eau × 0,92 = 9,2×10² kg·m⁻³

iceberg : ρ_glace < 1000 flotte, mais 92 % immergé, seule la pointe émerge

III — Débit volumique & sa conservation

débit volumique D_V = volume traversant une section par unité de temps :

D_V = VΔt = S · v (D_V en m³·s⁻¹ · S = section · v = vitesse)

conservation (fluide incompressible) : D_V identique dans toute la canalisation

S_A · v_A = S_B · v_B

Mémo

section ↓ vitesse ↑ : le fluide accélère dans un rétrécissement (tuyau d'arrosage pincé)

App 4 — Débit, vitesse, volume écoulé

1) débitV = 30 m³ en 3 h = 1,08×10⁴ s : D_V = 301,08×10⁴ = 2,8×10⁻³ m³·s⁻¹

2) vitesseD_V = 2,8×10⁻³, ø = 5 cm S = π·r² = π×(2,5×10⁻²)² = 2,0×10⁻³ m² : v = D_VS = 1,4 m·s⁻¹

3) volumeD_V = 12 L·min⁻¹ pendant 15 s = 0,25 min : V = D_V·Δt = 12 × 0,25 = 3,0 L

App 5 — Exploiter la conservation du débit

canalisation : S_A = 20 cm² (v_A = 1,5 m·s⁻¹) S_B = 5 cm² · calculer v_B

conservation : S_A·v_A = S_B·v_B v_B = S_A·v_AS_B = 20 × 1,55 = 6,0 m·s⁻¹

section ÷4 vitesse ×4

IV — L'énergie d'un fluide en écoulement

un fluide en mouvement porte une énergie mécanique par unité de volume E_Mv (en J·m⁻³), somme de 3 termes :

E_Mv = p + ½·ρ·v² + ρ·g·z

p = énergie de pression

½ρv² = terme cinétique (vitesse v)

ρgz = terme potentiel (altitude z)

Mémo

chaque terme est une énergie par m³ (J·m⁻³) · analogue de E_m = E_c + E_p, mais par unité de volume

IV — La relation de Bernoulli

fluide parfait, incompressible, régime permanent : E_Mv se conserve le long d'une ligne de courant :

p_A + ½ρv_A² + ρg·z_A = p_B + ½ρv_B² + ρg·z_B

méthode① repérer A et B sur la ligne de courant ② simplifier (mêmes altitudes ? mêmes pressions ?) ③ isoler l'inconnue

Mémo

loi centrale du chapitre · à z égal : v ↑ p ↓ · à v égal : z ↑ p ↓

App 6 — Pression d'alimentation d'une maison

A (rue) : z_A = 0,10 m, v_A = 1,4 m·s⁻¹ · B (maison) : z_B = 2,2 m, v_B = 0,80 m·s⁻¹, p_B = 6 bar = 6×10⁵ Pa

Bernoulli : p_A = p_B + ½ρ(v_B² − v_A²) + ρg(z_B − z_A)

p_A = 6×10⁵ + ½×1000×(0,80² − 1,4²) + 1000×9,81×(2,2 − 0,10) = 6,2×10⁵ Pa (= 6,2 bar)

App 7 — Torricelli & altitude

1) Torricelliorifice à h = 3 m sous la surface : Bernoulli surface↔orifice (les p_atm se simplifient) ½ρv_B² = ρg·h

v = √(2·g·h) = √(2 × 9,81 × 3) = 7,7 m·s⁻¹

2) altitudeE_Mv = 1,50×10⁵, p = 1,30×10⁵ Pa, v = 1,2 m·s⁻¹ : z = E_Mv − p − ½ρv²ρg = 2,0 m

Mémo — Torricelli

v = √(2·g·h) : la vitesse de sortie ne dépend que de la hauteur h, exactement comme une chute libre

V — L'effet Venturi

dans un étranglement (section réduite d'une canalisation horizontale) : la vitesse augmente et la pression chute

combinaison des deux lois précédentes :

conservation du débit : S ↓ v ↑

Bernoulli horizontal : v ↑ p ↓

Mémo

un rétrécissement accélère le fluide (débit) et le dépressurise (Bernoulli) dépression au col

App 8 — Baisse de pression dans un étranglement

écoulement horizontal : v_A = 1,5 m·s⁻¹, p_A = 1,2×10⁵ Pa · étranglement : v_B = 9,4 m·s⁻¹ · calculer p_B

horizontal (z_A = z_B) p_A + ½ρv_A² = p_B + ½ρv_B²

p_B = p_A + ½ρ(v_A² − v_B²) = 1,2×10⁵ + ½×1000×(1,5² − 9,4²) = 7,7×10⁴ Pa

la pression chute fortement : 1,2×10⁵ 7,7×10⁴ Pa

App 9 — Venturi en pratique : trompe à eau & sténose

1) trompe à eauau col p ≈ 7,7×10⁴ Pa < p_atm ≈ 1×10⁵ Pa dépression l'air extérieur est aspiré

2) sténose aortique(Doppler) sang v : 1 4,2 m·s⁻¹, ρ_sang = 1050 kg·m⁻³ :

Δp = ½ρ_sang(v_B² − v_A²) = ½×1050×(4,2² − 1²) = 8,7×10³ Pa

c'est cette chute de pression au rétrécissement que mesure le Doppler

Formulaire — tout le chapitre 19

① masse volumique : ρ = mV · flotte si ρ_corps < ρ_fluide

② Archimède : π_A = ρ_fluide·V_imm·g (vers le haut)

③ débit : D_V = S·v · conservation S_Av_A = S_Bv_B

④ Bernoulli : p + ½ρv² + ρgz = cste · Torricelli v = √(2gh)

⑤ Venturi : section ↓ v ↑ p ↓

🎤 Grand Oral

portance d'une aile ?effet Bernoulli : air plus rapide au-dessus dépression portance

sténose au Doppler ?effet Venturi : rétrécissement v ↑, p ↓ Δp mesurable

bateau en acier qui flotte ?Archimède : son volume déplace assez d'eau (ρ_moyen < eau)

débitmètre Venturi ?mesurer la chute de pression au col en déduire le débit