Entraînement PC Chap13 (propre)

Chap 13 — Dynamique d'un système électrique

Idéeà la fermeture d'un interrupteur, la tension évolue dans le temps (régime transitoire) : le condensateur impose ce régime

Feuille de route

① intensité i = dqdt ② condensateur q = C·u_C ③ circuit RC (équa. diff, charge & décharge) ④ τ = RC + énergie ⑤ capteurs capacitifs

Idée clé

la tension aux bornes d'un condensateur est continue (jamais de saut) · régime permanent après ≈ 5τ

I — L'intensité en régime variable

en régime variable, i = débit de charges = dérivée de q :

i(t) = dqdt (i en A · q en C · t en s)

i algébrique (signe selon la convention) · convention récepteur : flèches u_C et i opposées

Mémo

i = pente de q(t) · régime permanent (q constante) i = 0 (le condensateur ne laisse plus passer)

II — Le condensateur & le comportement capacitif

= 2 armatures conductrices séparées par un isolant · accumule +q et −q

comportement capacitif : u_C ne varie pas brutalement elle est continue

le condensateur s'oppose aux variations de tension

Mémo

un condensateur = un réservoir de charges · début de charge : vide (u_C = 0) · fin : plein (u_C = E)

II — La capacité : q = C·u_C

C = aptitude à stocker des charges sous une tension :

q = C · u_C (q en C · C en farads F · u_C en V)

en dérivant (C constante) : i = dqdt = C · du_Cdt

Mémo

le farad est énorme on utilise le µF (10⁻⁶) ou le nF (10⁻⁹) · C grand stocke + de charges

III — Le circuit RC série

associe un conducteur ohmique R et un condensateur C, alimentés par E via un interrupteur

charge : interrupteur sur le générateur C se remplit (u_C : 0 E)

décharge : interrupteur sur R seul C se vide (u_C : u₀ 0)

Mémo

R freine le courant la charge / décharge prend du temps (sans R, ce serait instantané)

III — L'équation différentielle

loi des mailles (charge) : E = u_R + u_C, avec u_R = R·i et i = C·du_Cdt :

E = RC·du_Cdt + u_C (1er ordre, charge)

décharge (E = 0) : RC·du_Cdt + u_C = 0 (homogène)

Mémo

même équation, seul le second membre change (E en charge, 0 en décharge) · le produit RC = temps caractéristique

III — Résoudre : l'expression de u_C(t)

solutions (u_C continue) :

charge : u_C(t) = E·(1 − e^−t/RC) (de 0 vers E)

décharge : u_C(t) = u₀·e^−t/RC (de u₀ vers 0)

Mémo

vérifier : à t = 0 charge u_C = 0 ✓ · t ∞ charge u_C = E ✓ · « 1−exp » monte, « exp » descend

App 5 — Exploiter u_C(t)

charge E = 6,0 V, τ = RC = 0,30 s : u_C(t) = 6,0·(1 − e^−t/0,30)

à t = τ : u_C = 6,0(1 − e⁻¹) = 6,0 × 0,632 = 3,8 V (63 % de E)

à t = 2τ : u_C = 6,0(1 − e⁻²) = 5,2 V (86 %)

décharge à t = τ : u_C = 6,0·e⁻¹ = 2,2 V (37 %)

3,8 + 2,2 = 6,0 = E : courbes complémentaires

III — Le temps caractéristique τ = RC

τ = R · C (en s · [R]·[C] = V·A⁻¹ × A·s·V⁻¹ = s ✓)

charge : à t = τ, u_C = 0,63 E (63 %)

décharge : à t = τ, u_C = 0,37 u₀ (37 %)

quasi complètes à 5τ (≈ 99 %)

Exemple · Mémo

R = 12 kΩ, C = 25 µF τ = 12×10³ × 25×10⁻⁶ = 0,30 s · 5τ = 1,5 s

+ RC grand charge + lente · τ se lit à 63 % (charge) ou 37 % (décharge)

III — Énergie emmagasinée + App. 6

E_e = 12·C·u_C² (J · restituée à la décharge)

défibR = 10 kΩ, C = 1,5 µF : τ = RC = 15 ms · charge totale à 5τ = 75 ms

flashC = 470 µF, u_C = 5,5 V :

E_e	=	12 × 470×10⁻⁶ × 5,5²
	=	7,1×10⁻³ J

Mémo

R ×2 τ ×2 · C ÷2 τ ÷2 (τ = RC) · E ∝ u_C² : doubler u_C ×4 l'énergie

III — Déterminer τ graphiquement

méthode 1 (valeur particulière): calculer 0,63 E (charge) ou 0,37 u₀ (décharge), lire l'abscisse = τ

méthode 2 (tangente à l'origine): la tangente en t = 0 coupe l'asymptote (u_C = E) à t = τ

Mémo

la tangente à l'origine « pointe » vers τ sur l'asymptote (rapide et fiable)

App 7 — Lectures graphiques de τ

charge (E = 5,0 V): τ pour u_C = 0,63 × 5,0 = 3,2 V atteint à t = 0,20 s τ = 0,20 s

décharge (u₀ = 6,0 V): τ pour u_C = 0,37 × 6,0 = 2,2 V atteint à t = 0,10 s τ = 0,10 s

la tangente à l'origine coupe l'asymptote à t = τ exactement

IV — Les capteurs capacitifs

la capacité C dépend de la géométrie et du milieu : toute variation modifie C, donc le signal

📱 écran tactile : le doigt modifie la capacité locale position

💧 humidité / niveau : le diélectrique change avec l'eau

📏 proximité / pression : la distance entre armatures varie C varie

Mémo

mesurer C (via τ = RC ou une fréquence) = mesurer une grandeur physique le condensateur devient un capteur

Formulaire — tout le chapitre 13

① intensité : i = dqdt · condensateur : q = C·u_C, i = C·du_Cdt

② équa. diff (charge) : RC·du_Cdt + u_C = E

③ charge : u_C = E(1 − e^−t/RC) · décharge : u_C = u₀·e^−t/RC

④ temps caractéristique : τ = RC (63 % à τ, 99 % à 5τ)

⑤ énergie : E_e = 12·C·u_C²

⚠ Les pièges à éviter

u_C est continue : jamais de saut (à t = 0, garde sa valeur d'avant)

63 % / 37 % : charge 63 % à τ · décharge 37 % à τ (ne pas inverser)

unités : R en Ω, C en F pour τ en s (⚠ les kΩ et µF !)

régime permanent : i = 0 (condensateur « plein »)

énergie ∝ u_C² (pas u_C) : doubler la tension quadruple l'énergie

🎤 Grand Oral

défibrillateur ?énergie contrôlée E_e = ½C·u² libérée via RC

écran tactile capacitif ?le doigt modifie C détection de position

flash a besoin d'un condensateur ?décharge rapide = grande puissance instantanée

RC comme filtre ?passe-bas / passe-haut (audio, antiparasite)