Entraînement PC Chap05 (propre)

Chap 5 — Mouvement dans un champ uniforme

Idéeon connaît les forces on trouve le mouvement (clé = 2ᵉ loi de Newton)

appliquée à 2 champs uniformes : pesanteur (projectile) et électrique (particule chargée)

Feuille de route

① 2ᵉ loi (ΣF = m·a) ② champ de pesanteur (projectile) ③ particule chargée ④ énergie (travail, TEC, E_m)

Convention

repère (O ; i , j), axe vertical vers le HAUT (sauf mention) · g = 9,81 N·kg⁻¹

I.1 — Le bilan des forces

TOUJOURS commencer par le bilan des forces extérieures sur G :

poids P = m·g (vertical, bas)

frottements f (opposés au mouvement, souvent négligés)

réaction R (⊥ au support sans frottement) · force appliquée F, F_e…

Réflexe

support horizontal sans frottement : P et R se compensent reste la force motrice

I.2 — La deuxième loi de Newton

ΣF_ext = m·a_G ⟹ a_G = ΣF_extm

réf. galiléen · a en m·s⁻² · m en kg · F en N

ΣF et a colinéaires et de même sens

Lien 1ʳᵉ loi (inertie)

si ΣF_ext = 0 a = 0 G immobile ou rectiligne uniforme (et réciproquement)

Ex — appliquer la 2ᵉ loi de Newton

mobile m = 0,50 kg tiré par F = 2,0 N horizontale (table à coussin d'air, sans frottement)

P et R (verticales) se compensent ΣF_ext = F

m·a_G = F

a	=	Fm
	=	2,00,50
	=	4,0 m·s⁻²

horizontale, dans le sens de F

App 1 — Appliquer la 2ᵉ loi de Newton

1) grêlon(poids seul) : m·a = P = m·g a = g chute libre, a = 9,81 m·s⁻² (bas)

2) palet curlingrectiligne mais v diminue forces NE se compensent PAS (frottements)

a colinéaire, sens opposé au mouvement

3) voiturev = 14 m·s⁻¹ en Δt = 8,0 s (m = 1,1×10³ kg)

a	=	ΔvΔt
	=	148,0
	=	1,8 m·s⁻²

ΣF	=	m·a
	=	1,1×10³ × 1,75
	=	1,9×10³ N (sens du mouvement)

II.1 — Champ de pesanteur & chute libre

champ g uniforme : même direction (verticale), sens (bas), valeur (g = 9,81 N·kg⁻¹)

corps soumis à son seul poids P = m·g chute libre

démo : m·g = m·a a = g

Mémo capital

l'accélération de chute libre est indépendante de la masse : tous tombent pareil

II.2 — Équations horaires (2 intégrations)

repère (O ; i , j), j vers le haut, v₀ à l'angle α :

① a : chute libre a_x = 0 · a_y = −g

② v (intégrer) : v_x = v₀·cosα · v_y = −g·t + v₀·sinα

③ OG (intégrer) : x = v₀·cosα·t · y = −g·t²2 + v₀·sinα·t + h

🔑 Primitives · plan

(0) K · (C) C·t+K · (B·t) B·t²2+K · chaque constante = 1 condition initiale

v₀ et g dans un plan mouvement plan (on se ramène à 2D)

Ex — équations horaires d'un lancer

ballon lancé de (x₀=0 ; y₀=h), v₀ à l'angle α, chute libre

a : a_x = 0 · a_y = −g

v : v_x = v₀·cosα · v_y = −g·t + v₀·sinα

OG : x = v₀·cosα·t · y = −g·t²2 + v₀·sinα·t + h

v₀ et g dans (xOy), a_z = 0 mouvement plan (vertical)

App 2 — Équations horaires & mouvement plan

1) handball(x₀=0 ; y₀=h=2,3), v₀ angle α : a_x=0, a_y=−g plan

v_x = v₀·cosα (cte) horizontale : rectiligne uniforme

v_y = −g·t + v₀·sinα (affine) verticale : rectiligne unif. varié

2) bille lâchéeH = 12 m, sans vitesse, axe vers le bas a_y = +g

v_y = g·t · y = g·t²2

t	=	√(2Hg)
	=	√(249,81)
	=	1,6 s

v	=	g·t
	=	√(2gH)
	=	15 m·s⁻¹

II.3 — Trajectoire, flèche & portée

éliminer t y(x) = −g2·(v₀·cosα)²·x² + tanα·x + h

polynôme de degré 2 (a < 0) PARABOLE

flèche (altitude max) : quand v_y = 0 (sommet x_S = −b2a)

portée : solution x > 0 de y(x) = 0 · durée : y(t) = 0

🔑 2ᵈ degré

a·x²+b·x+c = 0 · si Δ > 0 : x = −b ± √Δ2a · garder la solution x > 0

App 3 — Trajectoire, flèche & portée

1) tennish = 2,5, v₀ = 30 horizontale (v₀_y = 0)

x = 30·t · y = −4,905·t² + 2,5 y(x) = −5,45×10⁻³·x² + 2,5

t	=	√(2,54,905)
	=	0,71 s · x
	=	30·t
	=	21 m (portée)

2) crapaudh = 0, v₀ = 2,8, α = 45° y(x) = −1,25·x² + x

flèche : x_S = −b2a = 12×1,25 = 0,40 flèche = 0,20 m

portée : −1,25·x + 1 = 0 portée = 0,80 m

III.1 — Condensateur plan & force électrique

2 armatures // sous tension U champ E uniforme : ⊥ armatures, de (+) vers (−)

E = Ud (V·m⁻¹ · U en V · d en m)

charge q : F_e = q·E · valeur F_e = |q|·E

sens : même que E si q > 0, opposé si q < 0

Influence

à U fixé, d ↓ E ↑ · à d fixé, U ↑ E ↑ · E identique partout (uniforme)

III.2 — Particule chargée (déviation)

on NÉGLIGE le poids (≪ force élec.) : m·a = F_e = q·E

a = qm·E

géométrie : entrée O, v₀ horizontale (i), E vertical (j) :

a_x = 0 · a_y = q·Em

x = v₀·t · y = 12·q·Em·t²

Mémo

éliminer t (t = xv₀) y(x) = parabole · déviation à la sortie : D = y(L)

Ex — déviation d'un électron

e⁻ (m = 9,1×10⁻³¹ kg, q = −1,6×10⁻¹⁹ C), v₀ = 2,0×10⁷, E = 2,0×10⁴ V·m⁻¹, L = 8,0 cm

a = qm·E parabole · à la sortie x = L (t = Lv₀) :

D = |q|·E·L²2·m·v₀²

1,6×10⁻¹⁹ × 2,0×10⁴ × (8,0×10⁻²)²2 × 9,1×10⁻³¹ × (2,0×10⁷)²

D = 2,8×10⁻² m = 2,8 cm

dévié vers l'armature positive (car q < 0)

App 4 — Particule chargée dans un champ

1) champ & forceU = 200 V, d = 5,0 cm, q = 3,2×10⁻¹⁹ C

E	=	Ud
	=	2005,0×10⁻²
	=	4,0×10³ V·m⁻¹

F_e = q·E = 3,2×10⁻¹⁹ × 4,0×10³ = 1,3×10⁻¹⁵ N (q > 0 sens de E)

2) proton(m = 1,67×10⁻²⁷, q = e), v₀ = 5,0×10⁵, E = 1,0×10³, L = 10,0 cm

y(x) = 0,19·x² · D = e·E·L²2·m·v₀² = 1,9×10⁻³ m = 1,9 mm

1,9 mm < d2 = 20 mm sort sans heurter

3) accélérateurTEC : 12·m·v² = e·U v = √(2·e·Um) = 1,4×10⁶ m·s⁻¹

IV.1 — Travail (poids & force élec.) + Ep

P et F_e conservatifs : travail indépendant du chemin (que A et B)

Force	Travail A B	E_p
Poids P	W_AB = m·g·(y_A − y_B)	E_pp = m·g·y
Force élec. F_e	W_AB = q·U_AB	E_pe = q·V

Travail du poids

descend (y_B < y_A) W(P) > 0 moteur · horizontal W = 0 · monte W < 0 résistant

IV.2 — TEC & conservation de E_m

Δ_ABE_c = E_c(B) − E_c(A) = ΣW_AB(F_ext) (E_c = m·v²2)

énergie mécanique E_m = E_c + E_pp (+ E_pe) :

Δ_ABE_m = W_AB(F_nc) (forces non conservatives)

champ uniforme SANS frottement E_m(B) = E_m(A) (se conserve)

Lecture des courbes

E_m constante que des forces conservatives · E_m qui ↓ frottement (dissipe)

Ex — théorème de l'énergie cinétique

pierre lâchée sans vitesse d'une hauteur h (chute libre). v au sol ? (m = 0,20 kg, h = 5,0 m)

TEC : m·v²2 − 0 = W_AB(P) = m·g·h

la masse se simplifie v² = 2·g·h

v	=	√(2·g·h)
	=	√(2 × 9,81 × 5,0)
	=	√98,1
	=	9,9 m·s⁻¹

indépendant de m

App 5 — Aspects énergétiques

1) plongeonm = 60, H = 10, v₀ ≈ 0, sans frottement E_m se conserve

m·g·H = m·v²2 v = √(2gH) = 14 m·s⁻¹

2) élastiquem = 70, Δh = 25, v_B = 20 (élastique non tendu)

W(P)	=	m·g·Δh
	=	70 × 9,81 × 25
	=	1,7×10⁴ J

ΔE_c	=	12 × 70 × 20²
	=	1,4×10⁴ J

W(frott) = ΔE_c − W(P) = 1,4×10⁴ − 1,7×10⁴ = −3,2×10³ J < 0 frottements

3) courbesmonte = E_c · descend symétrique = E_pp · descend lentement = E_m (↓ = frott. air)

Formulaire — tout le chapitre 5

① 2ᵉ loi : ΣF_ext = m·a_G · a = ΣFm

② chute libre : a = g · intégrer 2× : a v OG

③ trajectoire : y(x) = −g2·(v₀·cosα)²·x² + tanα·x + h (parabole)

④ flèche : v_y = 0 · portée : y(x) = 0

⑤ champ élec. : E = Ud · F_e = q·E · a = qm·E

⑥ énergie : ΔE_c = ΣW · sans frottement E_m = cte · v = √(2gh)

⚠ Les pièges à éviter

bilan des forces d'abord, puis 2ᵉ loi (réf. galiléen)

décomposer v₀ : horizontale v₀·cosα · verticale v₀·sinα

signe de g : a_y = −g (axe vers le haut) ou +g (axe vers le bas)

particule chargée : négliger le poids (F_e ≫ P) et le dire

sens de F_e : sens de E si q > 0, opposé si q < 0

sans frottement E_m conservée · si E_m ↓ frottements

🎤 Grand Oral

accélérateur de particules ?champ élec. sonder l'infiniment petit (a = qEm)

tir « en cloche » au basket ?angle α optimise flècheportée (parabole)

imprimante à jet d'encre ?gouttes chargées déviées par E (D = qEL²2mv₀²)

expérience de Millikan ?équilibre poids / force élec. « peser » la charge e