Entraînement Maths SVA (propre)

Variables aléatoires (le SOCLE)

Butloi · E(X), V(X), σ(X) · König-Huygens · E(aX+b) · loi binomiale

fonde S09 (binomiale) et S14 (sommes) · fil rouge : les jeux d'argent

Feuille de route

I-II.variable aléatoire + loi de probabilité (tableau, somme = 1)

III.E, V, σ + König-Huygens + E(aX+b)

applications : 4 exemples · coiffeur · 2 binomiales · coloriste · jeu équitable

Le réflexe

arbre → loi → E(X) → interprétation

jeu : E=0 équitable · E<0 défavorable · E>0 favorable

I-II — Variable aléatoire & loi

X = fonction qui à chaque issue associe un réel

loi de X = les valeurs xᵢ et les probas pᵢ = P(X = xᵢ)

présentée en tableau · Σ pᵢ = 1 (à vérifier !)

Ex fondateur — le dé (gain)

face 1 -> +5 € · sinon -> −2 € · X = gain algébrique

P(X=5) = P({1}) = 16 · P(X=−2) = 5×16 = 56

À retenir

une même expérience -> plusieurs variables possibles

« gain algébrique » : une perte = un gain négatif

III — Espérance, variance, écart type

E(X) = Σ pᵢxᵢ (moyenne sur un grand nombre de parties)

V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² · σ(X) = √V(X)

E et σ dans la même unité que X

König-Huygens (calculs courts)

V(X) = Σ pᵢxᵢ² − E(X)² (= E(X²) − E(X)²)

démo : développer (xᵢ−E)², sortir les constantes, or Σpᵢxᵢ=E et Σpᵢ=1

Transformation affine (admise)

E(aX + b) = aE(X) + b · V(aX + b) = a²V(X)

le +b disparaît dans la variance !

Ex 1 — le dé (5 € / −2 €)

E(X) = (16)×5 + (56)×(−2) = −56 ≈ −0,83 € (défavorable)

V(X) = (16)(5+56)² + (56)(−2+56)² = 24536

König : (16)·25 + (56)·4 − (56)² = 24536 ✓ · σ = 7√56 ≈ 2,61

Ex 2 — deux pièces (mise 1 €)

gains mise déduite : PP=5 · PF=FP=1 · FF=−3

loi : P(5)=14 · P(1)=12 · P(−3)=14

E(X) = 54 + 24 − 34 = 1 € (favorable) · V(X) = 8 · σ = 2√2

2 pièges mortels

① dans V(X) : valeur EXACTE de E(X) (−56, jamais −0,83)

② retrancher la mise dans CHAQUE gain · toujours interpréter (favorabledéfavorable)

Ex 3 — urne 5 jetons (mise 2 €)

pair -> 2× la valeur − mise · impair -> perd la mise

gains : jeton 2 -> +2 · jeton 4 -> +6 · impairs -> −2

loi : P(2)=15 · P(6)=15 · P(−2)=35 (par le contraire !)

E(G) = 25 = 0,4 € · V(G) = 25625 · σ = 165 = 3,2 (exact !)

Ex 4 — sac 30 jetons colorés

R(3)→+3 · V(3)→+5 · B(15)→−1 · N(2)→−3 · somme = 1 ✓

E(X) = −12 + 1 + 12 − 15 = 45 = 0,8 pt

V(X) = 16525 − 1625 = 14925 = 5,96 · σ ≈ 2,44

Réflexes gagnants

gain = somme reçue − mise · dernière proba par le contraire (1 − …)

König pour V · vérifier Σ = 1 AVANT · ne pas arrondir ce qui est exact (165)

E(aX+b) — le coiffeur à domicile

X = nb de RDV (loi 0→5 : 0,030,090,150,380,180,17)

1) E(X)= 0,09+0,30+1,14+0,72+0,85 = 3,1 RDVjour

2a) Y = gain30 €/RDV − 15 € frais -> Y = 30X − 15

2b) E(Y)= 30E(X) − 15 = 30×3,1 − 15 = 78 €

Schéma « transformation affine »

modéliser Y = aX+b (tarif × nombre − frais) -> E(aX+b)=aE(X)+b

sans recalculer une loi ! (et V(Y) = 30²V(X), le −15 disparaît)

App — QCM binomiale (type bac)

3 questions, 1 bonne sur 4, au hasard · X = nb de bonnes

a) modélisationn=3, succès « bonne réponse », p=14

-> X ↪ ℬ(3 ; 0,25) · E(X) = 3×0,25 = 0,75

b) P(X=2)= (32)·0,25²·0,75 ≈ 0,141

c) P(X≤2)= 1 − P(X=3) = 1 − 0,25³ ≈ 0,984

La phrase de modélisation (par cœur)

« on répète n fois de façon identique et indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès « … » a pour proba p »

P(X=k) -> binomFdp · P(X≤k) -> binomFRep (S09 !)

App — portique ℬ(80;0,02192)

1-2)80 personnes, p=0,02192 -> X ↪ ℬ(80;0,02192)

E(X) = 80×0,02192 = 1,7536 (≈ 2 personnes)

3)« au moins une » : P(X≥1) = 1 − (1−0,02192)⁸⁰ ≈ 0,830

« au maximum 5 » : P(X≤5) ≈ 0,992

4) Seuils (tableau binomFRep)

a)P(X≤2)≈0,744 < 0,9 ≤ P(X≤3)≈0,901 -> a = 3

b)P(X≤1)≈0,474 ≤ 0,5 < P(X≤2)≈0,744 -> b = 1

Questions de seuil

TOUJOURS le tableau binomFRep sur la copie, les 2 lignes qui encadrent le seuil

= l'équivalent probabiliste des seuils de suites (S03S05)

BAC BLANC — coloriste · A (probas cond.)

C = couleur-soin (0,4) · M = effet · P(C∩M)=0,24 · P_C̄(M)=0,3

1) PC(M)_ = 0,240,4 = 0,6

3) ni-niP(C̄∩M̄) = 0,6×0,7 = 0,42

4) P(M)= 0,24 + 0,6×0,3 = 0,42 (probas totales)

5) Indépendance, incompatibilité, union

a)P_C(M)=0,6 ≠ P(M)=0,42 -> NON indépendants

b)P(C∩M)=0,24 ≠ 0 -> NON incompatibles

c)P(C∪M) = 0,42 + 0,4 − 0,24 = 0,58

Le trio de justifications

indépendants ⟺ P_C(M)=P(M) · incompatibles ⟺ P(C∩M)=0 · union = P(A)+P(B)−P(A∩B)

« probabilités totales » à NOMMER sur la copie

BAC BLANC — coloriste · B (gain X)

tarifs : 35 € couleur-soin · 40 € effet · X = gain

valeurs : 0 · 35 · 40 · 75 (au bout des branches de l'arbre)

loi : P(0)=0,42 · P(35)=0,16 · P(40)=0,18 · P(75)=0,24 (Σ=1)

E(X) = 5,6 + 7,2 + 18 = 30,80 € · σ(X) ≈ 29,75 €

e) Tarif pour +15 % d'espérance

E(Y) = 1,15 × 30,8 = 35,42 · Y : valeurs 0, 35, p, 35+p

35×0,16 + p×0,18 + (35+p)×0,24 = 35,42

0,42p + 14 = 35,42 -> p = 51 €

Le pont conditionnelles → VA

valeurs de X au bout des branches · probas = produits le long des branches

question e = équation sur E (grand classique de fin d'exercice)

Fiche 1 — fête foraine (sans remise)

urne : 2R, 2V, 1B · tirer 2 sans remise · blanche -> +10 € · partie 5 €

loi : P(X=−5) = (45)×(34) = 35 · P(X=5) = 25

E(X) = −5×(35) + 5×(25) = −1 € (défavorable)

Fiche 2 — le jeu équitable (trouver x)

15 boules : 3R(−50) · 7V(+20) · 5J(+x) · G = gain

E(G) = −50×(15) + 20×(715) + x×(13) = −23 + (13)x

équitable ⟺ E(G)=0 ⟺ (13)x = 23 -> x = 2

2 réflexes d'or

sans remise -> les probas du 2ᵉ tirage changent (14, 34 !)

« jeu équitable » = E(X) = 0 (loi avec paramètre -> E(x) -> résoudre)

Formulaire — E, V, σ

E(X) = Σ pᵢxᵢ · V(X) = Σ pᵢ(xᵢ−E(X))² · σ = √V

König-Huygens : V(X) = Σ pᵢxᵢ² − E(X)²

E(aX+b) = aE(X)+b · V(aX+b) = a²V(X) (b disparaît)

ℬ(n;p) : P(X=k) = (nk)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ · E = np

Plan-type « jeu d'argent »

① arbre (gains mise déduite) ② valeurs de X ③ loi (dernière proba par le contraire, Σ=1)

④ E(X) + phrase : =0 équitable · <0 défavorable · >0 favorable

⑤ V par König, σ=√V ⑥ paramètre : E(X)=0 (équité) ou E(Y)=objectif

Modélisation binomiale (par cœur)

« on répète n fois, identique & indépendante, un succès « … » de proba p »

« au moins un » -> 1 − P(X=0) · seuils -> tableau binomFRep

⚠ Les 8 pièges

① oublier de déduire la mise dans les gains

② arrondi de E(X) dans V(X) -> valeur EXACTE (−56, pas −0,83)

③ oublier de vérifier Σ pᵢ = 1 (= dernière proba par le contraire)

④ confondre V(X) et σ(X) (σ = √V, seul dans l'unité de X)

⑤ E(aX+b)=aE(X) (oubli +b) ou V(aX+b)=aV(X) (c'est a², b disparaît)

⑥ sans remise : probas du 2ᵉ tirage changent (14, 34 !)

⑦ binomiale : oublier un des 3 mots (répétitionidentique/indépendante)

⑧ oublier les phrases d'interprétation (gain moyen, favorable…)

🎤 Grand Oral

l'espérance dit-elle tout ?NON ! σ mesure le RISQUE (finance, assurance, LGN S14)

les jeux d'argent ?E du joueur structurellement négative (loto = sujet en or)

en médecine ?bénéfice moyen d'un traitement, effets secondaires -> Medikinet !

König-Huygens ?« moyenne des carrés − carré de la moyenne » (pont continu-discret)