Entraînement Maths S15 (propre)

Seq. 15 — Trigonométrie (LE DERNIER !)

Butréunit TOUT : cercle trigo · dérivation (S01S08) · primitives (S11) · intégration (S12)

3 objectifs

① résoudre équationsinéquations trigo -> le CERCLE

② courbe & propriétés de cossin (parité, périodicité)

③ étudier des fonctions trigo (dérivées, variations, convexité, aires)

Au programme

cercle + valeurs remarquables · le signe de 2cos x+1 · symétries · 8 dérivées

2 études complètes · QCM 2024 · le logo (Antilles 2018)

I.1 — Cercle trigonométrique

cos x = abscisse de M · sin x = ordonnée de M (sur ℝ)

−1 ≤ cos x ≤ 1 · −1 ≤ sin x ≤ 1 · cos²x + sin²x = 1

cos(x + k·2π) = cos x · sin(x + k·2π) = sin x

Valeurs remarquables (à réciter)

x	0	π6	π4	π3	π2
cos	1	√32	√22	12	0
sin	0	12	√22	√32	1

Signes sur le cercle

sin > 0 en haut ]0;π[ · cos > 0 à droite ]−π2;π2[

« seule justif = le CERCLE, complété rigoureusement sur la copie » !

Équations — a) cos x = √3/2 sur ]−π;π]

√32 = cos(π6) · cos paire -> cos(−π6) aussi

-> S : −π6 · π6 (cercle)

b) cos²x = 1/2 sur ]−π;π]

cos²x = 12 ⟺ cos x = √22 ou cos x = −√22 (racine NÉGATIVE !)

cos x = √22 -> ±π4 · cos x = −√22 -> ±3π4

-> S : −3π4 · −π4 · π4 · 3π4 (cercle)

Rituel

① valeur remarquable ② parité/cercle -> TOUTES les solutions ③ « (cercle) »

piège : équation au CARRÉ = 2× plus de solutions (4 au lieu de 2)

c) 2sin x + √2 = 0 -> changer d'intervalle

sin x = −√22 · sur [0;2π[ : S : 5π4 · 7π4

sur ]−π;π] : −2π aux solutions -> −3π4 · −π4

sur ℝ : −3π4 + k·2π · −π4 + k·2π (2π-périodique)

d) sin x < −√3/2 (INÉQUATION)

sin x = −√32 en −π3 et −2π3 · repérer l'ARC (bas du cercle)

sur ]−π;π] : S : ]−2π3 ; −π3[ (bornes OUVERTES)

sur [0;2π[ : ]4π3 ; 5π3[

2 gestes-clés

changer d'intervalle = ±2π aux solutions · inéquation = l'ARC (pas juste les points)

⚠ Signe de f(x) = 2cos x + 1 sur ]−π;π]

2cos x + 1 ≥ 0 ⟺ cos x ≥ −12

cos x = −12 en ±2π3 · l'arc où cos ≥ −12 = l'arc de droite

-> 2cos x + 1 ≥ 0 ⟺ x ∈ [−2π3 ; 2π3]

Tableau de signes

f > 0 sur ]−2π3 ; 2π3[ · f = 0 en ±2π3

f < 0 sur ]−π ; −2π3[ ∪ ]2π3 ; π]

Pourquoi « très important » ?

= LA brique des variations trigo (dès qu'une dérivée a 2cos x+1…)

rituel : inéquation ≥0 -> cercle -> valeurs qui annulent -> tableau

Symétries (le tableau)

cos(−x)=cos x · sin(−x)=−sin x (parité)

cos(π−x)=−cos x · sin(π−x)=sin x · cos(π+x)=−cos x · sin(π+x)=−sin x

cos(π2−x)=sin x · sin(π2−x)=cos x · sin(π2+x)=cos x · cos(π2+x)=−sin x

Simplifier f et g

f = cos(−x+2π) + cos(x+5π) − 2cos(π+x)

= cos x + (−cos x) − 2(−cos x) -> f = 2cos x

g = 3sin(π2−x) + 2sin(π2+x)= 3cos x + 2cos x -> g = 5cos x

Stratégie

réduire l'angle d'abord (retirer 2π : 5π = π+2·2π !) PUIS symétrie

π ± x garde le nom (signes) · π2 ± x échange cos ↔ sin

Périodicité

f périodique de période T (>0) si f(x+T) = f(x) pour tout x

cos, sin : période 2π · cos(ax+b) : période 2πa

2 exemples

1) f = cos(3x + 3π4): f(x + 2π3) = cos(3x + 2π + 3π4)

= cos(3x + 3π4) -> T = 2π3

2) f = sin(2x) − cos²x: f(x+π) = sin(2x+2π) − (−cos x)²

= sin(2x) − cos²x -> π-périodique ((−cos x)² = cos²x !)

Méthode « T est une période »

calculer f(x+T) -> faire apparaître +2π dans cossin -> conclure f(x+T)=f(x)

Parité

paire: f(−x) = f(x) (symétrie axe Oy) · cos est paire

impaire: f(−x) = −f(x) (symétrie origine) · sin est impaire

⚠ vérifier d'abord que 𝒟 est centré en 0

Ex — f = sin x − sin(2x) impaire

𝒟 = ℝ centré en 0 ✓

f(−x) = sin(−x) − sin(−2x) = −sin x + sin(2x)

= −(sin x − sin(2x)) = −f(x) -> f impaire

Rituel parité en 3 temps

① 𝒟 centré en 0 (à ÉCRIRE) ② calculer f(−x) ③ factoriser par −1

intérêt : parité + périodicité = intervalle d'étude réduit

II — Dérivées & primitives

cos′ = −sin · sin′ = cos

(cos u)′ = −u′ sin u · (sin u)′ = u′ cos u

(cos(ax+b))′ = −a sin(ax+b) · (sin(ax+b))′ = a cos(ax+b)

primitivescos → sin · sin → −cos · cos(ax+b) → (1a)sin(ax+b)

Ex — tangente à cos en π/2

f=cos x , f′=−sin x · (T) : y = f′(π2)(x − π2) + f(π2)

f′(π2) = −1 , f(π2) = 0 -> (T) : y = −x + π2

Cercle mnémo

dériver : +sin → +cos → −sin → −cos (un sens) · primitiver : l'autre sens

composée ax+b : dérivée ×a · primitive ÷a (et sin ↔ −cos)

Dériver — a) à d)

a) sin x + 2cos x-> f′ = cos x − 2sin x

b) sin x·cos x-> f′ = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1

= (√2cos x − 1)(√2cos x + 1) (différence de carrés)

c) cos(3x + π4)-> f′ = −3sin(3x + π4)

d) e^−x(−cos x+sin x+1)-> f′ = e^−x(2cos x − 1) (le logo !)

b) est un festival

produit -> cos²−sin² -> 2cos²x−1 (via cos²+sin²=1) -> (√2cos)²−1

toujours la phrase de dérivabilité (sommeproduit/composée) AVANT

Dériver — e) à h)

g) cos(5x+3) + cos(π3): ⚠ cos(π3)=12 CONSTANTE (dérivée nulle !)

-> f′ = −5sin(5x+3)

h) (cos x)³(u³, u=cos x) -> f′ = −3sin x cos²x

TVI : x − cos x = 0 sur [0;π/2]

f′ = 1 + sin x > 0 (sin≥0, 1>0) -> f strictement croissante

f(0)=−1 , f(π2)=π2 · 0 ∈ [−1;π2] -> unique solution (VRAI)

Primitives (question 4)

a) 3sin(2x)-> F = −(32)cos(2x)

b) sin⁶x·cos x(u′u⁶) -> F = (17)sin⁷x

Pièges

cos(π3) = constante -> dérivée nulle · reconnaître u′uⁿ (S11S12) en trigo

III — Étude de cos et sin

période 2π -> [−π;π] · parité -> [0;π] · courbes par symétrie

cos sur [0;π]cos′=−sin ≤ 0 -> décroissante de 1 à −1

sin sur [0;π]sin′=cos -> croît 0→1 sur [0;π2] puis décroît

Les 2 sinusoïdes

cos part de (0;1) · sin part de (0;0) · sin = cos décalée : sin x = cos(x − π2)

cos paire (axe Oy) · sin impaire (origine) · toutes deux 2π-périodiques

Étude 1 — f = (1 − cos x)sin x

1) périodeparitéf(x+2π)=f(x) -> 2π-période · f(−x)=−f(x) -> impaire

-> étude sur [0;π]

2) signesin x ≥ 0 et 1−cos x ≥ 0 -> f ≥ 0 sur [0;π]

3) Dérivée + variations

f′ = sin²x + cos x − cos²x = −2cos²x + cos x + 1

poser X=cos x -> f′ = (1 + 2cos x)(1 − cos x)

1+2cos x ≥ 0 ⟺ x ∈ [0;2π3] (signe « très important »)

-> ↗ sur [0;2π3] puis ↘ · max f(2π3) = 3√34

Le geste technique

factoriser le trinôme trigo en posant X = cos x

trame : période -> parité -> intervalle -> signe -> f′ factorisée -> variations

4a) Convexité (conjecture graphique)

la courbe : convexe puis concave -> point d'inflexion ≈ 1,3

(exact : f″ = sin x(4cos x − 1) s'annule en arccos(14) ≈ 1,3)

4b) I = ∫₀^π (1−cos x)sin x dx

forme u′u (u=1−cos x) -> primitive F = (1−cos x)²2

f ≥ 0 (q.2) -> I = aire :

I = F(π) − F(0) = 2²2 − 0 -> I = 2 (u.a.)

Le fil se tient

primitive u′u → u²2 · l'aire n'est licite QUE parce que f ≥ 0 (q.2 réinvestie)

Étude 2 — f = cos(2x) − 1/2

1) périodeparitéf(x+π)=cos(2x+2π)−12=f(x) -> π-périodique

f(−x)=cos(2x)−12=f(x) -> paire -> étude sur [0;π2]

2) variationsf′ = −2sin(2x)

x∈[0;π2] -> 2x∈[0;π] -> sin(2x)≥0 -> f décroissante

f(0)=12 · f(π2)=−32

Le point technique

signe de f′=−2sin(2x) : raisonner sur 2x ∈ [0;π] (l'argument DOUBLE !)

l'allure : parité + périodicité font tout (aucun calcul de plus)

4) Convexité (f″)

f″ = −4cos(2x) · convexe ⟺ cos(2x) ≤ 0

x∈[0;π] -> 2x∈[0;2π] -> cos(2x)≤0 ⟺ x ∈ [π4;3π4]

-> convexe sur [π4;3π4] · inflexions en π4 et 3π4

5) Signe, primitive, aire

f ≥ 0 ⟺ cos(2x) ≥ 12 -> x ∈ [0;π6] ∪ [5π6;π]

primitive F = (12)sin(2x) − x2

aire (découper S12) = ∫₀^π/6 − ∫ + ∫ -> 𝒜 = √3 + π6 ≈ 2,26 u.a.

La synthèse du programme

convexité (S08) · inéquation trigo (2x∈[0;2π]) · primitive (S11) · aire découpée (S12)

TB 1 — QCM (Sujet 0, 2024)

Q1) sin x = 0,1 sur [0;2π]: sin monte 0→1 puis descend 1→0 sur [0;π]

-> 0,1 pris 2 fois · rien sur [π;2π] (sin ≤ 0) -> 2 solutions

Q2) f = x + sin x sur [0;π] convexe ?

f″ = −sin x ≤ 0 sur [0;π] -> f concave

Réflexes QCM (30 s)

décompte de solutions = variations du sinus · convexité = signe de f″

TB 2 — le logo (Antilles 2018) · A

f = e^−x(−cos x + sin x + 1) · g = −e^−xcos x

1) encadrer−1 ≤ −cos x+sin x+1 ≤ 3 · ×e^−x>0 :

-> −e^−x ≤ f(x) ≤ 3e^−x

2) limitee^−x→0 -> gendarmes -> lim f = 0 en +∞

3) dérivée-> f′(x) = e^−x(2cos x − 1)

4) Signe de f′ + variations sur [−π;π]

e^−x>0 -> signe de 2cos x−1 · cos x ≥ 12 ⟺ x ∈ [−π3;π3]

-> ↘ [−π;−π3] ↗ [−π3;π3] ↘ [π3;π]

Combo encadrement -> gendarmes

encadrer le facteur borné (−1≤cos,sin≤1) -> ×e^−x · signe de f′ via cos ≥ 12

TB 2 (suite) · B — aire du logo

1) positionf−g = e^−x(sin x + 1) ≥ 0 (sin ≥ −1) -> Cf au-dessus de Cg

2) primitiveH = (−cos x2 − sin x2 − 1)e^−x

H′ = e^−x(sin x + 1) ✓ (vérifier, pas inventer !)

Aire 𝒟 entre les courbes

𝒟 = ∫ (f−g) dx = [H]_{−π2}^3π/2 = (12)(e^π/2 − e^−3π/2) u.a. ≈ 2,40

unité 2 cm -> 1 u.a. = 4 cm² -> 𝒟 = 2(e^π/2 − e^−3π/2) ≈ 9,60 cm²

Le final du poly

position = signe de la différence · primitive à VÉRIFIER · aire (S12) · u.a. → cm²

Formulaire — cercle & symétries

cos²x + sin²x = 1 · valeurs : cos 1,√32,√22,12,0 (en 0,π6,π4,π3,π2)

cos(−x)=cos x (paire) · sin(−x)=−sin x (impaire) · période 2π

π ± x garde le nom · π2 ± x échange cos↔sin · cos(ax+b) : période 2πa

Dérivées & primitives

cos′=−sin · sin′=cos · (cos u)′=−u′sin u · (sin u)′=u′cos u

cos(ax+b) → (1a)sin(ax+b) · sin(ax+b) → −(1a)cos(ax+b)

Le rituel équations/inéquations

① isoler cossin ② valeur remarquable ③ CERCLE sur la copie

④ équation → points · inéquation → l'ARC (bornes selon <, ≤)

⑤ changer d'intervalle = ±2π · ℝ = + k·2π · signe de a cos x+b : cercle → tableau

L'étude complète type

période -> parité -> intervalle réduit -> signe -> f′ (trinôme en X=cos x) -> variations -> f″ -> primitive -> aire

⚠ Les 8 pièges

① équationinéquation trigo sans le CERCLE (seule justif)

② cos²x = 12 : oublier la racine négative (4 solutions !)

③ dériver cos(π3) comme une variable -> c'est une CONSTANTE !

④ (cos(ax+b))′ : oublier le −a · primitive : oublier de ÷a (et sin→−cos)

⑤ signe de −2sin(2x) : raisonner sur 2x ∈ [0;π], pas x

⑥ parité : oublier de vérifier 𝒟 centré en 0

⑦ aire : oublier de découper selon le signe · oublier u.a. → cm²

⑧ « sin x = 0,1 pas remarquable donc rien » -> les variations donnent le nombre !

🎤 Grand Oral — FIN DE LA SÉRIE !

cossin partout en physique ?tout phénomène périodique = A·cos(ωt+φ) (ondes, son, PC !)

pic d'un médicament périodique ?prises répétées -> concentration oscille (Medikinet !)

le π du cercle ?enrouler ℝ sur le cercle : 2π = période universelle (dérivée = cos QU'en radians !)

Fourier ?toute fonction périodique = somme de sinus -> MP3, JPEG, IRM (ouverture post-bac !)