Entraînement Maths S14 (propre)

Seq. 14 — Sommes de VA & concentration

ButloiE/V d'une somme · variable moyenne Mₙ · Bienaymé-Tchebychev · loi des grands nombres

le chapitre le plus « bac 2025 » : 10 sujets TYPE BAC !

5 objectifs

① loi d'une somme ② E et V d'une somme (linéarité, indép.)

③ E, V, σ de la moyenne Mₙ ④ Bienaymé-Tchebychev ⑤ concentration + LGN

2 démonstrations exigibles

① E et V de la binomiale ② EV de Sₙ et Mₙ

I.1 — Transformation affine aX+b

E(X) = Σpᵢxᵢ · V(X) = Σpᵢxᵢ² − E(X)² (König-Huygens) · σ = √V

E(aX+b) = aE(X)+b · V(aX+b) = a²V(X)

⚠ σ(aX) = |a|σ(X) mais σ(X+Y) ≠ σ(X)+σ(Y) !

Ex 2 — X~ℬ(15;0,32), Y=3X

E(X)=np=4,8 -> E(Y)=3E(X) = 14,4

P(12≤Y≤33) = P(4≤X≤11) (diviser les bornes par 3)

= P(X≤11) − P(X≤3) -> ≈ 0,758

Réflexe Y=aX

diviser les bornes par a pour revenir à X (loi connue)

puis P(a≤X≤b) = P(X≤b) − P(X≤a−1) (valeurs entières)

I.2 — Somme de deux VA

X+Y = VA des sommes possibles des valeurs de X et Y

X, Y indépendantes⟺ P((X=xᵢ)∩(Y=yⱼ)) = P(X=xᵢ)×P(Y=yⱼ)

Ex — boisson (X) + sandwich (Y)

S = X+Y (dépense totale) · « au hasard » -> indépendantes

tableau des sommes · multiplier + sommer les cases égales :

P(S=6)=0,08 · P(6,5)=0,28 · P(7)=0,36 · P(7,5)=0,22 · P(8)=0,06

vérif somme = 1 ✓

Méthode « loi d'une somme »

① tableau double entrée ② justifier l'indépendance (« au hasard »)

③ multiplier + sommer les cases égales ④ vérifier somme = 1

Linéarité & additivité

E(X+Y) = E(X)+E(Y) · E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

TOUJOURS vraie (pas besoin d'indépendance !)

X,Y indépendantes: V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(aX+bY) = a²V(X)+b²V(Y) (indépendance OBLIGATOIRE)

Ex — E(X)=3,1, E(Y)=1,8, V(X)=4, V(Y)=2 (indép.)

X+Y : E = 4,9 · V = 6

7X : E = 21,7 · V = 7²×4 = 196

2X+Y : E = 8 · V = 2²×4+2 = 18

X−5 : E = −1,9 · V = 4 (constante -> V inchangée)

La nuance-clé

linéarité de E = TOUJOURS · additivité de V = INDÉPENDANCE

le corrigé la cite à chaque fois (« or X et Y indépendantes… »)

I.3 — Binomiale = somme de Bernoulli

X~ℬ(n;p) = X₁+…+Xₙ (n Bernoulli indép. de paramètre p)

E(X) = np · V(X) = np(1−p) · σ = √(np(1−p))

🖊 Démonstration exigible n°1

chaque Xᵢ : E(Xᵢ)=p , V(Xᵢ)=p(1−p)

Epar linéarité : E(X) = p+p+…+p (n fois) = np

Vpar indépendance : V(X) = p(1−p)+…+p(1−p) = np(1−p)

Structure de la démo

décomposer X en somme de Bernoulli -> linéarité pour E -> indépendance pour V

les 2 mots-clés DOIVENT apparaître · enfin la preuve des formules S09 !

I.4 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)δ² (δ > 0)

une VA prend rarement une valeur éloignée de son espérance

Ex — X~ℬ(20;0,1) : δ = kσ

E(X)=2 · V(X)=1,8 · σ=√1,8

δ=2σ : ≤ 1,84×1,8 = 14

δ=3σ : ≤ 19 ≈ 0,11 · δ=4σ : ≤ 116

Cas école : δ = kσ -> 1/k²

les σ se simplifient ! 2σ → 14 · 3σ → 19 · 4σ → 116

version universelle des écarts types (valable pour N'IMPORTE QUELLE loi)

LA méthode du CENTRAGE (3 étapes)

① centrer : P(a≤X≤b) = P(|X−E| ≤ δ)

② complémentaire : = 1 − P(|X−E| ≥ δ) (entiers : « > δ » -> « ≥ δ+1 »)

③ B-T + retournement : ×(−1) puis +1 (⟶ ≤ devient ≥)

Ex 2 — téléviseur (E=7, V=3)

P(5≤T≤9) = P(|T−7| ≤ 2) = 1 − P(|T−7| ≥ 3) (entier !)

B-T : P(|T−7| ≥ 3) ≤ 33² = 13

-> P(5≤T≤9) ≥ 23

Ex 3 — 180 dés, X~ℬ(180;1/6)

E=30 · V=25 · P(21≤X≤39) = 1 − P(|X−30| ≥ 10)

B-T : ≤ 2510² = 14 -> P(21≤X≤39) ≥ 34

LE schéma-roi (dans TOUS les bac)

centrer -> complémentaire (>δ devient ≥δ+1) -> B-T -> ×(−1)+1

à dérouler les yeux fermés

II.1 — Échantillon : Sₙ et Mₙ

échantillon = (X₁;…;Xₙ) indép. et de même loi que X

sommeSₙ = X₁+…+Xₙ : E(Sₙ)=nE(X) · V(Sₙ)=nV(X)

moyenneMₙ = Sₙn : E(Mₙ)=E(X) · V(Mₙ) = V(X)n

🖊 Démonstration exigible n°2

E(Sₙ) = nE(X) (linéarité) · V(Sₙ) = nV(X) (indépendance)

E(Mₙ) = (1n)E(Sₙ) = E(X)

V(Mₙ) = (1n)²V(Sₙ) = (1n²)×nV(X) = VXn

Le message essentiel

la moyenne garde la même E mais sa V est DIVISÉE par n

moyenner réduit la dispersion ! (sondages, métrologie, LGN)

II.2-3 — Concentration & LGN

P(|Mₙ − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)nδ² (concentration)

= Bienaymé-Tchebychev appliquée à Mₙ (V(Mₙ)=Vn -> le n !)

LGN : lim P(|Mₙ − E(X)| ≥ δ) = 0 (Mₙ → E(X))

Ex — démarchage (p=0,4)

X Bernoulli : μ = 0,4 · V = 0,24

concentration : P(|Mₙ−0,4| ≥ 0,05) ≤ 0,240,0025n = 96n

il suffit que 96n ≤ 0,1 ⟺ n ≥ 960

Question « taille n »

majorant ≤ seuil -> inéquation en n -> « il suffit d'avoir »

LGN = la justification théorique des sondages !

TB 1 — vrai/faux (Amérique Sud 2025)

X₁,X₂ même loi (−2,−1,2,5 ; 0,10,40,30,2), indép. · Y=X₁+X₂

aff4 P(Y=4)= 0,4×0,2 + 0,3×0,3 + 0,2×0,4 = 0,25 -> VRAI

aff4bis E(Y)=2,5E(X)=1 -> E(Y)=2 ≠ 2,5 -> FAUX

aff5 — conditionnelle binomiale

X~ℬ(20;0,85) · P₍X≥15₎(X≥18) : (X≥18) ⊂ (X≥15)

= P(X≥18)P(X≥15) = 0,4050,933 -> ≈ 0,434 VRAI

Les 2 pièges

aff4 : lister les cas disjoints puis produits (indépendance !)

aff5 : (X≥18) ∩ (X≥15) = (X≥18) (le plus fort gagne) -> quotient

TB 2 & 4 — somme de k binomiales identiques

TB2X~ℬ(250;0,01) : E(X)=2,5 , V(X)=2,475 · S = X₁+…+X₄

E(S) = 4×2,5 = 10 (linéarité) · V(S) = 4×2,475 = 9,9 (indép.)

TB4X₁~ℬ(20;0,165) : E=3,3 , V=2,7555 · S=X₁+X₂+X₃

E(S)=9,9 · V(S) = 3×2,7555 = 8,2665

TB4-3 — P(6<S<14) > 0,48 (E(S)=10)

= 1 − P(|S−10| ≥ 4) · B-T : ≤ 8,26654² = 0,5167

-> P(6<S<14) ≥ 0,4833 > 0,48

Schéma « somme de k binomiales »

E(S) = k·np (linéarité + même loi) · V(S) = k·np(1−p) (indépendance)

les 2 justifications valent des points à chaque ligne !

TB 3 — fléchettes (aires + 3 gains)

A) aires par intégrales (S12 !):

𝒜₁ = 1 − ∫₀¹ x dx = 12 · 𝒜₂ = ∫₀¹ x² dx = 13 · 𝒜₃ = 16

C) X₁ gain (1,2,3 ; 12,13,16):

E(X₁) = 3+4+36 = 53 · V(X₁) = 103 − (53)² = 59

Y = X₁+X₂+X₃ (3 joueurs indép.)

P(Y=9) = (16)³ = 1216 (les 3 font le max = 1 seul chemin)

E(Y) = 3×(53) = 5 € · V(Y) = 3×(59) = 53

Le sujet-pont

intégrales (S12) -> loi de probabilité -> somme d'un échantillon (S14)

TB 5 — sac/urnes puis 100 parties

probas cond.P(C) = 320 + (34)(14) = 0,3375

billet de 10 € : P₍C̄₎(B) = 0,56250,6625 -> ≈ 0,849 (VRAI)

X₁ = somme(50 ou 10) : E(X₁) = 23,50 € · V(X₁) = 357,75

Z = X₁+…+X₁₀₀ (indép. : remise)

E(Z) = 100×23,5 = 2350 · V(Z) = 100×357,75 = 35775

P(1950<Z<2750) = 1 − P(|Z−2350| ≥ 400)

B-T : ≤ 35775400² ≈ 0,224 -> P ≥ 0,776 ≥ 0,75

Sujet complet-type

probas cond. -> VA -> somme de 2 -> somme de 100 -> B-T

citer ce qui justifie l'indépendance (« après avoir remis… »)

TB 6 — jouets : proportion Fₙ

Sₙ~ℬ(n;0,95) · Fₙ = Sₙn (fréquenceproportion)

E(Fₙ) = 0,95 · V(Fₙ) = 0,0475n

Fₙ = moyenne d'un échantillon de Bernoulli : E=p, V=p1−pn

Taille n : P(0,93<Fₙ<0,97) ≥ 0,96

= 1 − P(|Fₙ−0,95| ≥ 0,02) · B-T : ≤ 0,0475n0,02² = 118,75n

il suffit que 118,75n ≤ 0,04 ⟺ n ≥ 2968,75 -> n = 2969

Taille n -> entier SUPÉRIEUR

2968,75 -> 2969 (jamais l'entier inférieur !)

TB 7 — balles de tennis (p=0,85)

X~ℬ(20;0,85) : P(X≤18) ≈ 0,824 · E(X) = 17

Mₙ : E=0,85 · V(Mₙ) = 0,1275n

P(0,75<Mₙ<0,95) ≥ 1 − 12,75n · > 0,9 -> n>127,5 -> n = 128

TB 8 — allergies (médical)

M₂₀ = âge moyen · E(M₂₀) = 4 · V(M₂₀) = 2,2520 = 0,1125

concentration (δ=2) : P(|M₂₀−4| ≥ 2) ≤ 0,11254 = 0,028

-> P(2<M₂₀<6) ≥ 0,972 > 0,97

Concentration en épidémiologie

TB8 = contexte MÉDICAL (âge d'apparition d'une allergie) -> Grand Oral Medikinet !

TB 9 — don du sang (N villes)

Mₙ = X₁+…+Xₙn · E(Xᵢ)=7,14 · V(Xᵢ)=6,63

E(Mₙ) = 7,14 (linéarité) · V(Mₙ) = 6,63n (indépendance)

Plus petit N : P(7<Mₙ<7,28) ≥ 0,95

symétrie !δ = 7,14−7 = 7,28−7,14 = 0,14

B-T : ≤ 6,63n0,14² = 6,630,0196n

il suffit que 6,630,0196n ≤ 0,05 ⟺ n ≥ 6765,31 -> n = 6766

La subtilité : trouver δ

vérifier que l'intervalle est symétrique autour de E (0,14 de chaque côté)

sinon : prendre le plus petit écart · toujours entier SUPÉRIEUR

Formulaire — E & V

E(X+Y) = E(X)+E(Y) (TOUJOURS) · E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

indép.: V(X+Y)=V(X)+V(Y) · V(aX+bY)=a²V(X)+b²V(Y)

σ(aX)=|a|σ(X) mais σ(X+Y) ≠ σ(X)+σ(Y) !

ℬ(n;p) : E=np, V=np(1−p) (démo : linéarité + indép.)

Échantillon & inégalités

Sₙ : E=nE(X), V=nV(X) · Mₙ : E=E(X), V = V(X)n

proportion Fₙ = Sₙ/n : E=p, V=p1−pn

B-T : P(|X−E| ≥ δ) ≤ V(X)δ² · concentration : ≤ V(X)nδ²

LGN : lim P(|Mₙ−E| ≥ δ) = 0

LE schéma « minorer P(a<X<b) »

① symétrie : δ = b−E = E−a ② centrer -> 1 − P(|X−E| ≥ δ) (entiers : >δ -> ≥δ+1)

③ B-T -> ×(−1)+1 (retournement) ④ taille n : « il suffit que » -> entier SUPÉRIEUR

⚠ Les 8 pièges

① V(X+Y)=V(X)+V(Y) sans citer l'indépendance

② σ(X+Y) = σ(X)+σ(Y) -> FAUX ! on additionne les VARIANCES

③ V(aX) = aV(X) au lieu de a²V(X) · V(X+b)=V(X)

④ confondre V(Sₙ)=nV (amplifie) et V(Mₙ)=Vn (concentre)

⑤ oublier « > δ » -> « ≥ δ+1 » (valeurs entières)

⑥ oublier le retournement (B-T = majorant -> minorant après ×(−1)+1)

⑦ ne pas vérifier la symétrie de l'intervalle avant de choisir δ

⑧ taille n arrondie à l'entier INFÉRIEUR (2968,75 -> 2969 !)

🎤 Grand Oral

pourquoi les sondages marchent ?V(Mₙ)=Vn -> ×4 l'échantillon ÷2 l'erreur (démarchage 960, jouets 2969)

la LGN dit quoi ?la fréquence converge vers la probabilité -> casinos, assurances (mutualisation)

en médecine ?essais cliniques : combien de patients pour ±5 % ? = la question « taille n » (Medikinet !)

B-T précise ?non, majorant universel (toute loi) donc grossier -> la loi normale (post-bac) fait mieux