Entraînement Maths S12 (propre)

Seq. 12 — Integration

Butrelier aires · primitives (S02S11) · suites (S03S05)

le chapitre le plus riche de l'annee

6 objectifs officiels

① estimerencadrer une integrale, une valeur moyenne

② calculer par primitive ou par IPP

③ majorerminorer via une majoration de fonction

④ aire entre deux courbes ⑤ suite d'integrales (recurrence)

⑥ interpreter dans un contexte (medecine, physique…)

Au programme

cours (notion, theoreme fondamental + ROC, IPP + ROC, proprietes, aires, moyenne)

+ toutes les applications + 5 sujets TYPE BAC 2024-2025

I.1 — Notion d'integrale

f continue et positive sur [a;b] :

𝒜 = ∫ₐᵇ f(x) dx = aire sous Cf (en u.a.)

domaine entre Cf, l'axe Ox, et x=a , x=b

1 u.a. = aire du rectangle [OI]×[OJ]

Remarques

a, b = bornes d'integration · x = variable muette (= t = s…)

∫ₐᵃ f(x) dx = 0 · le « dx » est indispensable !

Vision geniale du symbole ∫

f(x)·dx = aire d'un rectangle f(x) × dx (infiniment fin)

∫ = le Σ du continu : on somme une infinite de rectangles

I.2 — Calculs graphiques

I = ∫₋₁² (32) dxrectangle : base×hauteur

= (2−(−1))×(32) -> I = 92

J = ∫₋₂² ((12)x+2) dxtrapeze : g(−2)=1, g(2)=3

= (1+3)×42 -> J = 8

I.3 — Methode des rectangles

partager [0;1] en n -> encadrer ∫₀¹ eˣ dx

n=2 : 1,32 ≤ ∫ ≤ 2,18 · n=4 : 1,51 ≤ ∫ ≤ 1,94

n→+∞ (sommes geo S03 + gendarmes) -> ∫₀¹ eˣ dx = e−1

Sommes de Riemann

historique ET au programme (calculatriceGeoGebra)

autres methodes : milieux, Monte-Carlo (Grand Oral p.390-394)

I.4 — Theoreme FONDAMENTAL

f continue et positive sur [a;b] · F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

F derivable et F'(x) = f(x)

le lien magique entre AIRE et DERIVEE

🖊 ROC (f croissante)

F(x+h) − F(x) = ∫ₓ^x+h f(t) dt (aire hachuree)

f croissante : f(x) ≤ f(t) ≤ f(x+h) sur [x;x+h]

h·f(x)	≤	F(x+h)−F(x)
	≤	h·f(x+h)

÷h (>0) : f(x) ≤ F(x+h)−F(x)h ≤ f(x+h)

f continue -> f(x+h)→f(x) -> gendarmes -> F' = f

Remarque capitale

F(x)=∫ₐˣ f = LA primitive de f qui s'annule en a (F(a)=0)

-> toute fonction continue admet des primitives

Ex — F(x) = ∫₋₁ˣ (1)/(t²+1) dt

1) F' ?f(t)=1t²+1 continue (t²+1 ≥ 1>0)

theoreme fondamental -> F'(x) = 1x²+1

2) variations1>0 et x²+1>0 -> F'(x)>0

-> F strictement croissante

Le reflexe « ∫ₐˣ … dt »

on ne CALCULE PAS l'integrale ! -> theoreme fondamental

continuite -> F' = f -> signe de f = variations de F

piege : on derive par rapport a x (borne haute), pas t

I.5 — Calculer avec une primitive

∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)

F = UNE primitive quelconque de f

🖊 Demonstration

G(x)=∫ₐˣ f = primitive de f (theo. fond.) · F = G + C

G(a) = 0 -> F(a) − C = 0 -> C = F(a)

G(x) = F(x) − F(a) -> ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a)

independant de la primitive choisie (les +k s'annulent)

Consigne de la prof

DETAILLER les calculs de primitives comme en cours !

rediger : ① continuite ② primitive F ③ crochet ④ F(b)−F(a) ⑤ encadre

App — A, B, C par primitive

A = ∫₀¹ (x²+3x+1) dxF = (13)x³ + (32)x² + x

= (13 + 32 + 1) − 0 -> A = 176

B = ∫₀¹ e^−x dx= [−e^−x]₀¹ = −e⁻¹+1 -> B = 1 − 1e

lineaire : ∫₀¹ k e^−x dx = k(1 − 1e)

C = ∫₁² (3x − x + 1x³) dxF = 3ln x − (12)x² − 12x²

-> C = 3ln 2 − 98

Rediger systematiquement

continuite -> primitive detaillee -> crochet -> 2 bornes -> encadre

piege C : ln 1 = 0 mais les −12 − 12 = −1 ne disparaissent pas !

App (suite) — D, E, F (composees)

D = ∫₀¹ 2x+1x²+x+4 dxforme u'u , u=x²+x+4>0

= [ln(x²+x+4)]₀¹ = ln 6 − ln 4 -> D = ln(32)

E = ∫₀¹ 3x e^−x² dxforme u'eᵘ , u=−x² , ajuster −32

= [−(32)e^−x²]₀¹ -> E = (32)(1 − 1e)

F = ∫₁ᵉ 1+ln xx dxforme u'·u , u=1+ln x

= [(12)(1+ln x)²]₁ᵉ -> F = 32

3 formes composees (S11 !)

u'u → ln u (D, verifier u>0) · u'eᵘ → eᵘ (E, ajuster) · u'·u → (12)u² (F)

« f semble de la forme… avec u=… donc u'=… » puis ajuster par une CONSTANTE

II — Integration Par Parties (IPP)

u, v derivables · u', v' continues sur [a;b] :

∫ₐᵇ u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v'(x) dx

a gauche : produit sans primitive · a droite : ∫ qu'on sait faire

🖊 ROC

(uv)' = u'v + uv' -> primitive de (uv)' est uv

[uv]ₐᵇ = ∫ₐᵇ u'v dx + ∫ₐᵇ uv' dx (linearite)

-> ∫ u'v = [uv] − ∫ uv'

Comment choisir u' et v ?

v = ce qu'on derive pour simplifier (x, x², ln x…)

u' = ce qu'on sait integrer (eˣ, sin, cos, 1…)

cas mythique : pour ∫ln x dx -> v=ln x et u'=1 !

App IPP — I, J, K

I = ∫₀¹ x eˣ dxu=x , v'=eˣ -> u'=1 , v=eˣ

= [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e−1) -> I = 1

J = ∫₁ᵉ ln x dx(v'=1 !) u=ln x , v=x

= [x ln x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e−1) -> J = 1

K = ∫₁ᵉ (x²+2x)ln x dxu=ln x , v=(13)x³+x²

-> K = 4e³ + 9e² + 1118

Le reflexe ln

∫ln x : u'=1 PAR CŒUR (le x de v se simplifie avec 1x)

un ln en facteur -> poser u=ln x (on le derive pour le faire disparaitre)

App IPP — L = ∫₀¹ x²e^−x dx (DOUBLE)

1re IPPu=x² , v'=e^−x -> u'=2x , v=−e^−x

L = [−x²e^−x]₀¹ + 2∫₀¹ xe^−x dx = −e⁻¹ + 2L₁

2e IPPL₁ = ∫₀¹ xe^−x dx = 1 − 2e⁻¹

L = −e⁻¹ + 2(1 − 2e⁻¹) -> L = 2 − 5e

Principe de la double IPP

chaque IPP fait baisser le degre de x (x² → x → 1)

∫x²eˣ : 2 IPP · ∫x³eˣ : 3 IPP

⚠ signe : v = −e^−x (le − vient de a=−1) -> le suivre !

App IPP — I(x) = ∫₁ˣ (ln t)/(t²) dt

a)u=ln t , v'=1t² -> u'=1t , v=−1t

I(x) = [−ln tt]₁ˣ + ∫₁ˣ 1t² dt

= −ln xx + (−1x + 1) -> I(x) = 1 − 1+ln xx

b) primitives de f=ln xx²:

I = ∫₁ˣ f = primitive (theo. fond.) -> F(x) = −1+ln xx + C

Le pont entre les 2 theoremes

l'IPP calcule I(x) · le theoreme fondamental dit que ∫₁ˣ f EST une primitive

le « 1 » constant est absorbe dans le C

App IPP — suite Iₙ = (1)/(n!) ∫₀¹ (1−x)ⁿ e^−x dx

a) I₁u=1−x , v'=e^−x : crochet = 0 -> I₁ = 1e

b) recurrenceIPP sur (1−x)ⁿ⁺¹ : crochet = 1

∫(1−x)ⁿ⁺¹e^−x = 1 − (n+1)∫(1−x)ⁿe^−x

×1(n+1)! , or n+1(n+1)! = 1n! -> Iₙ₊₁ = 1(n+1)! − Iₙ

c)I₂ = 12 − 1e · I₃ = 1e − 13

Suite d'integrales + recurrence (obj. 5)

crochet souvent 0 ou 1 grace aux bornes bien choisies ((1−1)=0 !)

classique des factorielles : n+1n+1! = 1n!

App IPP — A, B, C (trigo)

A = ∫₀^π/2 x sin x dxu=x , v'=sin x , v=−cos x

= [−x cos x]₀^π/2 + [sin x]₀^π/2 -> A = 1

B = ∫₀^π/2 x² cos x dxu=x² , v=sin x

= π²4 − 2A -> B = π²4 − 2

C = ∫₁^e² ln x dx(u=ln x, v'=1) = 2e² − (e²−1) -> C = e² + 1

Trigo (S15 en approche)

primitive de sin = −cos · de cos = sin · cos(π2)=0, sin(π2)=1

B reinvestit A -> toujours regarder si la question precedente sert !

Ex — A = ∫₋₂⁵ |x| dx (2 facons)

|x| = −x (x≤0) · = x (x≥0)

1) Chasles(couper en 0) :

A = ∫₋₂⁰ (−x) dx + ∫₀⁵ x dx = [−(12)x²]₋₂⁰ + [(12)x²]₀⁵

= 2 + 252 -> A = 292

2) aires2 triangles : (12)(2)(2) + (12)(5)(5) = 292 u.a.

Chasles + valeur absolue

fonction par morceaux -> decouper au point ou l'expression change

verifier par les aires = excellent reflexe de controle

III — Proprietes

∫ₐᵃ f = 0 · ∫ᵇᵃ f = −∫ₐᵇ f (echanger les bornes -> signe)

Chasles : ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f = ∫ₐᵇ f

linearite : ∫(kf + k'g) = k∫f + k'∫g

Inegalites (a ≤ b)

positivitef ≥ 0 -> ∫ₐᵇ f ≥ 0 (l'integrale conserve le signe)

ordref ≥ g -> ∫ₐᵇ f ≥ ∫ₐᵇ g (conserve l'ordre)

⚠ Reciproque FAUSSE

∫f ≥ 0 n'implique PAS f ≥ 0 ! (les aires se compensent)

ex : ∫₋₂² x³ dx = 0 mais x³ ≠ 0 · toujours verifier a ≤ b

App — proprietes (I/J, Chasles)

1) I=∫₀¹ eˣ+1eˣ+2 , J=∫₀¹ 1eˣ+2

I+J = ∫₀¹ 1 dx = 1 · I−J = [ln(eˣ+2)]₀¹ = ln(e+23)

-> I = 12 + (12)ln(e+23) · J = 12 − (12)ln(e+23)

2) Chasleslinearite∫₋₃⁴f = −2+3 = 1 · ∫₁⁴(4f−3g) = 12−3 = 9

3) suite uₙ = ∫₀¹ (e^−nx)/(1+e^−x) dx

u₀ + u₁ = ∫₀¹ 1 dx = 1

u₁ = [−ln(1+e^−x)]₀¹ -> u₁ = 1 + ln(2e+1)

-> u₀ = 1 − u₁ = ln(e+12)

La ruse I+J / I−J

2 integrales dures dont la sommedifference est SIMPLE (memes denom.)

-> calculer les 2 combinaisons puis resoudre le petit systeme (classique Bac)

App — ENCADRER une integrale

methode① encadrer la fonction ② integrer l'encadrement (car a ≤ b)

3 exemples

1)sur [0;1] : x² ≤ x -> e^x² ≤ eˣ · e^x²>0

-> 0 ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ e−1

2)sur [1;e] : 0 ≤ ln x ≤ 1 -> 0 ≤ ∫₁ᵉ ln x dx ≤ e−1

3)x≥0 et e^−x>0 -> xe^−x ≥ 0 -> ∫₀ᵗ xe^−x dx ≥ 0

Rediger en 2 blocs TOUJOURS

« Encadrement de la fonction » (croissance expln, signe d'un produit)

« Integration de l'encadrement » en citant « car a ≤ b » (sinon points perdus)

IV.1 — Calculs d'aires

f positive: 𝒜 = ∫ₐᵇ f

f negative: 𝒜 = − ∫ₐᵇ f

signe variable: decouper (Chasles) selon le signe

entre 2 courbes (f ≥ g): 𝒜 = ∫ₐᵇ (f − g) dx = ∫(dessus − dessous)

2 exemples

ex1 f=x²−2x sur [0;2](≤0) : 𝒜 = −[(13)x³−x²]₀² -> 𝒜 = 43 u.a.

ex2 f=x−2 , g=1x sur [1;2](g≥f) :

𝒜 = ∫₁² (1x − x + 2) dx = [ln x − (12)x² + 2x]₁² -> 𝒜 = 12 + ln 2 u.a.

Toujours justifier

le signe de f (fonction negative) · la position relative (entre 2 courbes)

lecture graphique OK si le graphique est donne, sinon etude du signe

IV.2 — Valeur moyenne

f continue sur [a;b] (a≠b) :

m = 1b−a ∫ₐᵇ f(x) dx

hauteur du rectangle de largeur (b−a) de meme aire

Ex — nombre moyen de malades

f(x) = 16x² − x³ sur [0;16] (epidemie)

m = 116 ∫₀¹⁶ (16x²−x³) dx = 116·163843

-> m = 10243 ≈ 341 maladesjour

Interpreter (objectif 6)

« en moyenne ≈ 341 par jour » + image du rectangle de meme aire

LA question d'interpretation (epidemie, temperature, medicament… Grand Oral !)

BAC 1 — Iₙ=∫₀^π e^−nxsin x , Jₙ=∫₀^π e^−nxcos x

1)I₀ = ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π -> I₀ = 2

2a)sin x ≥ 0 et e^−nx>0 -> Iₙ ≥ 0

2b)Iₙ₊₁−Iₙ = ∫₀^π e^−nx(e^−x−1)sin x dx ≤ 0 -> decroissante

2c)decroissante + minoree par 0 -> (Iₙ) converge

3) limite par encadrement

a)sin x ≤ 1 -> Iₙ ≤ ∫₀^π e^−nx dx

b)∫₀^π e^−nx dx = [−(1n)e^−nx]₀^π = (1 − e^−nπ)/n

c)0 ≤ Iₙ ≤ (1−e^−nπ)/n → 0 -> gendarmes -> lim Iₙ = 0

Plan suite d'integrales

signe (positivite) · monotonie (signe de Iₙ₊₁−Iₙ) · convergence (monotone+bornee) · limite (gendarmes)

BAC 1 (suite) — IPP circulaire

4a facon 1u=e^−nx, v'=sin x -> Iₙ = 1 + e^−nπ − nJₙ

4a facon 2u=sin x, v'=e^−nx -> Iₙ = (1n)Jₙ (crochet=0)

4bJₙ=nIₙ -> Iₙ = 1+e^−nπ − n²Iₙ -> (n²+1)Iₙ = 1+e^−nπ

-> Iₙ = (1 + e^−nπ)/(n²+1)

5) script Python (seuil Iₙ < 0,1)

n=0, I=I₀=2 ; incrementer tant que I ≥ 0,1 :

ligne 5 : while I >= 0.1 :

renvoie n = 4 (I₃≈0,100 · I₄≈0,059)

IPP circulaire

2 IPP differentes de la MEME integrale -> 2 relations Iₙ/Jₙ -> systeme -> exact

crochets : cos(π)=−1, cos 0=1, sin π=sin 0=0 · Python : TANT QUE la condition tient

BAC 2 — vₙ = ∫₁ⁿ ln x dx (Vrai/Faux)

Aff : (vₙ) croissante-> VRAI

methodesigne de vₙ₊₁ − vₙ par Chasles :

vₙ₊₁ − vₙ = ∫ₙⁿ⁺¹ ln x dx

x ≥ n ≥ 1 -> ln x ≥ 0 -> ∫ ≥ 0 -> vₙ₊₁ ≥ vₙ

Combo Chasles + positivite

repond a TOUTE question « la suite ∫ est-elle monotone ? » en 3 lignes

verif (IPP) : vₙ = n ln n − n + 1 (v₁=0, v₂≈0,39, v₃≈1,30 : ↗)

BAC 3 — f(x) = a ln x (a>0)

1)f(x)=0 ⟺ ln x=0 -> x = 1

2)F = a[x ln x − x] : F'(x) = a ln x = f -> F primitive

3) airesur [1;x₀] (f≥0) : 𝒜 = F(x₀) − F(1)

-> 𝒜 = a(x₀ ln x₀ − x₀ + 1) u.a.

4) longueur AB constante

M(x₀ ; a ln x₀) · f'(x₀) = ax₀ · T : y = (ax₀)(x−x₀) + a ln x₀

A(0 ; a ln x₀ − a) · B(0 ; a ln x₀)

AB = |a ln x₀ − (a ln x₀ − a)| = a (independant de x₀ !)

Sous-tangente du log

melange tout : ln, primitive a VERIFIER (deriver F !), aire, tangente (S01)

AB = a constante = historique (Descartes) -> superbe Grand Oral

BAC 4 — equa diff + integrale

(E₀) y'=y · (E) y' = y − cos x − 3sin x

1)constante solution de (E₀) : k=0 -> fonction nulle

2)(E₀) : x ⟼ Ceˣ

3)h=2cos x+sin x : h'=h−cos x−3sin x -> h solution de (E)

4-5)f sol (E) ⟺ f−h sol (E₀) -> f = Ceˣ + 2cos x + sin x

6-7) condition + integrale

6)g(0)=0 -> C=−2 -> g(x) = −2eˣ + 2cos x + sin x

7)l'integrande EST g(x) ! G = −2eˣ − cos x + 2sin x

∫₀^π/2 g = [G]₀^π/2 -> 5 − 2e^π/2

S11 + S12 reunis

equa diff -> integrale (la logique de tes 2 dernieres sequences)

Q7 : cette expression est-elle deja apparue ? (l'integrande = g)

BAC 5 · A — (E) y' + 0,4y = e^−0,4t

1)u(t)=te^−0,4t : u'+0,4u = e^−0,4t -> u solution de (E)

2a)g=f−u sol (H) -> f sol (E) (par f'+0,4f = 0 + e^−0,4t)

2b)(H) y'=−0,4y -> Ce^−0,4t

2c)f = u + Ce^−0,4t -> f(t) = (t + C)e^−0,4t

2d)f(0)=1 -> C=1 -> f(t) = (t+1)e^−0,4t

Schema S11 a l'identique

solution particuliere a verifier -> homogene -> somme -> condition initiale

nouveaute : factorisation finale (t+C)e^−0,4t · sujet le + recent (sept. 2025)

BAC 5 · B — glycemie f(t)=(t+1)e^−0,4t

1a)f'(t) = (−0,4t + 0,6)e^−0,4t

1b)signe de −0,4t+0,6 (nul en 1,5) : ↗ [0;1,5] ↘ [1,5;6]

f(0)=1 · max f(1,5)=2,5e^−0,6≈1,37 · f(6)=7e^−2,4≈0,64

2-3) hypoglycemie + moyenne

2)f(t)=0,7 : bijection sur [1,5;6] -> unique α ≈ 5,615 h ≈ 5h37

3a) IPPu=t+1, v'=e^−0,4t, v=−2,5e^−0,4t :

∫₀⁶ f dt -> −23,75e^−2,4 + 8,75

3b)m = 16 ∫₀⁶ f -> m ≈ 1,10 g·L⁻¹

3c)f sol (E) -> ∫f = 2,5∫e^−0,4t − 2,5(f(6)−f(0)) (sans IPP !)

Resume du chapitre (contexte medical)

derivee-produit, variations, TVI (S01), IPP, valeur moyenne, AUC

ruse : utiliser l'equa diff pour integrer sans IPP (∫f' = f(b)−f(a)) · Grand Oral Medikinet

Formulaire — l'essentiel

∫ₐᵇ f = [F]ₐᵇ = F(b) − F(a) (detailler F !)

IPP : ∫ u'v = [uv]ₐᵇ − ∫ uv' (v'=1 pour ln !)

Chasles : ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f = ∫ₐᵇ f · linearite : ∫(kf+k'g)=k∫f+k'∫g

a ≤ b : f≥0 -> ∫≥0 · f≥g -> ∫f≥∫g (citer « car a ≤ b »)

moyenne : m = 1b−a ∫ₐᵇ f

Aires & suites

f≥0 : ∫f · f≤0 : −∫f · signe variable : Chasles · 2 courbes : ∫(dessus−dessous)

theo. fond. : F(x)=∫ₐˣ f = LA primitive qui s'annule en a (F'=f)

suite ∫ : signe (positivite) · monotonie (Iₙ₊₁−Iₙ) · convergence (monotone+bornee) · limite (gendarmes) · exact (IPP)

Rediger un calcul d'integrale

① continuite ② primitive DETAILLEE ③ crochet ④ F(b)−F(a) ⑤ encadre

⚠ Les 8 pieges

① oublier le dx · confondre la variable muette t et la borne x

② positiviteordre sans a ≤ b · croire ∫f≥0 -> f≥0 (FAUX)

③ IPP : mauvais choix uv' · signes de v (e^−x -> −e^−x ; sin -> −cos)

④ oublier « u,v derivables, u',v' continues »

⑤ aire negative : oublier le − · 2 courbes : justifier qui est au-dessus

⑥ ∫fg ≠ ∫f × ∫g !! (c'est pour ca que l'IPP existe)

⑦ dans [F]ₐᵇ oublier la borne du bas (F(a) ≠ 0 !)

⑧ moyenne : oublier le 1b−a ou oublier d'INTERPRETER

🎤 Grand Oral

le symbole ∫ ?un S allonge (Leibniz 1675) = somme de rectangles f(x)dx (Riemann)

pourquoi « fondamental » ?relie aires (Archimede) et tangentes (Newton-Leibniz) : l'aire est une primitive

ailleurs ?glycemie moyenne (2025 !), distance=∫vitesse, AUC d'un medicament (Medikinet !), densites (S14)

integrer sans primitive ?oui (e^x²) : encadrements, rectangles, Monte-Carlo