Entraînement Maths S11 (propre)

Seq. 11 — Primitives & equa. diff. (2)

Butresoudre y' = ay · y' = ay + b · y' = ay + f (second membre variable)

suite directe de la S02

Feuille de route

I.primitives : operations (S02) + fonctions composees (nouveau)

II.y' = ay et y' = ay + b (3 extraits Bac 2021)

III.y' = ay + f (second membre non constant) : propriete + demo + Bac

La convention du corrige

methode annoncee -> chaque etape justifiee -> conclusion

resultats finaux encadres et simplifies au maximum

I — Operations (rappel S02)

F+G primitive de f+g · kF primitive de kf

⚠ aucune formule pour produit / quotient !

Primitives usuelles

a -> ax · x -> (12)x² · xⁿ -> xⁿ⁺¹n+1 (n≠−1)

1x -> ln x · 1x² -> −1x · 1√x -> 2√x

eˣ -> eˣ

cos(ax+b) -> (1a)sin(ax+b) · sin(ax+b) -> −(1a)cos(ax+b)

Applications 1-2 = deja S02

primitives de x³+2x, de 3x − 1x² − 2eˣ, F(e)=1… -> revoir la S02

I.3 — Primitives composees (NOUVEAU)

u' × (v'∘u) -> v∘u

u' eᵘ -> eᵘ

u' uⁿ -> uⁿ⁺¹n+1 (n≠−1)

u'√u -> 2√u (u>0)

u'u -> ln(u) (u>0)

u'u -> ln(|u|) (u≠0)

LA methode en 3 temps

① reperer u (au carre, sous √, dans l'exp, au denominateur…)

② calculer u' -> verifier qu'il apparait en facteur (ajuster par une CONSTANTE)

③ reconnaitre la forme du tableau -> ecrire F

App — primitives composees

a) f = x e^x²poser u=x², u'=2x

f = (12)·2x e^x² = (12)u'eᵘ -> F = (12)e^x²

b) f = x√(x²+1)u=x²+1 , u'=2x

f = (12)u'√u -> F = √(x²+1)

c) f = 1(1−2x)² sur ]−∞;12[u=1−2x , u'=−2

f = −(12)u'u⁻² -> F = 12(1−2x)

d) f = 2e^2x/(e^2x+1)u=e^2x+1 , u'=2e^2x

f = u'u (rien a ajuster !) -> F = ln(e^2x+1)

Le reflexe-cle

tout se joue sur la constante d'ajustement (12, 12, −12, 1)

on n'ajuste QUE par une constante, jamais par une fonction de x !

II — y' = ay (sans second membre)

a≠0solutions sur ℝ :

y' = ay ⟹ y = Ce^ax (C ∈ ℝ)

une infinite de solutions (une par C)

y' = ay + b (second membre constant)

y' = ay + b ⟹ y = Ce^ax − ba

💡 conseil prof : calculer −ba AVANT

Structure (demontree S02)

solution generale = solution particuliere constante + solutions de y'=ay

= (−ba) + Ce^ax

Bac — 3y' + y = 0 (Centres etr. 2021)

1) isoler y'3y'+y=0 ⟺ y' = −(13)y

-> forme y'=ay , a = −13

-> f(x) = Ce^−x/3 (C ∈ ℝ)

2) passe par M(0;2)f(0)=2 ⟺ C·e⁰ = 2 ⟺ C=2

-> f(x) = 2e^−x/3

Le piege

donnee sous forme 3y'+y=0 -> TOUJOURS isoler y' pour lire a

ici a = −13 (pas −3 ni 3 !)

Bac — la boulangerie (Sujet 0, 2021)

baguette : 225°C -> ambiante 25°C · (E) y'+6y=150

1a) f(0)= 225

1b) resoudrey'+6y=150 ⟺ y' = −6y+150

a=−6 , b=150 , −ba = −150−6 = 25

-> f(t) = Ce^−6t + 25

1c) f(0)=225⟺ C+25=225 ⟺ C=200

-> f(t) = 200e^−6t + 25

Sens physique (loi de Newton)

−ba = 25 = temperature ambiante (equilibre) · C = 200 = ecart initial

t→+∞ : e^−6t→0 -> refroidit vers 25°C (Grand Oral !)

Bac — y' = −0,4y + 0,4 (Asie 2021)

1a) sol. particuliere constantef=k , f'=0

0 = −0,4k + 0,4 ⟺ k = 0,40,4 = 1 -> f = 1

1b) toutes les solutions= particuliere + homogene

-> g(t) = 1 + Ce^−0,4t (C ∈ ℝ)

1c) g(0)=10⟺ C+1=10 ⟺ C=9

-> g(t) = 9e^−0,4t + 1

L'autre methode

au lieu de −ba : chercher la solution constante (a) puis ajouter l'homogene (b)

il faut savoir faire les DEUX !

III — y' = ay + f (second membre variable)

g = une solution particuliere connue de (E)

solutions : y = g(x) + Ce^ax (C ∈ ℝ)

= solution particuliere g + solutions de y'=ay

🖊 Demonstration (a savoir refaire)

g particuliere : g'(x) = a g(x) + f(x)

h solution : h'(x) = a h(x) + f(x)

soustraire g': h'−g' = a h + f − (a g + f)

h'(x) − g'(x)

a(h(x) − g(x))

-> h − g solution de y'=ay -> h−g = Ce^ax

-> h(x) = g(x) + Ce^ax ∎

L'astuce de la demo

soustraire g' aux deux membres -> faire apparaitre h − g (equation homogene)

= le schema des « montrer que f−g est solution de y'=ay » du Bac

Bac — y' = −y + e^−x (Polynesie 2021)

g : x ⟼ xe^−x solution particuliere (admis)

1) (H) y'=−y, a=−1 -> x ⟼ Ce^−x

2) solutions de (E)= g + homogene :

-> f(x) = xe^−x + Ce^−x

3) f(0)=2⟺ C=2 -> factoriser par e^−x :

-> f(x) = e^−x(x + 2)

Le detail qui rapporte

le corrige factorise le resultat final par e^−x

pense toujours a factoriser quand c'est possible !

Bac — y' = y + 2xeˣ (Metropole 2021)

1) u = x²eˣ particuliere ?

u' = 2xeˣ + x²eˣ

y+2xeˣ = x²eˣ + 2xeˣ = u' -> u solution particuliere

2) g = f − u -> resoudre

a)f solution : f' = f + 2xeˣ · soustraire u' :

f'−u' = f + 2xeˣ − (2xeˣ + u) = f − u

-> g' = g (g solution de y'=y)

b)y'=y , a=1 -> g = Ceˣ

f = u + Ceˣ = x²eˣ + Ceˣ -> f(x) = (x² + C)eˣ

Enchainement typique du Bac

equa diff -> etude de fonction (diapo suivante)

« montrer que f−g solution de y'=y » = soustraire g'

3a) Signe de u'

u' = eˣ(x²+2x) = eˣ · x(x+2) · eˣ>0

-> signe de x(x+2) (nul en −2 et 0) :

u'(x) : + sur ]−∞;−2[ · − sur ]−2;0[ · + sur ]0;+∞[

3b) Variations de u

u(−2) = 4e⁻² · u(0) = 0

↗ jusqu'a max u(−2)=4e⁻² ↘ jusqu'a min u(0)=0 ↗

3c) Concavite (u″)

u″ = eˣ(x²+4x+2) · eˣ>0 -> signe de x²+4x+2

Δ = 16 − 8 = 8 · racines −2 ± √2

u″<0 entre les racines -> u concave sur ]−2−√2 ; −2+√2[

3 savoir-faire de la S08

signe de u' (factoriser + eˣ>0) · variations (u(−2)=4e⁻²) · concavite (u″, Δ)

App q1 — y' = y + x − 3

a) g = −x+2 particuliere ?g'=−1

y+x−3 = (−x+2)+x−3 = −1 = g' -> g solution

b) f solution -> f−g solution de y'=y

f'−g' = f+x−3 − (−1) = f+x−2 = f−g -> (f−g)' = f−g

c) toutes les solutionsy'=y -> Ceˣ :

-> f(x) = −x + 2 + Ceˣ

Ne pas partir de la conclusion !

on part de l'hypothese « f solution » et on soustrait g' aux 2 membres

q2 — 2y' + 3y = 6x+1 (g affine)

poser g = ax+b , g'=a · 2a + 3(ax+b) = 6x+1

identification : 3a=6 et 2a+3b=1

-> a=2 , b=−1 -> g = 2x−1

homogene y'=−(32)y -> Ce^−1,5x

-> f(x) = 2x − 1 + Ce^−1,5x

q3 — y' − 2y = x²

a) g = −(12)x² − (12)x − (14), g' = −x − (12)

g'−2g = x² ✓ -> g solution particuliere

b)homogene y'=2y -> Ce^2x :

-> f(x) = −(12)x² − (12)x − (14) + Ce^2x

La technique q2 a retenir

« g affine solution particuliere » -> poser g=ax+b -> identification (systeme)

si polynome degre 2 suggere -> poser ax²+bx+c (meme methode)

Formulaire — les 3 equations

y' = ay ⟹ y = Ce^ax (homogene)

y' = ay + b ⟹ y = Ce^ax − ba (−ba AVANT !)

y' = ay + f ⟹ y = g(x) + Ce^ax (g particuliere)

Primitives composees

u' eᵘ -> eᵘ · u'u -> ln(u) · u'√u -> 2√u

u' uⁿ -> uⁿ⁺¹n+1 (n≠−1 ; u>0 pour ln√)

« Montrer que g est particuliere » (3 etapes)

① justifier g derivable + calculer g'

② remplacer y par g dans le second membre, simplifier

③ constater qu'on obtient g' -> conclure

« Resoudre y'=ay+f » (3 etapes)

① solution particuliere g (donnee, ou affine ax+b par identification)

② homogene : isoler y' -> lire a -> Ce^ax

③ somme f = g + Ce^ax + condition initiale (e⁰=1 !)

⚠ Les 8 pieges

① lire a sans isoler y' : 3y'+y=0 -> a=−13 (pas −3 !)

② signe de −ba : y'+6y=150 -> −150−6=+25 (au brouillon)

③ oublier « C ∈ ℝ » -> infinite de solutions, pas une !

④ oublier de justifier la derivabilite de g avant g'

⑤ primitive composee : ajuster par une fonction de x = INTERDIT (constante seule)

⑥ oublier les conditions : u>0 (ln, √) · u≠0 · n≠−1

⑦ oublier e⁰=1 pour C · rendre un resultat non factorise

⑧ « si f solution… » : partir de l'hypothese, pas de la conclusion !

🎤 Grand Oral

pourquoi une infinite ?la derivation efface une constante : chaque condition f(0) selectionne UNE courbe (theoreme de Cauchy)

a quoi ca sert ?refroidissement de Newton (baguette), condensateur, pharmacocinetique (ton Medikinet !), populations

lien primitives ↔ equa diff ?chercher une primitive de f = resoudre y'=f (« remonter la derivation »)

pourquoi particuliere + homogene ?la linearite : regime transitoire (Ce^ax→0) + regime permanent (g)