Entraînement Maths S10 (propre)

Seq. 10 — ln (partie 2)

Butlimites avec ln (croissances comparees) · etudes de ln u · primitives · equations

Feuille de route

miroirexp ↔ ln

limites9 limites (toutes les F.I.)

App 1convexite de ln (tangentes / inegalites)

App 2famille gₙ (bijection !)

App 3-4etudes de ln u (asymptotes, primitives)

App 5equations / inequations / Vrai-Faux

Les 3 reflexes

① limite -> croissance comparee (ln xx → 0 · x ln x → 0)

② ln u -> domaine u>0 (tableau) puis (ln u)' = u'/u

③ equation -> condition d'existence puis changement de variable

Miroir exp ↔ ln

signeeˣ > 0 (partout) ↔ ln x > 0 ⟺ x>1 · ln 1=0 · ln e=1

derivee(eˣ)'=eˣ ↔ (ln x)' = 1x · (ln u)' = u'u (u>0)

limiteslim x→0⁺ ln x = −∞ · lim x→+∞ ln x = +∞

algebreln(ab)=ln a+ln b · ln(aⁿ)=n ln a · ln√a = (12)ln a

Croissances comparees (le cœur)

lim x→0⁺ x ln x

lim x→+∞ ln xxⁿ

0 (n≥1)

« x l'emporte sur ln x »

miroir exp : lim x→+∞ eˣxⁿ = +∞ · lim x→−∞ x eˣ = 0

L'idee

en 0⁺ : x ecrase ln x -> x ln x → 0

en +∞ : x l'emporte -> ln xx → 0 · courbes expln symetriques par y=x

Ex — limites avec ln (a→d)

a) lim (x − ln x) en +∞« ∞−∞ »

factoriser par x : x − ln x = x(1 − ln xx)

ln xx → 0 -> ( ) → 1 -> lim = +∞

b) lim ln xx−1 en +∞« ∞/∞ »

= ln xx × xx−1 -> 0×1 -> lim = 0

c) lim (1x + ln x) en 0⁺F.I.

factoriser par 1x : = (1x)(1 + x ln x) -> lim = +∞

d) lim (4x − x ln x − 3 ln x) en 0⁺

4x→0 · x ln x→0 · −3 ln x→+∞ -> somme = +∞

3 armes pour les F.I.

① factoriser par x (∞−∞ en +∞) ② quotient de reference ln xx

③ factoriser par 1x (en 0⁺ -> creer x ln x) · sinon simple somme !

Exo 16 — limites (a→e)

a) 7x − ln x (+∞)= x(7 − ln xx) -> +∞

b) x ln x − 5x = x(ln x − 5)

en +∞ : +∞ · en 0⁺ : x ln x→0, 5x→0 -> 0

c) 1x ln x en 0⁺

x ln x → 0⁻ (ln x<0 sur ]0;1[) -> −∞

d) 1x − ln x: en +∞ −∞ · en 0⁺ +∞ (pas de F.I.)

e) eˣln x: en +∞ = eˣ/xln xx -> +∞ · en 0⁺ 0⁻

Le c) est subtil

x ln x → 0 ne suffit pas -> il faut le SIGNE : 0⁻ -> quotient −∞

e) superpose eˣ/x (sommet) et ln xx (bas) de la hierarchie

App 1 — ln concave, tangentes

f = ln x sur ]0;+∞[ · A(1;0) · B(e;1)

1) convexitef'=1x , f″= −1x² < 0 -> f concave

2) Tangentes + inegalites

en A(1;0)f(1)=0 , f'(1)=1 -> (TA) : y = x−1

en B(e;1)f(e)=1 , f'(e)=1e -> (TB) : y = xe

concave -> Cf sous ses tangentes :

ln x

≤

x−1

ln x

≤

3) Corde (AB) + encadrement

m = 1−0e−1 = 1e−1 -> (AB) : y = x−1e−1

concave -> Cf au-dessus de ses cordes :

x−1e−1	≤	ln x
	≤	x−1 sur [1;e]

Le miroir de la S08

eˣ ≥ x+1 (convexe) ↔ ln x ≤ x−1 (concave)

ln x pris en sandwich entre la corde et la tangente

App 2 — gₙ(x)=ln(x²ⁿ⁺¹+x)

1) domainex²ⁿ⁺¹+x = x(x²ⁿ+1) · x²ⁿ+1 ≥ 1>0

-> signe de x -> Iₙ = ]0;+∞[

2) point fixegₙ(1) = ln(1+1) = ln 2 -> A(1;ln 2) ∈ Cₙ (∀n)

3) Variations

u = x²ⁿ⁺¹+x > 0 · u' = (2n+1)x²ⁿ+1

gₙ'(x)

(2n+1)x²ⁿ+1x²ⁿ⁺¹+x

num >0 et denom >0 -> gₙ' > 0 (strictement croissante)

4) Bijection -> unique αₙ

lim x→0⁺ gₙ = −∞ · lim x→+∞ gₙ = +∞

continue + strictement croissante -> bijection ]0;+∞[ → ℝ

0 ∈ ℝ -> gₙ(x)=0 : unique solution αₙ (TVI / bijection)

4b) n=2 : encadrer α₂

g₂(α₂)=0 ⟺ α₂⁵+α₂ = e⁰ = 1 · poser p(x)=x⁵+x

x	0,75	0,76
p(x)	0,9873	1,0136

-> 0,75 < α₂ < 0,76 (ampl. 10⁻²) -> α₂ ≈ 0,8

L'exercice-synthese

domaine par factorisation-signe · (ln u)'=u'/u · theoreme de la bijection

astuce : g₂(α₂)=0 -> p(α₂)=1 (composer par exp) -> balayer le POLYNOME

App 3 — f = ln(2x/(x−3))

1) domaine2xx−3 > 0 -> tableau -> etude sur ]3;+∞[

2) Limites + asymptotes

en 3⁺2xx−3 → +∞ -> lim f = +∞ (asymptote x=3)

en +∞2xx−3 = 21 − 3x → 2 -> lim f = ln 2

asymptote horizontale y = ln 2

3) Variations (ln u)

u = 2xx−3 · u' = −6(x−3)² (u' d'abord !)

f'(x)	=	u'u
	=	−3x(x−3)

x>3 -> x(x−3)>0 -> f' < 0 (decroissante : +∞ → ln 2)

4) Convexite

f' croissante sur ]3;+∞[ -> f convexe

confirme par le calcul : f″ > 0

Etude-type de ln u

① domaine (signe de u) ② limites par composition (u→2 -> ln 2 asymptote !)

③ f'=u'/u (u' d'abord) ④ convexite via f' croissante (S08)

App 4 · A — g = ln(x+1) − ln x

1)g(x) = ln(x+1x) = ln(1 + 1x)

2) signe1+1x > 1 -> ln > ln 1 = 0 -> g(x) > 0

3) limitesen 0⁺ : +∞ · en +∞ : 0

4-5) G = (x+1)ln(x+1) − x ln x

[(x+1)ln(x+1)]' = ln(x+1)+1 · [x ln x]' = ln x+1

G'(x)	=	ln(x+1) − ln x
	=	g(x)

-> G' = g > 0 -> G croissante

G″(x)	=	−1x(x+1)
	<	0 -> G concave

6) Primitive de g

G' = g -> G est une primitive de g

condition G₁(1)=0 : 2 ln 2 + c = 0 -> c = −2 ln 2

-> G₁(x) = (x+1)ln(x+1) − x ln x − 2 ln 2

B — f = x+2 + g(x)

1)lim x→0⁺ f = 2 + (+∞) = +∞ -> asymptote x=0

2)f − (x+2) = g(x) > 0 -> Cf au-dessus de y=x+2

L'exercice qui BOUCLE tout

primitive de ln(x+1)−ln x = (x+1)ln(x+1) − x ln x (pattern x ln x−x, S01)

constante par G₁(1)=0 (S02) · concavite par G″ (S08) · position par le signe

App 5 — equations / inequations

1a) ln(6x−1) = 2C.E. x > 16

⟺ 6x−1 = e² ⟺ x = e²+16 -> S = e²+16

1b) ln(1x) ≤ −1C.E. x>0

−ln x ≤ −1 ⟺ ln x ≥ 1 ⟺ x ≥ e -> S = [e ; +∞[

1c) ln(x−3) + ln(9−x) = 0

C.E. x ∈ ]3;9[ · somme -> ln[(x−3)(9−x)] = ln 1

⟺ (x−3)(9−x) = 1 ⟺ x² − 12x + 28 = 0

Δ = 144 − 112 = 32 · √Δ = 4√2

x = 6 ± 2√2 ≈ 3,17 et 8,83 (∈ ]3;9[)

-> S = 6−2√2 ou 6+2√2

1d) ln(3−x) − ln(x+1) ≤ 0

C.E. x ∈ ]−1;3[ · ln(3−x) ≤ ln(x+1)

⟺ 3−x ≤ x+1 ⟺ x ≥ 1 -> S = [1 ; 3[

Le rituel integral

① condition d'existence (chaque ln !) ② transformer (ln a+ln b = ln ab)

③ resoudre (bijection, discriminant) ④ CONFRONTER aux conditions

2a) (ln x)² − ln x − 6 = 0

C.E. x>0 · poser X = ln x -> X² − X − 6 = 0

Δ = 25 · X = −2 ou 3 -> ln x = −2 ou 3

-> S : x = e⁻² ou e³

2b) e^2x + 2eˣ − 1 = 0

poser X = eˣ (X>0) -> X² + 2X − 1 = 0

Δ = 8 · X = −1 ± √2

X = −1−√2 < 0 (rejete) · X = −1+√2 > 0 ✓

eˣ = −1+√2 -> S : x = ln(−1+√2)

2c) (1+ln x)/(2−ln x) > 0

C.E. x>0 , x ≠ e² · signe du quotient :

1+ln x : − puis + (change en e⁻¹)

2−ln x : + puis − (change en e²)

-> quotient > 0 entre les deux -> S = ]e⁻¹ ; e²[

Vrai/Faux (e^2x+2eˣ−1=0)

Aff.1 « unique solution ln(−1+√2) »-> VRAI (resolution complete)

Aff.2 « une solution »-> VRAI (verification : = 0)

2 changements de variable

X = ln x (libre) vs X = eˣ (X>0 -> rejeter les racines <0 !)

« unique » exige la resolution COMPLETE · « une » = simple VERIFICATION

Formulaire — croissances comparees

lim x→0⁺ x ln x

lim x→+∞ ln xxⁿ

« x l'emporte » · armes : factoriser par x (+∞), par 1x (0⁺), quotient ln xx

Derivee & convexite de ln

(ln u)' = u'u (u>0) · domaine ln u : tableau de signes de u

u' d'abord · limites par COMPOSITION (u→2 -> ln 2 asymptote !)

ln CONCAVE : sous ses tangentes (ln x ≤ x−1 · ln x ≤ xe)

au-dessus de ses cordes · f″ = −1x² < 0 · miroir de eˣ ≥ x+1

Primitives & equations

[(x+1)ln(x+1) − x ln x]' = ln(x+1) − ln x · [x ln x]' = ln x+1

constante par la condition (G₁(1)=0 -> c = −2 ln 2)

equation : C.E. -> transformer (ln a+ln b=ln ab) -> bijection -> CONFRONTER

changements : X = ln x (libre) · X = eˣ (X>0, rejeter !)

La bijection

continue + strictement monotone + limites aux bornes -> une unique solution

encadrer α : composer par exp -> se ramener a un polynome

⚠ Les 8 pieges

① 1x ln x : preciser le signe 0⁻ (ln x<0 sur ]0;1[)

② limite d'interieur FINIE -> asymptote horizontale (u→2 -> ln 2)

③ equation ln+ln : 2 conditions d'existence + confrontation

④ X = eˣ : rejeter la racine négative (eˣ>0)

⑤ ln x ≤ x−1 (concave) vs eˣ ≥ x+1 (convexe) : ne pas mélanger

⑥ deriver ln u : calculer u' séparément d'abord

⑦ primitive avec condition : ne pas oublier + c puis la valeur

⑧ « unique solution » ≠ « une solution » (complete vs verification)

🎤 Grand Oral

pourquoi x l'emporte sur ln x ?ln croit « infiniment lentement » (deriv. 1x→0) : doubler ln x exige d'elever x au carre -> echelles log (pH, decibels, Richter)

a quoi sert la concavite de ln ?ln x ≤ x−1 = brique des inegalites de convexite (inegalite arithmetico-geometrique, entropie)

G = (x+1)ln(x+1) − x ln x= (a un facteur pres) l'entropie binaire ! primitive ↔ aire -> S12 Integration