Entraînement Maths S09 (propre)

Seq. 09 — Loi binomiale

Butmodeliser par epreuves independantes -> schema de Bernoulli -> loi binomiale

(le chapitre de probas le + rentable du bac)

Feuille de route

I.succession d'epreuves independantes (arbre)

II.epreuveloi/schema de Bernoulli (E=p, V=p(1−p))

III.loi binomiale : P(X=k), E, V, calculatrice

App 1→7 : toutes les formulations + 5 sujets bac

Le fil rouge

① redaction-type « on repete n fois, identique & independante »

② calculatrice ③ seuil par tableau ④ optimisation par le ln (sens qui change !)

I — Epreuves independantes

defn experiences dont les resultats ne dependent pas les uns des autres

proprieteΩ = Ω₁×⋯×Ωn :

P(x₁,…,xn)

P(x₁) × ⋯ × P(xn)

proba d'une issue = produit le long du chemin

App — piece · de(4) · piece truquee

E₁ piece : P(P)=P(F)=0,5

E₂ de(4) : P(1)=…=P(4)=0,25

E₃ piece truquee : P(P)=23 , P(F)=13

indep.-> P(x₁,x₂,x₃) = P(x₁)·P(x₂)·P(x₃)

P(2 Piles et un nombre pair)

A = {(P,2,P) ; (P,4,P)} (incompatibles)

P(P,2,P)	=	12 × 14 × 23
	=	112

P(A)	=	112 + 112
	=	16
	≈	0,167

verif directe : 12 × 12 × 23 = 16 (pair : 24=12)

Redaction en 3 temps

① decrire chaque Eᵢ (univers + probas) ② justifier l'independance

③ proba issue = produit ; somme sur les chemins incompatibles

II — Epreuve de Bernoulli

defexperience a 2 issues : succes S (p) · echec S̄ (1−p)

ex : « etre gaucher » p=0,1 · « piece defectueuse » p=0,02

Loi de Bernoulli

X = 1 (succes) ou 0 (echec) : P(X=1)=p , P(X=0)=1−p

E(X)

V(X)

p(1−p)

σ(X)

√(p(1−p))

demo : E = 0×(1−p) + 1×p = p

V = E(X²)−E(X)² = p−p² = p(1−p)

Schema de Bernoulli (n;p)

= repetition de n epreuves identiques et independantes de parametre p

Modeliser (redaction type)

1)10 lancers piece, compte « Face » -> (n=10 ; p=0,5)

2)5 lancers de, faces paires -> (n=5 ; p=0,5)

3)3 tirages AVEC remise (7 rouges17) -> (n=3 ; p=717)

4)3 tirages SANS remise -> PAS un schema (ni identiques ni indep.)

La phrase a recopier PARTOUT

« on repete n fois de facon identique et independante une epreuve de Bernoulli dont le succes « … » a pour proba p »

piege n°1 : sans remise ⇒ PAS Bernoulli (avec remise ⇒ oui)

III — Loi binomiale ℬ(n;p)

X compte les succes dans un schema (n;p) : X ↪ ℬ(n;p)

Formulepour k ∈ {0,…,n} :

P(X=k)

(nk) p^k (1−p)^n−k

ROC — demonstration exigible

① un chemina k succes et n−k echecs pese p^k(1−p)^n−k

② nb de chemins= choisir la place des k succes = (nk)

-> P(X=k) = (nk) p^k(1−p)^n−k ∎

Esperance, variance (admises)

E(X)

V(X)

np(1−p)

σ(X)

√(np(1−p))

P(X=0)=(1−p)ⁿ · P(X=n)=pⁿ

Calculatrice — ℬ(10;0,6)

P(X=k)-> binomFdp(n,p,k)

P(X≤k)-> binomFRep(n,p,k) (cumul)

P(X=4)	=	(104)·0,6⁴·0,4⁶
	≈	0,1115

« au plus 4 » : P(X≤4) ≈ 0,1662

« au moins 4 » : P(X≥4) = 1−P(X≤3) ≈ 0,9452

FORMULE sur la copie, calculatrice ensuite

La ROC en 2 idees

un chemin pese p^k(1−p)^n−k · il y a (nk) chemins (S07 !)

cloche centree sur E(X)=np · σ grand -> plus etale

Ex — 3 lancers, P(Face)=0,3

1) Modelisationn=3, succes « Face », p=0,3

-> X ↪ ℬ(3 ; 0,3)

2) P(X=k) par la formule

chaque succes -> ×0,3 · chaque echec -> ×0,7 · (3k) chemins

P(X=0)	=	(30)·0,7³
	=	0,343

P(X=1)	=	3·0,3·0,7²
	=	0,441

P(X=2)	=	3·0,3²·0,7
	=	0,189

P(X=3)	=	0,3³
	=	0,027

verif : 0,343+0,441+0,189+0,027 = 1 ✓

Reflexes

n grand -> plus d'arbre possible -> la formule generale

somme des P(X=k) = 1 · coeffs 1,3,3,1 (Pascal, S07)

App 1 — ℬ(10;0,3) · formulations

a)P(X=3) = (103)·0,3³·0,7⁷ ≈ 0,2668 binomFdp

b)« au plus 3 » = X≤3 : P(X≤3) ≈ 0,6496 binomFRep

c)P(X≤4) ≈ 0,8497

d)« X≥5 » contraire de « X≤4 » :

P(X≥5)	=	1 − P(X≤4)
	≈	0,1503

e)« au moins 2 » = X≥2 :

P(X≥2)	=	1 − P(X≤1)
	≈	0,8507

f)« moins de 4 » = X≤3 (strict + entier) ≈ 0,6496

Dictionnaire des formulations

« au plus k » = X≤k · « au moins k » = X≥k -> 1−P(X≤k−1)

« moins de k » = X≤k−1 (strict + entier !)

la calc. ne connait que =k (Fdp) et ≤k (FRep)

App 1 (suite) — intervalles

regleP(a≤X≤b) = P(X≤b) − P(X≤a−1)

gh)P(4≤X≤8) = P(X≤8)−P(X≤3) ≈ 0,3502

i)4<X≤8 = 5≤X≤8 : P(X≤8)−P(X≤4) ≈ 0,1501

j)4<X<8 = 5≤X≤7 : P(X≤7)−P(X≤4) ≈ 0,1487

k) μ ± σ (question moderne)

E(X)	=	10×0,3
	=	3

σ(X) = √(10×0,3×0,7) = √2,1 ≈ 1,4491

[E−σ ; E+σ] ≈ [1,55 ; 4,45] -> X entier -> {2;3;4}

P(2≤X≤4)	=	P(X≤4) − P(X≤1)
	≈	0,7004

≈ 70 % dans μ±σ (concentration autour de la moyenne)

Mecanique des intervalles

P(a≤X≤b) = P(X≤b) − P(X≤a−1) · bornes strictes -> larges (X entier)

k) : X dans μ±σ ≈ 70 % -> vers les intervalles de fluctuation

App 2 — lot de 50, p=0,3

1)50 tests indep., succes « defectueux » -> X ↪ ℬ(50;0,3)

2) E, V, σ

E(X)	=	50×0,3
	=	15

en moyenne 15 defectueux par lot (sur un grand nombre de lots)

V(X)	=	50×0,3×0,7
	=	10,5

σ(X)	=	√10,5
	≈	3,24

3) Calculs (a 10⁻⁴)

P(X=25) = (5025)·0,3²⁵·0,7²⁵ ≈ 0,0014

P(X≤9) ≈ 0,0402 · P(X≥10) = 1−P(X≤9) ≈ 0,9598

« X>14 » = X≥15 : P(X>14) ≈ 0,5532

P(X≥1)	=	1 − 0,7⁵⁰
	≈	1,0000

0,7⁵⁰ ≈ 1,8×10⁻⁸ negligeable, PAS nul

P(10≤X≤20) ≈ 0,9120 · P(10<X≤20) ≈ 0,8734

Toujours interpreter

l'esperance : « sur un grand nombre de…, en moyenne… » (exigee)

P(X≥1)≈1,0000 : dire negligeable, pas nul

4a) plus grand k : P(X≤k) ≤ 0,25

k ↦ P(X≤k) croissante :

k	12	13
P(X≤k)	0,2229	0,3279

-> k = 12 (0,2229 ≤ 0,25 < 0,3279)

4b) plus grand k : P(X≥k) ≥ 0,98

k ↦ P(X≥k) decroissante :

k	9	10
P(X≥k)	0,9817	0,9598

-> k = 9 (0,9817 ≥ 0,98 > 0,9598)

5) Optimisation : plus petit n

Xn ↪ ℬ(n;0,3) · « au moins un » = contraire de « aucun » :

P(Xn≥1)	=	1 − 0,7ⁿ
	≥	0,9999

0,7ⁿ

≤

0,0001

ln(croissante) : n·ln(0,7) ≤ ln(10⁻⁴)

ln(0,7) < 0 -> division : le sens CHANGE :

n	≥	ln(0,0001)ln(0,7)
	≈	25,8

-> n entier -> n = 26

verif : 0,7²⁵≈1,34×10⁻⁴ ; 0,7²⁶≈9,39×10⁻⁵

2 outils de seuil

① tableau (binomFRep) en encadrant k / k+1 (preciser ↗ ou ↘)

② « au moins un » : 1−(1−p)ⁿ puis ln (sens change !) + verif numerique

App 3 — QCM ℬ(3;0,25)

a)3 questions, 1 bonne sur 4 : p=14=0,25 -> X ↪ ℬ(3;0,25)

E(X) = 3×0,25 = 0,75 (<1 bonne reponse en moyenne)

b)P(X=2) = (32)·0,25²·0,75 ≈ 0,141

c)« au plus 2 » : P(X≤2) ≈ 0,984

les 3 bonnes au hasard : 0,25³ ≈ 1,6 % (tres improbable)

App 4 — portique ℬ(80;0,02192)

1)80 personnes, p=0,02192 -> X ↪ ℬ(80;0,02192)

2)E(X) = 80×0,02192 ≈ 1,7536 (≈ 2 personnes)

3)P(X≥1) = 1−(1−0,02192)⁸⁰ ≈ 0,830 · P(X≤5) ≈ 0,992

4a)P(X≤2)≈0,744 < 0,9 ≤ P(X≤3)≈0,901 -> a=3

4b)P(X≤1)≈0,474 ≤ 0,5 < P(X≤2)≈0,744 -> b=1

2 vrais extraits de bac

meme plan : modelisation -> E(X)+interpretation -> contraire « au moins un » -> seuils

la binomiale arrive souvent en partie B (apres un conditionnement en A)

App 5 — donneur O⁻ ℬ(50;0,065)

1a)p=0,065 -> X ↪ ℬ(50;0,065)

P(X=8) = (508)·0,065⁸·0,935⁴² ≈ 0,010

1b) Pythonla boucle cumule P(X=0)+…+P(X=k)

-> proba(k) = P(X≤k) · proba(8) = P(X≤8) ≈ 0,995

2)1−0,935ⁿ > 0,999 -> n > ln(0,001)ln(0,935) ≈ 102,8 -> n=103

App 6 — dechets ℬ(20;0,6514)

tirage AVEC remise · P(X=14) = (2014)·0,6514¹⁴·0,3486⁶ ≈ 0,1723

seuil : 0,3486ⁿ ≤ 10⁻⁴ -> n ≥ ln(0,0001)ln(0,3486) ≈ 8,74 -> n=9

App 7 — acheteurs ℬ(30;0,204)

P(X=6) ≈ 0,179 · E(X) = 30×0,204 = 6,12 (≈ 6 acheteurs)

seuil : 1−0,796ⁿ ≥ 0,99 -> n ≥ ln(0,01)ln(0,796) ≈ 20,18 -> n=21

UN seul squelette

ℬ(n;p) -> P(X=k) -> « au moins un » = 1−(1−p)ⁿ -> seuil par ln

2024 : lire une fonction Python (boucle qui cumule = binomFRep !)

Formulaire — successions & Bernoulli

succession indep. : P(x₁,…,xn) = P(x₁)×⋯×P(xn)

Bernoulli : E(X)=p · V(X)=p(1−p)

schema (n;p) = n repetitions identiques & independantes

avec remise OUI · sans remise NON

Loi binomiale ℬ(n;p)

P(X=k)

(nk) p^k(1−p)^n−k

E(X)

V(X)

np(1−p)

σ(X)

√(np(1−p))

P(X=0)=(1−p)ⁿ · P(X=n)=pⁿ · ROC : chemin × (nk)

Calculatrice & formulations

binomFdp(n,p,k) = P(X=k) · binomFRep(n,p,k) = P(X≤k)

« au moins k » : 1−P(X≤k−1) · intervalle : P(X≤b)−P(X≤a−1)

« au moins un » : 1−(1−p)ⁿ -> seuil par ln (sens change !)

FORMULE sur la copie PUIS calculatrice

Plan-type de l'exercice bac

① modelisation (mots exacts) ② E(X)=np + interpretation

③ dictionnaire des formulations ④ seuil : tableau (k) ou ln (n)

⚠ Les 8 pieges

① sans remise -> PAS Bernoulli (stock « important » ≈ avec remise)

② redaction : « identique et independante », succes « … », valeur de p

③ « moins de 4 » = X≤3 · « plus de 14 » = X≥15 (strict + entier)

④ oublier le contraire pour « au moins » (obligatoire)

⑤ intervalle : P(X≤b) − P(X≤a−1) (retrancher a−1, pas a !)

⑥ P(X≥1)≈1,0000 : (1−p)ⁿ negligeable, pas nul

⑦ ln : division par ln(q)<0 -> sens change + verif numerique

⑧ toujours interpreter (E(X), seuils) dans le contexte

🎤 Grand Oral

pourquoi la binomiale partout ?des qu'on repete une experience a 2 issues : sondages, controle qualite, genetique, fiabilite -> le modele du « nombre de succes » (cloche -> loi normale)

paradoxe du « au moins un » ?6,5 % semble rare, mais 103 personnes -> 99,9 % d'en trouver un (1−0,935ⁿ explose vers 1)

μ ± σ ≈ 70 % ?concentration autour de la moyenne -> intervalles de fluctuation, loi des grands nombres (S14 !)