Entraînement Maths S08 (propre)

Seq. 08 — 3 complements d'analyse

Butcompleter l'analyse : derivees composees, convexite, continuite

La feuille de route

I.4 formules : (eᵘ)' · (ln u)' · (uⁿ)' · (√u)'

+ 6 etudes completes (Df, f', variations, limites)

II.Convexite -> la derivee seconde f″

point d'inflexion · lecture graphique · cles USB · inegalites

III.Continuite -> en un point (3 conditions) · sur un intervalle · parametre b

L'idee-cle

f″ pilote la convexite comme f' pilote les variations

-> un « etage de plus » dans la derivation

I — Deriver une composee

Reglef = v∘u : (v∘u)' = u' × (v'∘u)

On en deduit(u derivable) :

(eᵘ)'

=

u' eᵘ · partout

(ln u)'

=

u'u · u>0

(uⁿ)'

=

n u' uⁿ⁻¹

(√u)'

=

u'2√u · u>0

« Par ex. » [(2x⁴−x²)³]'

On poseu = 2x⁴−x² -> u' = 8x³−2x

Formule(uⁿ)' avec n=3 :

[(2x⁴−x²)³]'	=	3(8x³−2x)(2x⁴−x²)²
	=	(24x³−6x)(2x⁴−x²)²

« Par ex. » [−2/(4x²+9)³]'

Astucele quotient -> puissance negative :

−2(4x²+9)³

=

−2(4x²+9)⁻³

Formule(uⁿ)' , n=−3 , u'=8x :

[−2(4x²+9)⁻³]'	=	−2(−3)(8x)(4x²+9)⁻⁴
	=	48x(4x²+9)⁴

Le reflexe universel

poser u -> calculer u' -> appliquer la formule

justif-type : « derivable par composition de fonctions derivables »

App — f(x)=e^3x²−2x sur ℝ

Dfexp definie sur ℝ -> Df = ℝ

Derivee

derivablesur ℝ (composition) ; u = 3x²−2x

Formule(eᵘ)' = u' eᵘ :

f'(x)	=	(3x²−2x)' e^3x²−2x
	=	(6x−2) e^3x²−2x

Variations

care^3x²−2x > 0 -> signe de f' = signe de (6x−2)

s'annule en x = 13

f(13) = e^{3×1/9 − 2/3} = e^−1/3

x	−∞	13	+∞
f'(x)	−	0	+
f	↘	e^−1/3	↗

Limites aux bornes

en −∞3x²−2x → +∞ puis e^X → +∞ -> lim = +∞

en +∞3x²−2x = 3x²(1 − 23x) → +∞ -> lim = +∞

LE modele en 4 temps

① Df justifie ② derivee (formule composee)

③ variations (exp>0 -> signe du facteur) ④ limites (composition)

2.a) f = ln(x²+x+4) sur ℝ

Dfil faut x²+x+4 > 0

Δ = 1 − 4×4 = −15 < 0 -> jamais nul (coef>0) donc >0

-> Df = ℝ

Derivee(ln u)' = u'/u :

f'(x)

=

2x+1x²+x+4

Signedenom>0 -> signe de (2x+1) , nul en x=−12

min f(−12) = ln(154) (↘ puis ↗)

Limitesx²+x+4 → +∞ -> lim x→±∞ = +∞

2.b) f = ln(eˣ+2) sur ℝ

Dfeˣ>0 et 2>0 -> somme >0 -> Df = ℝ

Deriveeu = eˣ+2 :

f'(x)

=

eˣeˣ+2

Signeeˣ>0 et eˣ+2>0 -> f' > 0 (f ↗ sur ℝ)

Limitesen +∞ : +∞

en −∞ : eˣ→0 -> eˣ+2→2 -> lim = ln 2

droite y = ln 2 asymptote horizontale

A retenir (domaine du ln)

① trinome Δ<0 toujours >0 ② somme de quantites >0

belle limite finie ln 2 : composition vers un point (X→2) !

3.a) f = (5x²−3x)³ sur ℝ

Dfpolynome -> Df = ℝ

Derivee(uⁿ)' , n=3 :

f'(x)

=

3(10x−3)(5x²−3x)²

Signe(5x²−3x)² ≥ 0 -> signe de (10x−3)

nul sans changer de signe en 0 et 35 (tangentes horiz.)

min f(310) = (−0,45)³ = −7298000

x	−∞	310	+∞
f'(x)	−	0	+
f	↘	−7298000	↗

Limites±∞ : +∞

3.b) f = −3/(x²+4)⁴ sur ℝ

Dfx²+4 ≥ 4 > 0 -> Df = ℝ

Derivee−3(x²+4)⁻⁴ , n=−4 :

f'(x)	=	−3(−4)(2x)(x²+4)⁻⁵
	=	24x(x²+4)⁵

Signe(x²+4)⁵>0 -> signe de 24x : ↘ puis ↗

min f(0) = −3256

Limites±∞ : 0 (y=0 asymptote)

4. f = √(1−x²) sur [−1;1]

Df1−x² ≥ 0 -> Df = [−1;1] (demi-cercle)

Derivee(√u)' = u'/(2√u) , sur ]−1;1[ :

f'(x)	=	−2x2√(1−x²)
	=	−x√(1−x²)

Signe√>0 -> signe de −x : ↗ puis ↘

f(−1)=0 · f(0)=1 (max) · f(1)=0

bornes sans limite : f y est definie !

3 pepites

① f' nulle sans changer de signe = tangente horiz., pas d'extremum

② puissance negative : −3(x²+4)⁻⁴

③ √u : derivable sur l'ouvert seulement

II — Convexite (via f″)

f convexe: Cf au-dessus de ses tangentes ⟺ f' ↗ ⟺ f″ ≥ 0

f concave: Cf en dessous ⟺ f' ↘ ⟺ f″ ≤ 0

pt d'inflexion: la courbe traverse sa tangente

f″ s'annule EN CHANGEANT de signe

Calculer f″ — 3 exemples

1)f = −x⁴+2x³−5x²+7 :

f'(x)

=

−4x³+6x²−10x

f″(x)

=

−12x²+12x−10

2)g = e^{−x²+3x−1} : g' = (−2x+3) e^{−x²+3x−1}

factoriser par l'exp (ne pas developper) :

g″	=	e^{−x²+3x−1}[(−2x+3)²−2]
	=	(4x²−12x+7) e^{−x²+3x−1}

3)h = x√x sur ]0;+∞[ : h' = (32)√x (forme simple)

h″(x)

=

34√x

Pt d'inflexion — f(x) = x eˣ

f'(x)

=

(x+1) eˣ

f″(x)

=

(x+2) eˣ

Signeeˣ>0 -> signe de (x+2) :

x	−∞	−2	+∞
f″(x)	−	0	+
f	∩ concave		∪ convexe

en −2 : f″ change de signe ; f(−2) = −2e⁻² = −2e²

pt d'inflexionA(−2 ; −2e²) ≈ (−2 ; −0,27)

Les rituels

g″ : deriver le produit puis factoriser par l'exp

inflexion : f″=0 ET change de signe (les 2 conditions !)

App 1 — lire la convexite (a–d)

methodeposition de Cf / ses tangentes ; inflexion = la courbe traverse

a)Cf au-dessus partout -> convexe sur ℝ (pas d'inflexion)

b)Cf en dessous -> concave sur ]0;+∞[

c)concave puis convexe -> inflexion A(2 ; 1)

d)3 inflexions : A(−2;−0,4), O(0;0), B(2;0,4)

App 2 — QUELLE courbe regarde-t-on ?

Courbe 1 = f(regarder les tangentes) :

concave aux bords, convexe au milieu -> inflexions A(−1,5;−1), B(1,5;−1)

Courbe 2 = g'(regarder ses variations) :

g convexe ⟺ g' ↗ -> g convexe sur [−1;1] ; inflexions en −1 et 1

Courbe 3 = h″(regarder son signe) :

h convexe ⟺ h″ ≥ 0 -> h convexe sur [−2;1] ; inflexions en −2 et 1

LE piege du chapitre

courbe de f -> tangentes

courbe de f' -> ses VARIATIONS (↗ = convexe)

courbe de f″ -> son SIGNE (>0 = convexe)

App 3 — les cles USB

C(x) = 0,05x³ − 1,05x² + 8x + 4 sur [0;10] (x en milliers)

1) Conjecture (calculatrice)

concave sur [0;7] · convexe sur [7;10]

-> inflexion probable en x = 7

2) Demonstration (par C″)

C'(x)

=

0,15x² − 2,1x + 8

C″(x)

=

0,3x − 2,1

C″=0 ⟺ x = 2,10,3 = 7

x	0	7	10
C″(x)	−	0	+
C	∩		∪

C(7) = 17,15 − 51,45 + 56 + 4 = 25,7

-> inflexion A(7 ; 25,7) (conjecture confirmee)

3) Interpretation

[0;7] : C ↗ et concave -> cout croit en RALENTISSANT

[7;10] : C ↗ et convexe -> cout croit en ACCELERANT

-> des 7 000 cles, la croissance du cout s'emballe

Schema des problemes concrets

conjecture (calc.) -> demonstration (C″) -> interpretation

concave = ralenti · convexe = accelere

App 4 — inegalites par convexite

methodeconvexe -> Cf au-dessus des tangentes ; concave -> en dessous

1) eˣ ≥ x+1

a)f=eˣ , f″=eˣ > 0 -> f convexe sur ℝ

b)tangente en 0 : y = f'(0)(x−0) + f(0)

f(0)=1 , f'(0)=1 -> (T) : y = x+1

c)convexe -> Cf au-dessus de (T) :

eˣ

≥

x+1 ∀x∈ℝ

2) √(x+1) ≤ 1 + x/2

a)f″(x) = −14(x+1)√(x+1) < 0 -> concave sur [0;+∞[

b)tangente en 0 : f(0)=1 , f'(0)=12 -> (T) : y = 1 + x2

c)concave -> Cf en dessous de (T) :

√(x+1)

≤

1 + x2 ∀x≥0

3) e^(a+b)/2 ≤ (eᵃ+eᵇ)/2

exp convexe -> Cf en dessous de ses cordes

corde [AB] , A(a;eᵃ) , B(b;eᵇ) :

e^(a+b)/2

≤

eᵃ+eᵇ2 ∀(a,b)∈ℝ²

Schema en 3 pas

① convexite (f″) ② tangente au bon point ③ position -> l'inegalite

variante cordes : convexe = sous ses cordes (inegalite des moyennes)

III — Continuite en a

deff continue en a ⟺

lim x→a⁻ f	=	lim x→a⁺ f
	=	f(a)

3 conditions: ① f definie en a ② limites G = D ③ = f(a)

Ex III.1 — continue en 3 ?

f = x+6 (x<3) · 2 (x=3) · x² (x>3)

① f(3) = 2

② lim x→3⁻ (x+6) = 9 · lim x→3⁺ x² = 9

③ mais f(3)=2 ≠ 9 -> la 3ᵉ condition echoue

-> f n'est PAS continue en 3

Ex III.3 — sur un intervalle

detailler(« continue comme quotient » ne suffit pas !)

1)3x²−12x+6 : polynome / affine ≠0 -> continue

2)eˣ(x²+5)√x : produit de continues -> continue sur ℝ⁺

3)e^x²−3 : composee de continues -> continue sur ℝ

A retenir

en un point : 3 conditions, il suffit qu'UNE echoue

sur un intervalle : detailler les briques + « par sommeproduit/quotientcomposition »

App 1 — f = x² (x≤1) · −x³+2 (x>1)

a) continue en 1 ?

① f(1) = 1² = 1

② lim x→1⁻ x² = 1 · lim x→1⁺ (−x³+2) = 1

③ tout = 1 -> f continue en 1

b) sur ℝ ?polynomes des 2 cotes + continue en 1 -> continue sur ℝ

App 2 — le parametre b

f = x²+bx+2 (−4≤x≤1) · 3x+1 (1<x≤3)

a) graphiquesommet en (0;2) -> −b2 = 0 -> b = 0

avec b=0 : G=3 , D=4 -> 3≠4 -> non continue (saut en 1)

b) b pour continuite en 1 :

lim x→1⁻ f

=

3+b

lim x→1⁺ f

=

4

continue ⟺ 3+b = 4 ⟺ b = 1

Le classique du raccordement

chaque morceau continu (polynomes) -> tout se joue au point de jonction

egaliser limite G = limite D -> equation en b

Formulaire — derivees composees

(eᵘ)'

=

u' eᵘ

(ln u)'

=

u'u

(uⁿ)'

=

n u' uⁿ⁻¹

(√u)'

=

u'2√u

quotient -> puissance negative · domaine ln : u>0 · √ : u≥0

Convexite

f convexe ⟺ Cf au-dessus des tangentes ⟺ f' ↗ ⟺ f″ ≥ 0

concave : tout s'inverse

lecture : f -> tangentes · f' -> variations · f″ -> signe

inflexion: f″ s'annule EN CHANGEANT de signe

Inegalites & continuite

convexe -> Cf au-dessus des tangentes (eˣ ≥ x+1)

concave -> en dessous (√(x+1) ≤ 1 + x2)

convexe -> sous ses cordes (e^(a+b)/2 ≤ eᵃ+eᵇ2)

continuite en a: ① definie ② lim G = lim D ③ = f(a)

La chaine de l'analyse

f″ -> convexite · f' -> variations · f -> valeurs

chaque etage se lit avec le meme outil : le tableau de signes

⚠ Les 8 pieges

① ln : justifier u>0 (Δ<0 ou somme de >0)

② g″ : factoriser par l'exp, ne pas developper

③ f' nulle sans changer de signe = tangente horiz., pas d'extremum

④ √u : derivable sur l'ouvert, pas de limite aux bornes definies

⑤ ne pas confondre courbe de f / f' / f″

⑥ inflexion : f″=0 ET change de signe (2 conditions)

⑦ continuite : detailler les briques si demande

⑧ ne pas oublier la 3ᵉ condition (lim G=D mais ≠ f(a))

🎤 Grand Oral

convexite IRL ?inflexion cles USB = seuil economique ; en epidemio = pic de ralentissement ; coeur de l'optimisation (convexe -> min global)

pourquoi eˣ ≥ x+1 ?inegalite fondamentale : croissances comparees, encadrements de ln, inegalite des moyennes

continuite vs derivabilite ?derivable ⟹ continue mais PAS l'inverse (|x| en 0)