Entraînement Maths S07 (propre)

🎯 Séquence 07 — au programme

compter sans compter un par un

ensembles -> additif -> multiplicatif

-> permutations / arrangements -> combinaisons

🧠 LA question à se poser

l'ordre compte ?_répétitions ?_

ordre + répétition -> k-uplet nᵏ

ordre, sans répétition -> arrangement

tout ranger -> permutation n!

sans ordre -> combinaison (nk)

Langage ensembliste

card(E) = nb d'éléments · ∅ : card = 0

pas d'ordre {a;b}={b;a} · pas de répétition

élément ∈ ensemble · ensemble ⊂ ensemble

𝒫(E) = parties de E -> card(𝒫(E)) = 2ⁿ

Opérations

A∪B (ou) · A∩B (et) · disjoints : A∩B=∅

complémentaire A̅ : A ∪ A̅ = E

App — anagrammes & dés

BAC3×2×1 = 6 anagrammes

2 dés, somme ÷312 issues /36

-> P = 1236 = 13

Principe additif

card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B)

disjoints -> card(A∪B) = card(A) + card(B)

complémentaire : card(A̅) = card(E) − card(A)

App — classe de 35 (Maths/Physique)

8 ni l'une ni l'autre :

card(M∪P)	=	35 − 8
	=	27

card(M∩P)	=	25 + 20 − 27
	=	18

-> 18 font les deux

🧠 « ni…ni »

= complémentaire de la réunion (pas de l'intersection)

Produit cartésien & k-uplets

A×B = couples (x;y) · card(A×B)=card(A)×card(B)

k-uplet = liste ordonnée, répétitions permises

-> card(Eᵏ) = card(E)ᵏ

⚠️paire {x;y} (sans ordre) ≠ couple (x;y) (ordre)

Le multiplicatif en action

pièce ×5 : 2⁵ = 32 · QCM 12 q, 3 rép : 3¹² = 531 441

menus (E×P×D) : 5×3×3 = 45

mots de passe 4 lettres : 26⁴ = 456 976

code (4 chiffres, 2 lettres XY/Z) : 10⁴×3² = 90 000

Factorielle

n! = n×(n−1)×⋯×2×1 · convention 0! = 1

car 1! = 1×0! et 1! = 1

Calculs & simplifications

8!/6!	=	8×7×6!6!
	=	8×7
	=	56

ne jamais calculer 8! en entier

(n+1)×n! = (n+1)!

Équations (tout ramener à (n−1)! ou n!)

a)(n+1)! − n!n−1! = n²

n²	=	9
	⟹	n
	=	3 (n ∈ ℕ)

b)(n+2)! + (n+1)! = (n+1)(n+3) n!

(n+1)(n+3)	=	8
	⟺	n²+4n−5
	=	0
	⟺	(n−1)(n+5)=0

-> n = 1 (n=−5 rejeté)

Permutations & arrangements

Permutation(tout ranger) : n!

Arrangement(k parmi n, ordre, sans répétition) :

binom... n!/(n−k)! = n(n−1)⋯(n−k+1)

App — PRODUIT (7 lettres)

anagrammes : 7! = 5 040

commence par voyelle : 3×6! = 2 160

P	=	3×6!7!
	=	21605040
	=	37

voyelle début + consonne fin : 3×4×5! = 1 440 -> P = 27

App — podium (20 coureurs)

ordre compte -> arrangement de 3 parmi 20

20!/17!	=	20×19×18
	=	6 840

-> 6 840 podiums

Combinaisons

k parmi n, sans ordre, sans répétition :

(nk) = n!/(k!(n−k)!)

tirage SIMULTANÉ = combinaison

Loto — 5 boules parmi 49

(495)	=	49×48×47×46×45120
	=	1 906 884

-> 1 906 884 tirages

Équation (n7) = (n4)

condition n ≥ 7

(n−4)(n−5)(n−6)	=	7×6×5
	=	210

⟺ n³ − 15n² + 74n − 330 = 0

⟺ (n−11)(n²−4n+30) = 0 (Δ<0)

-> n = 11

symétrie(n7)=(n4) ⟺ 7 = n−4 ⟺ n = 11

Propriétés

(n0) = (nn) = 1 · (n1) = n

symétrie(nk) = (nn−k)

Relation de Pascal

(nk) + (nk+1) = (n+1k+1)

démo par dénombrement(double comptage) :

parties à k+1 de E (n+1 éléments) :

sans eₙ₊₁ : (nk+1) · avec eₙ₊₁ : (nk)

-> additif -> (n+1k+1)

Triangle de Pascal

chaque case = somme des 2 au-dessus

(53) + (54) = 10 + 5 = (64) = 15

📋 Formulaire — dénombrement

additif : card(A∪B) = card(A)+card(B)−card(A∩B)

multiplicatif : card(Eᵏ) = card(E)ᵏ (k-uplet)

permutations : n! · arrangements : n!/(n−k)!

combinaisons : (nk) = n!/(k!(n−k)!)

card(𝒫(E)) = 2ⁿ (chaque élément : dedansdehors)

🧠 L'arbre de décision

ordre ? OUI + répétition -> k-uplet nᵏ

OUI sans répétition -> arrangement (tout : permutation)

NON -> combinaison (nk)

cas disjoints -> ON AJOUTE · étapes -> ON MULTIPLIE

⚠️ Les pièges à éviter

① paire {x;y} (combinaison) ≠ couple (x;y) (ordre)

② ∈ (élément) ≠ ⊂ (ensemble)

③ ne pas oublier − card(A∩B) (sauf disjoints)

④ « ni…ni » = complémentaire de la RÉUNION

⑤ 8!/6! = 8×7 (simplifier, pas calculer 8!)

⑥ ÷ par n! : dire n! ≠ 0 · conditions (n≥7, n∈ℕ)

⑦ simultané -> combinaison · successif sans remise -> arrangement

⑧ contraintes de position : placer d'abord, permuter le reste

🎤 Grand Oral

« 1 chance sur 1 906 884 au loto ? »

tirage simultané = combinaison + équiprobabilité

« Mélanges d'un jeu de 32 cartes ? »

32! ≈ 2,63×10³⁵ : jamais vu deux fois dans l'histoire !