Entraînement Maths S06 (propre)

🎯 Séquence 06 — au programme

Limites de fonctionsen ±∞ et en un réel a

Nouveautélimites LATÉRALES (a⁻ , a⁺)

Asymptoteshorizontales et verticales

Composéev ∘ u

Croissances comparées(2 ROC)

🧠 Le trio à réciter

lim finie en ±∞ -> asymptote HORIZONTALE y = ℓ

lim infinie en a -> asymptote VERTICALE x = a

lim infinie en ±∞ -> pas d'asymptote

Limites & asymptotes

lim (x→±∞) f = ℓ -> asymptote horizontale y = ℓ

lim (x→a) f = ±∞ -> asymptote verticale x = a

latéralesx→a⁻ et x→a⁺ peuvent différer

Limites usuelles

en ±∞ : 1x , 1xⁿ , 1√x -> 0 · lim (−∞) eˣ = 0

en +∞ : xⁿ , √x , eˣ -> +∞

en 0 : 1x -> +∞ (0⁺) · 1x -> −∞ (0⁻)

Opérations & F.I.

règles identiques en ±∞ et en a

4 F.I.∞ − ∞ · 0 × ∞ · ∞/∞ · 00

⚠️ℓ ≠ 00 n'est PAS indéterminée -> ±∞ (signe !)

🧠 Méthode reine

en ±∞ : factoriser par le terme prépondérant

÷ par 0 : tableau de signes du dénominateur (0⁺/0⁻)

Exemple modèle — f(x) = (−4x−1)/(2−x)

x ∈ ℝ \ {2}

Limites en ±∞ (factoriser)

f(x)	=	−4 − 1x2x − 1
	=	−4−1
	=	4

-> asymptote horizontale y = 4

Limite en 2 (latérales)

num : lim (−4x−1) = −9

x	−∞	2	+∞
2−x	+	0	−

à droite−9 / 0⁻ -> lim = +∞

à gauche−9 / 0⁺ -> lim = −∞

-> asymptote verticale x = 2

App — f(x) = (3x²−5x+2)/(2x²−7x+5)

x ∈ ℝ \ {1 ; 52}

Limites en ±∞

f(x)	=	3 − 5x + 2x²2 − 7x + 5x²
	=	32

-> asymptote horizontale y = 32

Limite en 5/2

num : lim = 8,25 ≠ 0

Δ = 9 -> racines 1 et 52 (a = 2 > 0)

x	−∞	1	52	+∞
2x²−7x+5	+	0	−	0	+

à droite 0⁺ -> +∞ · à gauche 0⁻ -> −∞

-> asymptote verticale x = 52

Limite en 1 — F.I. « 0/0 »

num aussi nul en 1 -> il faut SIMPLIFIER

Factoriser (racine évidente + somme −b/a)

2x²−7x+5 = 2(x−1)(x−52)

3x²−5x+2 = 3(x−1)(x−23) (1 racine ; somme 53)

f(x)

3(x−23)2(x−52)

Limite

num -> 3·(13) = 1 · dén -> 2·(−32) = −3

lim (x→1) f(x)

−13

-> finie −13 (prolongeable) · pas d'asymptote

App — f(x) = (x²+2)/(3−eˣ)

valeur interdite : 3 − eˣ = 0 -> x = ln 3

Limite en −∞ & en ln 3

en −∞ : +∞3 -> +∞ (car eˣ -> 0)

x	−∞	ln 3	+∞
3−eˣ	+	0	−

ln 3⁻ : 0⁺ -> +∞ · ln 3⁺ : 0⁻ -> −∞

-> asymptote verticale x = ln 3

Limite en +∞ (÷ par eˣ)

f(x)

x²eˣ + 2eˣ3eˣ − 1

croissance comparée : x²eˣ -> 0

-> 0 / (−1) -> lim = 0

-> asymptote horizontale y = 0

App 2° — 5 limites

règle des signes du quotient partout

a) b) c)

a)−2x²−5x+1 : en −∞ factoriser x² -> −∞

b)(1x + 2)(x²−1) en 0⁻ : (−∞)(−1) -> +∞

c)x+1x+2 en −2 : −10⁻ -> +∞ · −10⁺ -> −∞

d) e)

d)2x²x²−4 en 2 : 80⁻ -> −∞ · 80⁺ -> +∞

e)√xx+1 en +∞ : factoriser √x -> 0⁺

V — Composition v ∘ u

(v ∘ u)(x) = v(u(x))

domainex tels que u(x) ∈ domaine de v

Exemples de composées

v ∘ u avec u=5x+3 , v=√x : (v∘u)(x) = √(5x+3)

domaine 5x+3 > 0 -> x > −35

⚠️u ∘ v ≠ v ∘ u (5√x + 3 ≠ √(5x+3))

Théorème (limite d'une composée)

lim (x→α) u = β et lim (X→β) v = γ

-> lim v(u(x)) = γ (relais)

App — limites de composées (en +∞)

rituel : poser u, v · domaine · lim u · « par composition »

a) b) c)

a)cos(4x) : u->0 , cos 0 = 1 -> 1

b)√(x²−3x) : u->+∞ , √ -> +∞

c)√(9x+1x−3) : u->9 , √9 -> 3

d) e)

d)e^−x²+x−1 : u->−∞ , eˣ -> 0

e)ln(x−2x+2) : u->1 , ln 1 -> 0

domaine : ≥0 pour √ , >0 pour ln

Rituel — f(x) = (√x − 1)/x sur ]0;+∞[

limites · dérivée · variations · tangente par O

1) Limites (séparer les termes)

f(x)	=	√x − 1x
	=	1√x − 1x

en +∞ : 0 − 0 -> 0 (asymptote y = 0)

en 0⁺ : −10⁺ -> −∞ (asymptote x = 0)

2) Dérivée (produit)

u = √x − 1 , v = 1x

f′(x)	=	(12√x)·(1x) + (√x−1)·(−1x²)
	=	2 − √x2x²

3) Variations

signe de f′ = signe de 2 − √x (2x² > 0)

2 − √x	≥	0
	⟺	√x
	≤	2
	⟺	x
	≤	4

max f(4) = 2−14 = 14

x	0	4	+∞
f′(x)	+	0	−
f	−∞	14	0

4) Tangente passant par O

(Tₐ) : y = f′(a)(x−a) + f(a)

O ∈ (Tₐ) ⟺ f(a) = a·f′(a) :

3√a − 42a

⟺ √a = 43 ⟺ a = 169

-> oui, tangente en a = 169

Croissances comparées

lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞

lim (x→−∞) xⁿ eˣ = 0

« l'exponentielle l'emporte sur toute puissance »

🎓 ROC (a)

f(x) = eˣ − x²2 sur ℝ⁺ -> eˣ/x ≥ x2

lim x2 = +∞ -> par comparaison lim eˣ/x = +∞

Application

1)2 − x eˣ en −∞ : x eˣ -> 0 -> 2

2)eˣ − x = x(eˣ/x − 1) -> +∞

3)(−x²+1)eˣ = −x²eˣ + eˣ -> 0

4)e^3x/x = (eˣ/x)·(eˣ)² -> +∞

📋 Formulaire — limites & asymptotes

lim finie en ±∞ -> horizontale y = ℓ · lim infinie en a -> verticale x = a

latérales a⁻a⁺ via tableau de signes du dénominateur

4 F.I. : ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 00 (ℓ≠00 -> ±∞ selon le signe)

±∞ : terme prépondérant · 00 : factoriser et SIMPLIFIER

📋 Formulaire — composée & croissances comparées

v ∘ u : lim u = β , lim v = γ ⟹ lim v(u(x)) = γ

domaine : ≥0 pour √ , >0 pour ln

eˣ/xⁿ -> +∞ · xⁿeˣ -> 0 · 2 ROC (eˣ−x , eˣ−x²2)

tangente en a : y = f′(a)(x−a) + f(a) · par O ⟺ f(a) = a f′(a)

⚠️ Les pièges à éviter

① « asymptote » sans vérifier le num (00 -> limite finie)

② oublier le tableau de signes (0⁺/0⁻)

③ règle des signes : −90⁻ = +∞

④ valeur interdite cachée : 3 − eˣ = 0 -> x = ln 3

⑤ domaine composée : ≥ pour √ , > pour ln

⑥ u ∘ v ≠ v ∘ u

⑦ conclure « par somme » sur ∞−∞ = FAUX

⑧ √x ≤ 2 : justifier t ↦ t² croissante

🎤 Grand Oral

« À quoi sert une asymptote ? »

comportement limite (saturation, tension d'un condensateur, vitesse limite)

« Pourquoi l'exponentielle l'emporte ? »

elle est sa propre dérivée : croissance auto-amplifiée