Entraînement Maths S05 (propre)

🎯 Séquence 05 — au programme

5 méthodes de limite

I — théorèmes de comparaison

II — encadrement (gendarmes)

III — limite d'une suite géométrique qⁿ

IV — convergence monotone

V — suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)

🧠 2 ROC exigibles

comparaison vers +∞

limite de qⁿ (q>1) via Bernoulli

Théorèmes de comparaison

vers +∞uₙ ≤ vₙ et lim uₙ = +∞

-> lim vₙ = +∞

vers −∞uₙ ≥ vₙ et lim uₙ = −∞

-> lim vₙ = −∞

🎓 Démonstration (cas +∞)

soit A réel · lim uₙ=+∞ -> uₙ > A dès n₁

uₙ ≤ vₙ dès n₂

n	≥	max(n₁,n₂)
	⟹	A
	<	uₙ
	≤	vₙ
	⟹	vₙ
	>	A

-> ]A;+∞[ contient tous les vₙ -> lim vₙ=+∞

🧠 Réflexe

borner le terme gênant (−1)ⁿ, cos n, sin n ∈ [−1;1]

vers +∞ on minore · vers −∞ on majore

Application — comparaison

a) lim (n² + (−1)ⁿ)

b) lim (−3n + cos n)

a) minorer

−1 ≤ (−1)ⁿ -> n²−1 ≤ n² + (−1)ⁿ

lim (n²−1) = +∞

-> par comparaison lim = +∞

b) majorer

cos n ≤ 1 -> −3n + cos n ≤ −3n + 1

lim (−3n+1) = −∞

-> par comparaison lim = −∞

Théorème d'encadrement (gendarmes)

uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ

et lim uₙ = lim wₙ = ℓ

-> lim vₙ = ℓ

🧠 Comparaison vs encadrement

comparaison : limite infinie (1 inégalité)

encadrement : limite finie ℓ (2 gendarmes de même limite)

Application — encadrement

lim sin(3n)n

Encadrer

−1 ≤ sin(3n) ≤ 1 (n ≥ 1)

÷ par n>0(sens conservé) :

−1n	≤	sin(3n)n
	≤	1n

lim (−1n) = 0 et lim (1n) = 0

-> par encadrement lim = 0

Limite de qⁿ (par cœur)

q > 1 -> +∞

−1 < q < 1 -> 0

q = 1 -> 1

q ≤ −1 -> pas de limite

🎓 ROC (cas q > 1)

on pose q = 1 + a (a > 0)

qⁿ	=	(1+a)ⁿ
	≥	1 + na

lim (1 + na) = +∞

-> par comparaison lim qⁿ = +∞

cas 0<q<1

1q > 1 -> lim (1q)ⁿ = +∞

-> par quotient lim qⁿ = 0

App 1 — suites géométriques

a) uₙ = 2ⁿ − 0,5ⁿ

b) uₙ = 2ⁿ − 5ⁿ4ⁿ − 3ⁿ

lim 2ⁿ = +∞ (2>1)

lim 0,5ⁿ = 0 (−1<0,5<1)

-> par différence lim = +∞

b) F.I. ∞/∞ -> factoriser

haut : 2ⁿ − 5ⁿ = 5ⁿ((25)ⁿ − 1)

bas : 4ⁿ − 3ⁿ = 4ⁿ(1 − (34)ⁿ)

uₙ

(54)ⁿ · (25)ⁿ − 11 − (34)ⁿ

fraction -> −11 = −1 · (54)ⁿ -> +∞

-> par produit lim uₙ = −∞

App 1 — c) d)

c)uₙ = 2ⁿ − 5ⁿ = 5ⁿ((25)ⁿ − 1)

-> −∞

d)uₙ = (−3)ⁿ/2 : q = −3 ≤ −1

-> pas de limite

e) uₙ = 6000 − 1000·0,9ⁿ⁻¹

lim 0,9ⁿ⁻¹ = 0 -> lim uₙ = 6000

Pour réviser : plus petit n, uₙ > 5800

6000 − 1000·0,9ⁿ⁻¹	>	5800
	⟹	0,9ⁿ⁻¹
	<	0,2

(÷ par −1000<0 : sens change)

(n−1) ln 0,9	<	ln 0,2
	⟹	n−1
	>	ln 0,2ln 0,9

(÷ par ln 0,9 < 0 : sens change)

ln 0,2ln 0,9 ≈ 15,27 -> n−1 ≥ 16 -> n = 17

vérif : u₁₆≈5794 < 5800 < u₁₇≈5815

App 2 — limites de sommes Sₙ

formule : 1 + q + ⋯ + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) (q ≠ 1)

n+1 termes -> exposant n+1

a) q = 1/2

Sₙ	=	(1 − (12)ⁿ⁺¹)/(1 − 12)
	=	2(1 − (12)ⁿ⁺¹)

lim (12)ⁿ⁺¹ = 0

-> lim Sₙ = 2

b) q = 3

Sₙ	=	(1 − 3ⁿ⁺¹)/(1 − 3)
	=	(3ⁿ⁺¹ − 1)/2

lim 3ⁿ⁺¹ = +∞

-> lim Sₙ = +∞

Suites bornées

majorée∃ M , uₙ ≤ M

minorée∃ m , uₙ ≥ m

bornéemajorée et minorée

croissante -> minorée par u₀ · décroissante -> majorée par u₀

Convergence monotone (admis)

croissante + majorée -> converge

décroissante + minorée -> converge

⚠️donne l'EXISTENCE de ℓ, pas sa valeur

Divergence + réciproques

croissante non majorée -> +∞ (ROC)

réciproques FAUSSES : n²+(−1)ⁿ -> +∞ mais non croissante

App — uₙ₊₁ = (1/2)uₙ + 1 , u₀ = 4

a) minorée par 2, décroissante

b) conclure la convergence

a) Minorée par 2 (récurrence)

Pₙ : « uₙ ≥ 2 »

Initu₀ = 4 ≥ 2 -> P₀ vraie

Héréditéuₙ ≥ 2 :

(12)uₙ + 1	≥	(12)·2 + 1
	=	2

-> uₙ₊₁ ≥ 2 -> Pₙ₊₁ vraie

a) Décroissante

uₙ₊₁ − uₙ	=	((12)uₙ + 1) − uₙ
	=	−(12)uₙ + 1

uₙ ≥ 2 -> −(12)uₙ + 1 ≤ 0

-> uₙ₊₁ ≤ uₙ

décroissante + minorée par 2

-> par convergence monotone (uₙ) converge

Calculer ℓ — 1ʳᵉ façon (unicité)

(uₙ) converge -> lim uₙ₊₁ = ℓ (décalée)

uₙ₊₁ = (12)uₙ + 1 -> lim = (12)ℓ + 1

-> par unicité ℓ = (12)ℓ + 1

2ᵉ façon — point fixe

uₙ₊₁ = f(uₙ) , f continue , uₙ → ℓ

-> f(ℓ) = ℓ

⚠️ℓ pas forcément la SEULE solution

trier grâce aux caractéristiques (signe, bornes)

Exemple 1 — ℓ = 2

les deux façons

1ʳᵉ façon

ℓ	=	(12)ℓ + 1
	⟺	(12)ℓ
	=	1
	⟺	ℓ
	=	2

-> lim uₙ = 2

2ᵉ façon (point fixe)

f(x) = (12)x + 1 affine -> continue

f(ℓ)	=	ℓ
	⟺	(12)ℓ + 1
	=	ℓ
	⟺	ℓ
	=	2

-> lim uₙ = 2 (cohérent)

Exemple 2 — f(x) = 2√(x+3)

u₀ = −1 · uₙ₊₁ = f(uₙ)

1) Conjecture

(uₙ) croissante , lim = 6

2a) Variations de f

f′(x)	=	2·(12√(x+3))
	=	1√(x+3)

√(x+3) > 0 -> f′(x) > 0

-> f croissante sur [−2;+∞[

2b) Récurrence −2 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6

Initu₀=−1 , u₁=2√2≈2,83 -> P₀ vraie

Héréditéf croissante appliquée à l'encadrement :

f(−2)	≤	f(uₙ)
	≤	f(uₙ₊₁)
	≤	f(6)

f(−2)=2 , f(6)=6

-> −2 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 6 -> Pₙ₊₁ vraie

2c) Convergence

uₙ ≤ uₙ₊₁ -> croissante

uₙ ≤ 6 -> majorée par 6

-> par convergence monotone (uₙ) converge

3) Déterminer ℓ

f continue sur [−2;6] -> f(ℓ) = ℓ

soit 2√(ℓ+3) = ℓ (ℓ ≥ 0)

4(ℓ+3)	=	ℓ²
	⟺	ℓ² − 4ℓ − 12
	=	0

Δ = 64 -> ℓ₁ = −2 (rejetée) , ℓ₂ = 6

-> lim uₙ = 6 (cohérent)

À retenir

√A = B ⟺ A ≥ 0 et B ≥ 0 et A = B²

la condition B ≥ 0 rejette ℓ₁ = −2

📋 Formulaire — comparaison & encadrement

Comparaison : uₙ ≤ vₙ , lim uₙ=+∞ ⟹ lim vₙ=+∞ (INFINIE)

Encadrement : uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ , lim uₙ=lim wₙ=ℓ ⟹ lim vₙ=ℓ (FINIE)

qⁿ : q>1 -> +∞ · −1<q<1 -> 0 · q=1 -> 1 · q≤−1 -> pas de limite

somme : 1+q+⋯+qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) (n+1 termes)

📋 Formulaire — monotone & récurrence

croissante + majorée ⟹ converge (EXISTENCE, pas la valeur)

uₙ₊₁ = f(uₙ) , f continue , uₙ → ℓ ⟹ f(ℓ) = ℓ

trier les solutions (signe, bornes) · √A = B ⟺ A≥0 , B≥0 , A=B²

🧠 Plan-type suite récurrente

conjecture -> variations de f -> récurrence −2≤uₙ≤uₙ₊₁≤M -> monotone -> f(ℓ)=ℓ -> trier

⚠️ Les pièges à éviter

① « comparaison » vs « encadrement » (finie -> encadrement, 2 gendarmes)

② diviser une inégalité : préciser le signe (÷ négatif -> sens change)

③ somme 1+q+⋯+qⁿ : n+1 termes -> exposant n+1

④ monotone : ne donne PAS la valeur de ℓ

⑤ réciproques fausses : lim=+∞ ⇏ croissante

⑥ oublier la continuité de f avant f(ℓ)=ℓ

⑦ √A = B : condition B ≥ 0 (rejeter la parasite)

⑧ récurrence : 3 étapes nommées (Init / Hérédité / Conclusion)

🎤 Grand Oral

« Pourquoi les gendarmes ? »

uₙ et wₙ escortent vₙ vers la même limite

« Somme infinie finie ? »

Sₙ → 2 : paradoxe de Zénon, porte des séries