Entraînement Maths S04 (propre)

🎯 Séquence 04 — au programme

Vecteurs de l'espacecombinaisons linéaires

Vecteurs coplanaires

Positions relativesdroites & plans

Bases & repères(coordonnées)

Représentation paramétriqued'une droite

🧠 Les outils partout

Chasles : AB + BC = AC

Parallélogramme : AB + AC = AD

Colinéaires : v = ku -> alignement / ∥

Retourner un vecteur : −AD = DA

Combinaison linéaire

w = αu + βv (u, v non colinéaires)

Généralisationu = λ₁u₁ + ⋯ + λₙuₙ

Les 5 réflexes

Chasles : AB + BC = AC

Parallélogramme : AB + AC = AD

Colinéarité : v = ku

Alignement A,B,C : AB, AC colinéaires

Égalité : AB = CD ⟺ ABDC parallélogramme

🧠 Réflexe du cube

arêtes parallèles = vecteurs égaux

AB = DC = EF = HG

grande diagonale : AG = AB + AD + AE

Exemple 1 — cube ABCDEFGH

montrer ABGH parallélogramme

puis AG = comb. de AB et AH

ABGH parallélogramme

AB = DC (face ABCD)

DC = HG (face DCGH)

-> AB = HG -> ABGH parallélogramme

Décomposer AG

AG	=	AB + BG
	=	AB + AH

(car BG = AH, parallélogramme)

-> AG = AB + AH

Exemple 2 — égalité vectorielle

démontrer : AB + CD = AD + CB

Méthode 1 — Chasles

AB + CD	=	(AD + DB) + (CB + BD)
	=	AD + CB

(car DB + BD = @0)

-> AB + CD = AD + CB

Méthode 2 — différence nulle

AB + CD − AD − CB	=	AB + BC + CD + DA
	=	AA
	=	@0

(boucle A→B→C→D→A)

-> même conclusion

App 1 (1.) — cube

AI = (12)AB + AC · AJ = AC + (12)AE · AK = AB + (12)AE

b) IJ = (12)BE ? · c) (JK) ∥ (BC) ?

b) IJ = IA + AJ

IJ	=	(−(12)AB − AC) + (AC + (12)AE)
	=	(12)(BA + AE)
	=	(12)BE

-> IJ, BE colinéaires -> (IJ) ∥ (BE)

c) JK = JC + CB + BK

JK	=	CB + (12)GC + (12)BF
	=	CB

(car GC = −BF)

-> JK, BC colinéaires -> (JK) ∥ (BC)

App 1 (2.) — tétraèdre ABCD

I milieu [BC] · AE = (32)AI · BF = (12)AB · CG = −(12)CA

b) FG = 2FE ? · c) E ∈ (FG) ?

Aides d'abord (depuis A)

AF = AB + (12)AB = (32)AB

AG = AC + (12)AC = (32)AC

b) Chasles

FG	=	FA + AG
	=	(32)(BA + AC)
	=	(32)BC

2FE	=	3BI
	=	(32)BC

-> FG = 2FE

FG, FE colinéaires -> F,E,G alignés -> E ∈ (FG)

App 2 & 3 — simplifier / exprimer

cube : simplifier u, v, w

exprimer un vecteur dans une famille

Simplifier (exemples)

u	=	AB + CG + FH
	=	AD + AE
	=	AH

BH : EQ BH = BC + CG + GH = −AB + AD + AE

🧠 La règle

Chasles pour décomposer

puis remplacer par la famille demandée

(arêtes égales, milieux, centres)

Vecteurs coplanaires

u, v, w coplanaires

= représentants de même origine dans un plan

Propriété(u, v non colinéaires) :

w coplanaire ⟺ w = au + bv

Points

A,B,C,D coplanaires ⟺ AD = aAB + bAC

Cube — exemples

CoplanairesAD, CG, BG

BG = AD + AE

NON coplanairesAB, AE, AD

car D ∉ (BAE)

Exemples 3 & 4 — coplanarité

Ex.3 : AC, FG, EL coplanaires ?

Ex.4 : I,J,K,L (milieux) coplanaires ?

Ex.3

AC	=	AB + BC
	=	(12)EL + FG

-> comb. de EL, FG -> coplanaires

Ex.4 — méthode-machine (système)

tout décomposer dans (AB, AD, AE) :

JK = AB + AD

JI = (12)AB − (12)AE

JL = (12)AD + (12)AE

cherche a,b : JK = aJI + bJL

{ 1=(12)a ; 1=(12)b ; 0=−(12)a+(12)b }

⟺

{ a=2 ; b=2 }

-> JK = 2JI + 2JL -> I,J,K,L coplanaires

Applications coplanarité

démontrer vecteurs / points coplanaires

Cube (à vue)

a)AB, AE, AF : AF = AB + AE -> coplanaires

b)AB, AE, AD : E ∉ (BAD) -> NON

e)FH = −AB + AD -> AB, AD, FH coplanaires

Pavé — système

u = 3AB

v = −2AB + AD + AE

w = AB + AD + AE

w	=	au + bv
	⟺	{ 3a−2b=1 ; b=1 }
	⟺	{ a=1 ; b=1 }

-> w = u + v -> coplanaires

Positions relatives — droites & plans

droite d(A ; u) : M ∈ d ⟺ AM = ku

plan 𝒫(A ; u,v) : M ∈ 𝒫 ⟺ AM = su + tv

2 plans sécants

T ∈ (IK) ⊂ (IJK) et T ∈ (AB) ⊂ (ABC)

S ∈ (IJ) ⊂ (IJK) et S ∈ (BC) ⊂ (ABC)

T ≠ S -> 2 points communs

-> plans sécants suivant (TS)

Critères ∥

droite ∥ plandirecteur = comb. de 2 directeurs du plan (+ point hors)

plan ∥ plan2 couples de directeurs colinéaires + plans distincts

Bases et repères

Base3 vecteurs non coplanaires (i,j,k)

décomposition unique : u = xi + yj + zk

Repère(O ; i,j,k)

Justifier une base

(AB, AD, AE) : E ∉ (ABD)

-> non coplanaires -> base

Coordonnées (cube)

AB + AD + AE

-> AG (1 ; 1 ; 1)

BH = −AB + AD + AE -> BH (−1 ; 1 ; 1)

entre 2 pointsAB (x_B−x_A ; y_B−y_A ; z_B−z_A)

App 1 — dans l'espace repéré

A(2;0;1) B(1;−2;1) C(5;5;0) D(−3;−5;6) F(1;1;−1) G(−2;4;0)

a) E tel que AE = AB + 2CA

AB(−1;−2;0) , CA(−3;−5;1)

AB + 2CA = (−7 ; −12 ; 2)

AE	=	AB + 2CA
	⟺	{ x−2=−7 ; y=−12 ; z−1=2 }
	⟺	{ x=−5 ; y=−12 ; z=3 }

-> E(−5 ; −12 ; 3)

c) A,B,C,D coplanaires ?

AD(−5;−5;5) ; cherche AD = aAB + bAC

{ −5=−a+3b ; −5=−2a+5b ; 5=−b }

⟺

{ a=−10 ; b=−5 }

-> coplanaires (D ∈ (ABC))

d) e)

d)système sans solution -> (FG) & (ABC) sécants

e)AE = AB − 2AC -> (AE) contenue dans (ABC)

App 2 — repère orthonormé

A(6;8;2) B(4;9;1) C(5;7;3)

a) D : ABDC parallélogramme

AB(−2;1;−1)

AB	=	CD
	⟺	{ −2=x−5 ; 1=y−7 ; −1=z−3 }
	⟺	{ x=3 ; y=8 ; z=2 }

-> D(3 ; 8 ; 2)

b) Triangle rectangle

AB = √6 · AC = √3 · BC = 3

BC²	=	9
	=	AC² + AB²

-> Pythagore réciproque -> rectangle en A

parallélogramme + angle droit -> ABDC rectangle

V — Représentation paramétrique (théorème)

(d) : A(x_A;y_A;z_A) , directeur u(a;b;c)

{ x = x_A + at ; y = y_A + bt ; z = z_A + ct } (t ∈ ℝ)

🎓 Démonstration

M ∈ (d)

AM et u colinéaires	⟺	AM
	=	tu
	⟺	{ x−x_A=ta ; y−y_A=tb ; z−z_A=tc }

-> { x = x_A+at ; y = y_A+bt ; z = z_A+ct } ∎

🧠 Lire une repr. param.

terme constant (t=0) = le point

coefficient de t = le vecteur directeur

une infinité de représentations

App 1 — déterminer une repr. param.

(d) : A(2;1;−1) , u(0;1;−1)

a) Théorème

-> (d) : x=2 ; y=1+t ; z=−1−t

c) Appartenance

C(2;4;−4){ 2=2 ; 4=1+t ; −4=−1−t } ⟺ { t=3 ; t=3 }

même t -> C ∈ (d)

D(2;5;−1)-> t=4 et t=0 : contradictoire

-> D ∉ (d)

Segment & demi-droites

[AB] : t ∈ [0;1] · [AB) : t ∈ [0;+∞[

App 2 — reconnaître une droite

(d) : x=−1+t ; y=2−4t ; z=−3−2t

a) b)

t=0 -> A(−1;2;−3) · directeur u(1;−4;−2)

∥ à v(−2;1;1) ?1−2 ≠ −41

non colinéaires -> pas parallèle

Même droite ?

v(−6;−3;9) = −3u -> colinéaires

point commun : A ∈ (d′) pour

{ 3−6s=−1 ; −3s+2=0 ; 9s−5=1 }

⟺

{ s=23 ; s=23 ; s=23 }

-> même s -> droites confondues

App 3 — position de 2 droites

toujours renommer : s ≠ t

Cas sécantes

u(1;2;−3) , v(1;−1;1) non colinéaires

{ 9+k=t ; −1+2k=2−t ; −3k=−1+t }	⟺	{ 3k=−6 ; −4k=8 }
	⟺	{ k=−2 }

compatible -> sécantes en I(7;−5;6)

Cas non coplanaires

u(1;1;1) , v(−1;2;1) non colinéaires

{ 2+t=1−s ; t=2+2s ; 1+t=3+s }

⟺

{ s=−1 ; s=0 }

contradictoire -> droites NON coplanaires

🧠 Arbre de décision

directeurs colinéaires ? OUI -> confondues / ∥

NON -> système compatible ? sécantes / non coplanaires

📋 Formulaire — vecteurs & coordonnées

Chasles AB + BC = AC · Parallélogr. AB + AC = AD

coordonnées : AB (x_B−x_A ; y_B−y_A ; z_B−z_A)

colinéaires v = ku · coplanaires w = au + bv

base = 3 vecteurs NON coplanaires · décomposition unique

distances (orthonormé) : AB = √(Δx² + Δy² + Δz²)

📋 Formulaire — droites

(d) : { x=x_A+at ; y=y_A+bt ; z=z_A+ct }

terme constant = point · coeff. de t = directeur

positions : colinéaires ? -> confondues / ∥ · sinon -> sécantes / non coplanaires

appartenance : UNE même valeur de t pour les 3 équations

⚠️ Les pièges à éviter

① −AD = DA (retourner change le signe)

② Chasles (AB + BC) ≠ parallélogramme (AB + AC)

③ égalité vecteurs ⟺ coordonnées égales (avant le système)

④ colinéarité : pas de division par 0

⑤ appartenance : MÊME t pour les 3 équations

⑥ 2 droites : renommer le paramètre (s ≠ t)

⑦ distances : repère orthonormé obligatoire

⑧ « parallèles » : exclure « confondues »

🎤 Grand Oral

« Plan vs espace ? »

3ᵉ coordonnée + 4ᵉ position : droites NON coplanaires

« Pourquoi paramétrer ? »

t = temps : équation horaire d'un mobile (A + t·u)