Entraînement Maths S03 (propre)

🎯 Séquence 03 — au programme

RécurrenceLA démonstration de Terminale

Limite d'une suite

définition

opérations + formes indéterminées

Algorithmesde seuil (Python)

🧠 Feuille de route

I — Récurrence (2 exemples + 3 applications)

dont 2 ROC : somme géo + Bernoulli

II — Définition de la limite

III — Calcul (opérations + F.I.)

IV — Algorithmes de seuil

Axiome de récurrence

Pₙ une proposition qui dépend de n

① InitialisationPₙ₀ vraie

② HéréditéPₙ ⟹ Pₙ₊₁

③ ConclusionPₙ vraie ∀n ≥ n₀

L'image de l'escalier

monter sur la 1ʳᵉ marche (init)

+ passer d'une marche à la suivante (hérédité)

-> on monte tout l'escalier

⚠️ Les deux pièges

Init seule ne suffit pas

n² ≥ 2ⁿ vrai pour n=2,3… mais 5² < 2⁵ !

Hérédité seule ne suffit pas

« 2ⁿ divisible par 3 » héréditaire mais P₀ fausse

-> les DEUX sont indispensables

Exemple 1 — uₙ = 3 − 2ⁿ

u₀ = 2 ; uₙ₊₁ = 2uₙ − 3

1) récurrence : uₙ = 3 − 2ⁿ

2) suite auxiliaire vₙ = uₙ − 3

1) Récurrence

On posePₙ : « uₙ = 3 − 2ⁿ »

Initialisationn=0 :

u₀	=	2
	=	3 − 2⁰

-> P₀ vraie

Héréditéon suppose uₙ = 3 − 2ⁿ :

uₙ₊₁	=	2uₙ − 3
	=	2(3 − 2ⁿ) − 3
	=	6 − 2ⁿ⁺¹ − 3
	=	3 − 2ⁿ⁺¹

-> Pₙ₊₁ vraie

Conclusion∀n ≥ 0, uₙ = 3 − 2ⁿ

2) Suite auxiliaire vₙ = uₙ − 3

vₙ₊₁	=	uₙ₊₁ − 3
	=	(2uₙ − 3) − 3
	=	2(uₙ − 3)
	=	2vₙ

-> (vₙ) géométrique : q = 2 , v₀ = −1

vₙ = v₀·qⁿ = −2ⁿ

uₙ = vₙ + 3 = 3 − 2ⁿ (on retrouve 1)

Exemple 2 — uₙ₊₁ = √(uₙ) + 4

u₀ = 3

montrer par récurrence : uₙ ≥ 2

Récurrence sur une inégalité

On posePₙ : « uₙ ≥ 2 »

Initialisationu₀ = 3 ≥ 2 -> P₀ vraie

Héréditéon suppose uₙ ≥ 2 :

uₙ ≥ 2 or x ↦ √x croissante sur ℝ⁺

uₙ	≥	2
	⟹	√(uₙ)
	≥	√2

uₙ₊₁	=	√(uₙ) + 4
	≥	√2 + 4
	≥	2

-> uₙ₊₁ ≥ 2

Conclusion∀n ≥ 0, uₙ ≥ 2

🧠 Le mécanisme

appliquer une fonction croissante (à JUSTIFIER)

puis minorer numériquement

App 1 (ROC) — somme géométrique

q ≠ 1 , n ≥ 1

1 + q + q² + ⋯ + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

Initialisation (n = 1 !)

gauche : 1 + q

1 − q²1 − q	=	(1−q)(1+q)1 − q
	=	1 + q

-> P₁ vraie

Hérédité

On ajouteqⁿ⁺¹ à l'hypothèse :

1 + ⋯ + qⁿ⁺¹	=	(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) + qⁿ⁺¹
	=	(1 − qⁿ⁺¹ + qⁿ⁺¹(1 − q))/(1 − q)
	=	(1 − qⁿ⁺²)/(1 − q)

-> Pₙ₊₁ vraie

🧠 L'astuce

isoler la somme au rang n

ajouter qⁿ⁺¹ , même dénominateur 1 − q

App 2 (ROC) — inégalité de Bernoulli

a > 0 , n ≥ 0

(1 + a)ⁿ ≥ 1 + na

Initialisation n = 0

(1+a)⁰ = 1 et 1 + 0·a = 1

-> P₀ vraie

Hérédité

(1+a)ⁿ ≥ 1 + na or 1 + a > 0

×(1+a)(sens conservé) :

(1+a)ⁿ⁺¹	≥	(1 + na)(1 + a)
	=	1 + (n+1)a + na²

or na² ≥ 0 :

(1+a)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n+1)a

-> Pₙ₊₁ vraie

🧠 2 points-clés

① ×(1+a) > 0 (à justifier : a>0)

② jeter na² ≥ 0

App 3 — modèle logistique

u₀ = 0,6 ; uₙ₊₁ = 0,75 uₙ(1 − 0,15 uₙ)

f(x) = 0,75 x(1 − 0,15 x) croissante sur [0;1]

uₙ₊₁ = f(uₙ)

a) Encadrement 0 ≤ uₙ ≤ 1

On posePₙ : « 0 ≤ uₙ ≤ 1 »

Initu₀ = 0,6 -> P₀ vraie

Hérédité0 ≤ uₙ ≤ 1 , f croissante :

f(0)	=	0
	≤	f(uₙ)
	=	uₙ₊₁
	≤	f(1)
	=	0,6375

-> 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ 1 -> Pₙ₊₁ vraie

(u₁ = 0,4095 · coquille polycopié corrigée)

b) Variations : signe de uₙ₊₁ − uₙ

uₙ₊₁ − uₙ	=	0,75 uₙ(1 − 0,15 uₙ) − uₙ
	=	−0,1125 uₙ² − 0,25 uₙ

or uₙ ≥ 0 -> les deux termes ≤ 0

-> uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0

-> (uₙ) décroissante

décroissante + minorée par 0 -> converge (S05)

II — Définition de la limite

étudier uₙ quand n ↦ +∞

Limite finie ℓ (convergente)

tout intervalle ouvert autour de ℓ

contient tous les uₙ à partir d'un certain rang

lim uₙ = ℓ · ℓ est UNIQUE

Limite infinie (divergente)

uₙ → +∞ : ∀A, uₙ > A à partir d'un rang

attentiondiverger ≠ tendre vers ∞

(−1)ⁿ diverge sans limite

Limites usuelles

1√n , 1nᵏ , 1eⁿ -> 0

√n , nᵏ , eⁿ , ln n -> +∞

III — Opérations sur les limites

on combine les usuelles

somme · produit · inverse · quotient

Les 4 FORMES INDÉTERMINÉES

∞ − ∞

0 × ∞

∞/∞

-> il faut lever l'indétermination

Méthode

Factoriserpar le terme dominant

(plus haut degré, en haut ET en bas)

repérer la F.I. au brouillonAVANT de rédiger

Application 1 — somme, produit, quotient

déterminer lim (n → +∞)

a) b) c)

a)uₙ = n² + 1√n

lim n²=+∞ , lim 1√n=0 -> +∞

b)uₙ = −n³ − 5√n -> −∞

c)uₙ = n² − n (F.I. ∞−∞)

= n²(1 − 1n) -> +∞

d) e)

d)uₙ = (1√n + 1)(n² + 3) -> +∞

e)uₙ = 2−3n² + 1 -> 0

Application 2 — lever une indétermination

3 astuces : n = (√n)² · e²ⁿ = (eⁿ)² · 0×∞ -> développer

a) b) c)

a)n − 3√n (∞−∞)

uₙ	=	(√n)² − 3√n
	=	√n(√n − 3)

-> +∞

b)e²ⁿ − eⁿ = eⁿ(eⁿ − 1) -> +∞

c)(1n)(n² + 1) = n + 1n -> +∞

d) e) f) (quotients ∞/∞)

d)uₙ = 5n² + 44n² + 3n

uₙ	=	n²(5 + 4n²)n²(4 + 3n)
	=	5 + 4n²4 + 3n

-> 54

e)3n² + nn + 3 -> +∞

f)(e³ⁿ − 4)/(e²ⁿ − 1) -> +∞

IV — Algorithme de seuil

u₀ = 3 ; uₙ₊₁ = 2uₙ + 1

plus petit n tel que uₙ > A

Python

On continuetant que u ≤ A :

n ← n+1 ; u ← 2u + 1

Piègewhile u <= A (dépassement strict)

Résultats (vérifiés)

seuil(1000) = 8

seuil(10⁶) = 18

seuil(10⁹) = 28

-> conjecture : lim uₙ = +∞

tout seuil est dépassé = définition de +∞

📋 Formulaire — Récurrence

On pose Pₙ -> Initialisation -> Hérédité -> Conclusion

init ET hérédité indispensables (aucune ne suffit)

inégalité -> fonction croissante justifiée

somme géo : 1+q+⋯+qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) (q ≠ 1)

Bernoulli : (1+a)ⁿ ≥ 1 + na (a > 0)

📋 Formulaire — Limites

lim uₙ = ℓ (unique) · ±∞ · OU pas de limite ((−1)ⁿ)

usuelles : 1√n , 1nᵏ , 1eⁿ -> 0

√n , nᵏ , eⁿ , ln n -> +∞

4 F.I. : ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 00

lever : FACTORISER (terme dominant)

⚠️ Les pièges à éviter

① récurrence sans init (n²≥2ⁿ mais 5²<2⁵)

② oublier d'annoter l'hérédité

③ somme géo : init à n=1 et q ≠ 1

④ Bernoulli : justifier ×(1+a)>0

⑤ diverger ≠ tendre vers ∞ ((−1)ⁿ)

⑥ conclure « par somme » sur ∞−∞ = FAUX

⑦ quotient : factoriser haut ET bas

⑧ Python : while u <= A · range(0, k+1)

🎤 Grand Oral

« Pourquoi la récurrence est un axiome ? »

axiome de Peano qui DÉFINIT ℕ (escalier / dominos)

« Une somme infinie peut-elle être finie ? »

série géométrique 11−q : 0,999… = 1 !