Entraînement Maths S02 (propre)

🎯 Séquence 02 — au programme

Éq. différentielles

reconnaître une solution

résoudre y′=ay , y′=ay+b , y′=ay+f

Primitives

reconnaître et calculer

avec une condition

🧠 Les 3 réflexes de la prof

① annoncer la dérivabilité

(somme / produit / quotient)

② dériver avec les connecteurs :

On a, Ainsi, De plus, Or, D'où, Donc

③ conclure + encadrer le résultat

App p.1 — 1°) (E) : y′ − x y² = 0

Montrerque f est solution

f(x) = −2x²+3

Reconnaître une solution

Dérivablesur ℝ (quotient, dénom. ≠ 0)

On dérive:

f′(x)	=	−2 · (−2x(x²+3)²)
	=	4x(x²+3)²

On calculey′ − x y² :

y′ − x y²	=	4x(x²+3)² − x · 4(x²+3)²
	=	0

-> y′ − x y² = 0 ✓

Doncf est solution

App p.1 — 2°) (E) : y′ + 2y = 4

Montrerque f et g sont solutions

f(x) = e^−2x + 2

g(x) = e^−2x+1 + 2

a) f est solution

Dérivablesur ℝ (somme)

f′(x) = −2 e^−2x

On calculey′ + 2y :

y′ + 2y	=	f′ + 2f
	=	−2e^−2x + 2(e^−2x + 2)
	=	−2e^−2x + 2e^−2x + 4
	=	4

-> y′ + 2y = 4 ✓

b) g est solution

g′(x) = −2 e^−2x+1

y′ + 2y	=	g′ + 2g
	=	−2e^−2x+1 + 2(e^−2x+1 + 2)
	=	4

-> y′ + 2y = 4 ✓

Remarque

une éq. diff. a une infinité de solutions

ici f ≠ g : deux solutions de la même équation

App p.1 — 3°) (E) : y′ = 2xy + 4x

Montrerque y est solution

y(x) = −3 e^x² − 2

Dériver une composée e^u

Dérivablesur ℝ (somme)

y′(x)	=	−3 · (x²)′ e^x²
	=	−3 · 2x e^x²
	=	−6x e^x²

On calcule2xy + 4x :

2xy + 4x	=	2x(−3e^x² − 2) + 4x
	=	−6x e^x² − 4x + 4x
	=	−6x e^x²

-> 2xy + 4x = y′ ✓

Réflexe(e^u)′ = u′ · e^u

App p.1 — 4°) Ordre 2

(E) : y″ − 2x y′ − 2y + 4x = 0

Montrer∀C : f(x) = C e^x² + x solution

Dériver deux fois

f′(x) = 2Cx e^x² + 1

f″(x) = 2C e^x² + 4Cx² e^x²

Regrouper par familles

On remplacedans y″ − 2xy′ − 2y + 4x :

(2C e^x² − 2C e^x²) = 0

(4Cx² e^x² − 4Cx² e^x²) = 0

(−2x − 2x + 4x) = 0

-> y″ − 2xy′ − 2y + 4x = 0 ✓

Donc∀C∈ℝ, f est solution

App p.2 — 1°) F est-elle une primitive de f ?

RègleF primitive ⟺ F′ = f

on dérive F (jamais on intègre)

a) et b) — NON

a)F = 5x² − x

F′ = 10x − 1 ≠ 5x − 1

-> NON

b)G = x³3 − x²2 + 6x

G′ = x² − x + 6 ≠ x² − 5x + 6

-> NON

c) — OUI

c1)H = at²2

H′ = at = h -> OUI

c2)H = 1x = x⁻¹

H′ = −1x² = h -> OUI

App p.2 — 2°) F et G : primitives d'une même f

F(x) = 5x²−7x+93x−1

G(x) = 5x²−16x+123x−1

sur ]13 ; +∞[

Dériver F (quotient)

u = 5x²−7x+9 · v = 3x−1

Formule(uv)′ = u′v − u v′v²

F′	=	(10x−7)(3x−1) − 3(5x²−7x+9)(3x−1)²
	=	30x²−31x+7 − (15x²−21x+27)(3x−1)²
	=	15x²−10x−20(3x−1)²

Conclusion

OrF′ = G′ (même calcul pour G)

-> F et G primitives de la même f

f(x) = 15x²−10x−20(3x−1)²

Vérif:

G − F	=	−9x+33x−1
	=	−33x−13x−1
	=	−3

-> diffèrent d'une constante ✓

App p.3 — Méthode en 3 temps

f(x) = 2x + 3

a) vérifier G = x²+3x

b) toutes les primitives

c) F telle que F(−1) = 0

① vérifier

G′ = 2x + 3 = f

-> G est une primitive

② + C · ③ condition

b)primitives : x²+3x+C , C∈ℝ

c)F(−1)=0 :

F(−1)	=	1 − 3 + C
	=	0

-> C = 2

-> F(x) = x²+3x+2

App p.3 — 1°) Primitives de f(x) = x e^x

S'appuyer surg(x) = (x−1) e^x

Vérifier g puis + C

g′(x)	=	e^x + (x−1) e^x
	=	e^x(1 + x − 1)
	=	x e^x

-> g′ = f ✓

Doncprimitives :

-> (x−1) e^x + C , C∈ℝ

App p.3 — 2°) g(x) = 5 ln x + 2x

a) vérifier f = 5(x ln x − x) + x²

b) la primitive G qui s'annule en e

a) Dérivée clé (x ln x)′ = ln x + 1

f′(x)	=	5[(ln x + 1) − 1] + 2x
	=	5 ln x + 2x
	=	g

-> f est une primitive ✓

b) condition G(e) = 0

G(x) = 5(x ln x − x) + x² + C

G(e)	=	5(e − e) + e² + C
	=	e² + C
	=	0

-> C = −e²

-> G(x) = 5(x ln x − x) + x² − e²

App p.4 — 1°) Polynômes & puissances

Règlexⁿ ⟼ xⁿ⁺¹/(n+1)

même n négatif (n ≠ −1)

f = x³ − 2x

-> F(x) = x⁴4 − x²

f = 3x² − 3x³ = 3x² − 3x⁻³

F	=	3·(x³3) − 3·(x⁻²/(−2))
	=	x³ + (32)x⁻²
	=	x³ + 32x²

-> F(x) = x³ + 32x²

App p.4 — 2°) Avec ln x, √x et e^x

Usuelles1x ⟼ ln x · 1√x ⟼ 2√x

f = 3x − 1x⁴ − 2e^x

-> F = 3 ln x + 13x³ − 2e^x

f = −1√x + 2x² + 5

-> F = −2√x − 2x + 5x

App p.4 — 3°) f = 1/x − 5x²

a) vérifier h = ln x − (53)x³

b) F telle que F(e) = 1

h′ = 1x − 5x² = f ✓

b) condition F(e) = 1

F(x) = ln x − (53)x³ + C

F(e)	=	1 − (53)e³ + C
	=	1

-> C = (53)e³

-> F(x) = ln x − (53)x³ + (53)e³

App p.4 — 4°) Chercher g dont f est UNE primitive

f(x) = 4 e^x² − 1x

attention au sens !

f primitive de g ⟺ g = f′

On DÉRIVE f:

g	=	f′
	=	4 · 2x e^x² − (−1x²)
	=	8x e^x² + 1x²

-> g(x) = 8x e^x² + 1x²

Pièges(e^x²)′ = 2x e^x² · −(−1x²) = +1x²

App p.4 — 5°) (E) : y′ = 3x² − 1/x²

résoudre, puis F telle que F(−1) = 0

Primitiver sur ]−∞ ; 0[

intervallesans 0 (car condition en −1)

F(x) = x³ + 1x + C

F(−1)	=	−1 − 1 + C
	=	0

-> C = 2

-> F(x) = x³ + 1x + 2

App p.4 — 6°) Sens de variation d'une primitive

f(x) = 2x ln x − 3x² ln x

idéeF′ = f -> variations de F = signe de f

Factoriser puis tableau

f(x) = x ln x (2 − 3x) , x>0

]0	23[	]23	1[	]1	+∞[
x	+	+	+
ln x	−	−	+
2−3x	+	−	−
f=F′	−	+	−
F	↘	↗	↘

-> F ↘ ]0;23] , ↗ [23;1] , ↘ [1;+∞[

min en 23 , max en 1

App p.5 — Résolution de y′ = ay

Coursy′ = ay -> x ⟼ C e^ax , C∈ℝ

1°)

y′ = 2y (a = 2)

-> x ⟼ C e^2x

2°) condition f(0) = 2

y′ − 7y = 0 -> y′ = 7y (a = 7)

f = C e^7x

f(0)	=	C e⁰
	=	C
	=	2

-> f(x) = 2 e^7x

App p.5 — 3°) et 4°)

Formey′ = ay

3°)

2y′ = −5y -> y′ = −(52)y

-> x ⟼ C e^−(5/2)x

4°) désintégration radioactive

dNdt + λN = 0 -> N′ = −λN (a = −λ)

N = C e^−λt

N(0)	=	C
	=	N₀

-> N(t) = N₀ e^−λt

pont PHYSIQUEdécroissance radioactive

App p.6 — 1°) y′ = 3y − 2

condition f(0) = 2

Coursy′ = ay+b -> C e^ax − ba

a = 3 , b = −2

−ba = +23

f = C e^3x + 23

f(0)	=	C + 23
	=	2

-> C = 43

-> f(x) = (43) e^3x + 23

App p.6 — 2°) 4y′ − 3y = −2

condition y(−1) = 2

forme résoluey′ = (34)y − 12

a = 3/4 , b = −1/2

−ba	=	1234
	=	(12)·(43)
	=	23

y = C e^(3/4)x + 23

y(−1)	=	C e^−3/4 + 23
	=	2

-> C e^−3/4 = 43

-> C = (43) e^3/4

-> y(x) = (43) e^(3/4)(x+1) + 23

App p.6 — 3°) (1/3)y′ − (2/5)y = 1/2

×3-> (E) : y′ = (65)y + 32

a = 65 , b = 32

a) solution particulière constante

g = k : 0 = (65)k + 32

k	=	−(32)·(56)
	=	−54

-> g = −54

b) structure

(f − g)′ = (65)(f − g)

-> f − g solution de (E′) : y′ = (65)y

-> f(x) = C e^(6/5)x − 54

c) condition f(−1) = 2

f(−1)	=	C e^−6/5 − 54
	=	2

-> C e^−6/5 = 134

-> C = (134) e^6/5

-> f(x) = (134) e^(6/5)(x+1) − 54

App p.6 — Variante : tangente

coeff. directeur −1 en x = 5

-> f′(5) = −1

condition sur f′

f(x) = C e^(6/5)x − 54

f′(x) = C · (65) e^(6/5)x

f′(5)	=	C · (65) e⁶
	=	−1

-> C = −(56) e⁻⁶

-> f(x) = −(56) e^{(6/5)x − 6} − 54

App p.7 — 1°) y′ = y + x − 3

second membre variable

méthode : particulière g + homogène (H) : y′ = y

a) vérifier g = −x + 2

g′ = −1

y + x − 3	=	(−x+2) + x − 3
	=	−1
	=	g′

-> g solution particulière ✓

b) et c)

(f − g)′ = f − g -> f − g solution de (H)

(H) -> x ⟼ C e^x

-> f(x) = −x + 2 + C e^x , C∈ℝ

App p.7 — 2°) 2y′ + 3y = 6x + 1

solution particulière affine g = ax + b

Identification

2a + 3(ax+b) = 6x + 1

-> 3ax + (2a+3b) = 6x + 1

système3a=6 et 2a+3b=1

-> a = 2 , b = −1

-> g(x) = 2x − 1

Solution générale

(H) : y′ = −(32)y

-> f(x) = 2x − 1 + C e^−(3/2)x

App p.7 — 3°) y′ − 2y = x²

solution particulière de degré 2 : g = ax²+bx+c

Identification

g′ − 2g = −2ax² + (2a−2b)x + (b−2c) = x²

système−2a=1 , 2a−2b=0 , b−2c=0

-> a = −12 , b = −12 , c = −14

Solution générale

(H) : y′ = 2y

-> f(x) = −x²2 − x2 − 14 + C e^2x

Type Bac (Polynésie) y′ = −y + e^−x

a) g = x e^−x particulière

b) résoudre · c) f(0) = 2

g′(x)	=	e^−x − x e^−x
	=	e^−x(1 − x)

−y + e^−x	=	−x e^−x + e^−x
	=	e^−x(1 − x)
	=	g′

-> g solution particulière ✓

b) et c)

(H) : y′ = −y -> C e^−x

-> f(x) = (x + C) e^−x

c)f(0) = C = 2

-> f(x) = (x + 2) e^−x

Type Bac (Métropole) y′ = y + 2x e^x

a) u = x² e^x particulière + résoudre

b) variations + convexité de u

a) résolution

u′	=	2x e^x + x² e^x
	=	e^x(x² + 2x)

-> u′ = y + 2x e^x ✓

(H) : y′ = y

-> f(x) = (x² + C) e^x

b) variations

u′ = x(x+2) e^x (e^x>0)

x	−∞	−2	0	+∞
u′	+	0	−	0	+
u	↗	4e⁻²	↘	0	↗

b) convexité

u″ = e^x(x² + 4x + 2)

Δ = 8 -> racines −2 ± √2

-> u concave sur ]−2−√2 ; −2+√2[

convexe ailleurs · 2 points d'inflexion

📋 Formulaire — Primitives

F primitive ⟺ F′ = f (se vérifie EN DÉRIVANT)

deux primitives diffèrent d'une constante

xⁿ ⟼ xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1)

1x ⟼ ln x · 1√x ⟼ 2√x · e^x ⟼ e^x

1x² ⟼ −1x · ln x ⟼ x ln x − x

📋 Formulaire — Équations différentielles

y′ = ay -> y = C e^ax

y′ = ay + b -> y = C e^ax − ba

attention au signe de b

y′ = ay + f -> y = g + C e^ax

g particulière ; démo (f−g)′ = a(f−g)

⚠️ Les pièges à éviter

① toujours justifier la dérivabilité

② « f primitive de g » -> g = f′ (on DÉRIVE)

③ (e^u)′ = u′ e^u

④ « toutes les primitives » -> + C

⑤ xⁿ avec n<0 : −3+1 = −2, on ÷ par −2

⑥ résoudre y′=f sur un intervalle sans 0

⑦ −ba : le signe de b se lit DANS l'équation

⑧ « tangente coeff m en x₀ » -> f′(x₀) = m

🎤 Grand Oral

« Pourquoi une infinité de solutions ? »

chaque solution porte C

la condition initiale la rend unique

« À quoi ça sert ? »

N′ = −λN (radioactivité), condensateur, refroidissement